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1.如图，AB是$\odot O$的弦，半径$OC ⊥ AB$于点D.若$AB=8,OC=5$,则OD的长是 （
A.3
B.2
C.6
D.$\frac{5}{2}$
A
）A.3
B.2
C.6
D.$\frac{5}{2}$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：半径OC垂直于弦AB，可联想到垂径定理，先求出弦AB的一半的长度；接着连接半径OA，构造出直角三角形OAD，已知直角三角形的斜边OA（等于圆的半径）和一条直角边AD的长度，再利用勾股定理即可求出OD的长度。
【解析】
连接OA，
∵ OC是$\odot O$的半径，$OC⊥AB$，$AB=8$，
根据垂径定理可得：$AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4$，
又
∵ $OA=OC=5$，$△ ODA$是直角三角形，
由勾股定理得：$OD^2 + AD^2 = OA^2$，
代入数值计算：$OD = \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题的核心是通过连接半径构造直角三角形，结合垂径定理得到直角边的长度后，利用勾股定理求解，这类题型是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件：半径OC垂直于弦AB，可联想到垂径定理，先求出弦AB的一半的长度；接着连接半径OA，构造出直角三角形OAD，已知直角三角形的斜边OA（等于圆的半径）和一条直角边AD的长度，再利用勾股定理即可求出OD的长度。
【解析】
连接OA，
∵ OC是$\odot O$的半径，$OC⊥AB$，$AB=8$，
根据垂径定理可得：$AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4$，
又
∵ $OA=OC=5$，$△ ODA$是直角三角形，
由勾股定理得：$OD^2 + AD^2 = OA^2$，
代入数值计算：$OD = \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题的核心是通过连接半径构造直角三角形，结合垂径定理得到直角边的长度后，利用勾股定理求解，这类题型是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
2.如图，AB是$\odot O$的一条弦，$OD ⊥ AB$于点C，交$\odot O$于点D，连接OA。若$AB=4$，$CD=1$，则$\odot O$的半径为（
A.5
B.$\sqrt{5}$
C.3
D.$\frac{5}{2}$
D
）A.5
B.$\sqrt{5}$
C.3
D.$\frac{5}{2}$
答案
D
解析
【分析】
首先根据已知条件OD⊥AB，想到运用垂径定理得到弦AB的一半AC的长度；要求圆的半径，可设半径为r，将Rt△OAC的三条边OA、AC、OC均用含r的代数式表示，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵ OD⊥AB，OD是⊙O的半径，AB=4
∴ 根据垂径定理，$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OD=r$
∵ CD=1
∴ $OC=OD-CD=r-1$
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=AC^2+OC^2$
代入得：$r^2=2^2+(r-1)^2$
展开整理：$r^2=4+r^2-2r+1$
移项化简得：$2r=5$
解得：$r=\frac{5}{2}$
【答案】
D
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础计算题，解题核心是结合垂径定理将已知条件转化到直角三角形中，再通过设未知数列方程的方法求解，是圆中求半径、弦长类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件OD⊥AB，想到运用垂径定理得到弦AB的一半AC的长度；要求圆的半径，可设半径为r，将Rt△OAC的三条边OA、AC、OC均用含r的代数式表示，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵ OD⊥AB，OD是⊙O的半径，AB=4
∴ 根据垂径定理，$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OD=r$
∵ CD=1
∴ $OC=OD-CD=r-1$
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=AC^2+OC^2$
代入得：$r^2=2^2+(r-1)^2$
展开整理：$r^2=4+r^2-2r+1$
移项化简得：$2r=5$
解得：$r=\frac{5}{2}$
【答案】
D
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础计算题，解题核心是结合垂径定理将已知条件转化到直角三角形中，再通过设未知数列方程的方法求解，是圆中求半径、弦长类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
