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8. 如图,点O是△ABC的外心,点I是△ABC的内心,连接OB,IA.若∠CAI=36°,求∠OBC的度数.
答案
8. 如图,连接OC.
∵ 点O是△ABC的外心，
∴ OC=OB.
∴ ∠OCB=∠OBC.
∵ 点I是△ABC的内心,∠CAI=36°,
∴ AI平分∠BAC.
∴ ∠BAC=2∠CAI=72°.
∴ ∠BOC=2∠BAC=144°.
∵ ∠OCB=∠OBC,且∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°,
∴ 2∠OBC+144°=180°.
∴ ∠OBC=18°.
解析
【分析】
解题时先回忆三角形内心、外心的定义和性质：①三角形的内心是三条角平分线的交点，因此AI平分∠BAC，可由已知的∠CAI求出∠BAC的度数；②三角形的外心是外接圆的圆心，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此连接OC后，可得∠BOC=2∠BAC；又因为OB、OC都是外接圆半径，二者相等，△OBC为等腰三角形，结合三角形内角和即可求出∠OBC的度数。
【解析】
如图，连接OC。
∵ 点O是△ABC的外心，
∴ OC=OB，
∴ ∠OCB=∠OBC。
∵ 点I是△ABC的内心，∠CAI=36°，
∴ AI平分∠BAC，
∴ ∠BAC=2∠CAI=72°。
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠BOC=2∠BAC=144°。
∵ 在△OBC中，∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°，且∠OCB=∠OBC，
∴ 2∠OBC+144°=180°，
解得∠OBC=18°。
【答案】
8. 如图,连接OC.
∵ 点O是△ABC的外心，
∴ OC=OB.
∴ ∠OCB=∠OBC.
∵ 点I是△ABC的内心,∠CAI=36°,
∴ AI平分∠BAC.
∴ ∠BAC=2∠CAI=72°.
∴ ∠BOC=2∠BAC=144°.
∵ ∠OCB=∠OBC,且∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°,
∴ 2∠OBC+144°=180°.
∴ ∠OBC=18°.
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础的几何角度计算题，综合考查了三角形内心、外心的相关性质，解题的关键是正确作出辅助线OC，利用圆心角与圆周角的数量关系，结合等腰三角形的内角和性质求解，对基础概念的掌握要求较高。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆三角形内心、外心的定义和性质：①三角形的内心是三条角平分线的交点，因此AI平分∠BAC，可由已知的∠CAI求出∠BAC的度数；②三角形的外心是外接圆的圆心，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此连接OC后，可得∠BOC=2∠BAC；又因为OB、OC都是外接圆半径，二者相等，△OBC为等腰三角形，结合三角形内角和即可求出∠OBC的度数。
【解析】
如图，连接OC。
∵ 点O是△ABC的外心，
∴ OC=OB，
∴ ∠OCB=∠OBC。
∵ 点I是△ABC的内心，∠CAI=36°，
∴ AI平分∠BAC，
∴ ∠BAC=2∠CAI=72°。
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠BOC=2∠BAC=144°。
∵ 在△OBC中，∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°，且∠OCB=∠OBC，
∴ 2∠OBC+144°=180°，
解得∠OBC=18°。
【答案】
8. 如图,连接OC.
∵ 点O是△ABC的外心，
∴ OC=OB.
∴ ∠OCB=∠OBC.
∵ 点I是△ABC的内心,∠CAI=36°,
∴ AI平分∠BAC.
∴ ∠BAC=2∠CAI=72°.
∴ ∠BOC=2∠BAC=144°.
∵ ∠OCB=∠OBC,且∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°,
∴ 2∠OBC+144°=180°.
∴ ∠OBC=18°.
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础的几何角度计算题，综合考查了三角形内心、外心的相关性质，解题的关键是正确作出辅助线OC，利用圆心角与圆周角的数量关系，结合等腰三角形的内角和性质求解，对基础概念的掌握要求较高。
【难度系数】
0.7
9. 我们将一个三角形内切圆的半径$r$与外接圆的半径$R$的比值叫作该三角形的“径比”.已知等腰三角形底边长为6,腰长为5,则该三角形的“径比”是多少？
答案
9. 如图,AD为等腰三角形ABC底边BC上的高,点E为△ABC的外心，
∴ $R=AE=BE$.
由等腰三角形的“三线合一”和勾股定理，得 $AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC · AD=\frac{1}{2} × 6 × 4=12$,
在Rt $△ BDE$ 中,由勾股定理,得 $BE^2 = BD^2+DE^2$,
∴ $9+(4-R)^2=R^2$.
解得 $R=\