3.为测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示(单位：cm)，则该铁球的直径为
10
cm.答案
10
解析
【分析】
要解决测量铁球直径的问题，我们可利用垂径定理将实际问题转化为圆的几何计算问题：首先明确工件槽的开口长度8cm是圆的一条弦的长度，槽的高度2cm是这条弦到圆上对应劣弧最低点的距离。我们设圆的半径为r，构造由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形，通过勾股定理列方程求解半径，即可得到直径。
【解析】
设铁球的圆心为$O$，半径为$r\ \mathrm{cm}$，工件槽开口两端与圆的交点为$A、B$，则$AB=8\ \mathrm{cm}$。
过$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，延长$OC$交圆于点$D$：
1. 根据垂径定理，$AC=BC=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$；
2. 由图可知$CD=2\ \mathrm{cm}$，因此弦心距$OC=r-CD=(r-2)\ \mathrm{cm}$；
3. 在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得$OA^2=OC^2+AC^2$，代入数据：
$r^2=(r-2)^2+4^2$
展开化简得：
$r^2=r^2-4r+4+16$
$4r=20$
解得$r=5$，因此铁球的直径为$2r=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
10
【知识点】
垂径定理；勾股定理的应用
【点评】
本题是垂径定理在实际测量中的典型应用，解题的核心是将实际测量数据对应到圆中的弦长、弧到弦的距离等几何量，通过构造直角三角形列方程求解，体现了数学建模思想的应用。
【难度系数】
0.7
要解决测量铁球直径的问题，我们可利用垂径定理将实际问题转化为圆的几何计算问题：首先明确工件槽的开口长度8cm是圆的一条弦的长度，槽的高度2cm是这条弦到圆上对应劣弧最低点的距离。我们设圆的半径为r，构造由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形，通过勾股定理列方程求解半径，即可得到直径。
【解析】
设铁球的圆心为$O$，半径为$r\ \mathrm{cm}$，工件槽开口两端与圆的交点为$A、B$，则$AB=8\ \mathrm{cm}$。
过$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，延长$OC$交圆于点$D$：
1. 根据垂径定理，$AC=BC=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$；
2. 由图可知$CD=2\ \mathrm{cm}$，因此弦心距$OC=r-CD=(r-2)\ \mathrm{cm}$；
3. 在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得$OA^2=OC^2+AC^2$，代入数据：
$r^2=(r-2)^2+4^2$
展开化简得：
$r^2=r^2-4r+4+16$
$4r=20$
解得$r=5$，因此铁球的直径为$2r=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
10
【知识点】
垂径定理；勾股定理的应用
【点评】
本题是垂径定理在实际测量中的典型应用，解题的核心是将实际测量数据对应到圆中的弦长、弧到弦的距离等几何量，通过构造直角三角形列方程求解，体现了数学建模思想的应用。
【难度系数】
0.7
4.如图，AB是$\odot O$的弦，C，D是直线AB上的点，且$OC=OD$.求证：$AC=BD$.
答案
4.证明:如图,过点O作$OH ⊥ AB$于点H,则$AH=BH$.
因为$OC=OD$,$OH ⊥ AB$,
所以$CH=DH$,
所以$CH-AH=DH-BH$,
所以$AC=BD$.
解析
【分析】
要证明$AC=BD$，可通过线段和差关系推导：首先已知$OC=OD$，则$△ OCD$是等腰三角形，同时AB是$\odot O$的弦，圆中涉及弦的问题常作弦心距为辅助线。过O作$OH ⊥ AB$于H，一方面根据垂径定理可得$AH=BH$；另一方面根据等腰三角形三线合一的性质可得$CH=DH$，将两个等式相减即可得到$AC=BD$。
【解析】
证明：过点O作$OH ⊥ AB$于点H，
∵ AB是$\odot O$的弦，$OH ⊥ AB$，根据垂径定理可得：$AH=BH$，
又
∵ $OC=OD$，$OH ⊥ CD$（即$OH ⊥ AB$），根据等腰三角形三线合一的性质可得：$CH=DH$，
∴ $CH - AH = DH - BH$，
即$AC=BD$。
【答案】
证明:如图,过点O作$OH ⊥ AB$于点H,则$AH=BH$.
因为$OC=OD$,$OH ⊥ AB$,
所以$CH=DH$,
所以$CH-AH=DH-BH$,
所以$AC=BD$.
【知识点】
垂径定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题关键是构造弦心距这一常用辅助线，结合等腰三角形的性质得到等长线段，再通过线段的和差运算完成证明，需熟练掌握圆中弦相关问题的辅助线构造方法。
【难度系数】
0.8
要证明$AC=BD$，可通过线段和差关系推导：首先已知$OC=OD$，则$△ OCD$是等腰三角形，同时AB是$\odot O$的弦，圆中涉及弦的问题常作弦心距为辅助线。过O作$OH ⊥ AB$于H，一方面根据垂径定理可得$AH=BH$；另一方面根据等腰三角形三线合一的性质可得$CH=DH$，将两个等式相减即可得到$AC=BD$。
【解析】
证明：过点O作$OH ⊥ AB$于点H，
∵ AB是$\odot O$的弦，$OH ⊥ AB$，根据垂径定理可得：$AH=BH$，
又
∵ $OC=OD$，$OH ⊥ CD$（即$OH ⊥ AB$），根据等腰三角形三线合一的性质可得：$CH=DH$，
∴ $CH - AH = DH - BH$，
即$AC=BD$。
【答案】
证明:如图,过点O作$OH ⊥ AB$于点H,则$AH=BH$.
因为$OC=OD$,$OH ⊥ AB$,
所以$CH=DH$,
所以$CH-AH=DH-BH$,
所以$AC=BD$.
【知识点】
垂径定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题关键是构造弦心距这一常用辅助线，结合等腰三角形的性质得到等长线段，再通过线段的和差运算完成证明，需熟练掌握圆中弦相关问题的辅助线构造方法。
【难度系数】
0.8
5.在直径为1 000 mm的圆柱形油罐内装进一些油.其横截面示意图如图所示，油面宽AB＝600 mm.求油的最大深度.
答案
5.解:油的最大深度为 100 mm.
解析
【分析】
本题是圆的实际应用问题，需结合垂径定理与勾股定理解答。解题思路如下：首先过圆心作弦AB的垂线，根据垂径定理可得垂足是AB的中点，同时该垂线与劣弧AB的交点到AB的距离就是油的最大深度；接下来先算出圆的半径、半弦长，再通过勾股定理求出圆心到AB的距离，最后用半径减去该距离即可得到油的最大深度。
【解析】
解：过圆心O作OC⊥AB于点C，交劣弧AB于点D，连接OA。
已知⊙O的直径为1000 mm，因此半径OA=OD=1000÷2=500 mm。
由垂径定理可知，OC垂直平分AB，因此AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×600=300 mm。
在Rt△OAC中，根据勾股定理：
OC=$\sqrt{OA^2 - AC^2}$=$\sqrt{500^2 - 300^2}$=$\sqrt{250000 - 90000}$=$\sqrt{160000}$=400 mm。
因此油的最大深度CD=OD - OC=500 - 400=100 mm。
【答案】
油的最大深度为100 mm。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆与实际结合的基础应用题，解题的关键是作弦的垂线构造符合垂径定理的模型，将所求深度转化为半径与圆心到弦的距离的差，掌握垂径定理和勾股定理的结合使用是解决这类弦长、距离计算问题的核心。
【难度系数】
0.7
本题是圆的实际应用问题，需结合垂径定理与勾股定理解答。解题思路如下：首先过圆心作弦AB的垂线，根据垂径定理可得垂足是AB的中点，同时该垂线与劣弧AB的交点到AB的距离就是油的最大深度；接下来先算出圆的半径、半弦长，再通过勾股定理求出圆心到AB的距离，最后用半径减去该距离即可得到油的最大深度。
【解析】
解：过圆心O作OC⊥AB于点C，交劣弧AB于点D，连接OA。
已知⊙O的直径为1000 mm，因此半径OA=OD=1000÷2=500 mm。
由垂径定理可知，OC垂直平分AB，因此AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×600=300 mm。
在Rt△OAC中，根据勾股定理：
OC=$\sqrt{OA^2 - AC^2}$=$\sqrt{500^2 - 300^2}$=$\sqrt{250000 - 90000}$=$\sqrt{160000}$=400 mm。
因此油的最大深度CD=OD - OC=500 - 400=100 mm。
【答案】
油的最大深度为100 mm。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆与实际结合的基础应用题，解题的关键是作弦的垂线构造符合垂径定理的模型，将所求深度转化为半径与圆心到弦的距离的差，掌握垂径定理和勾股定理的结合使用是解决这类弦长、距离计算问题的核心。
【难度系数】
0.7
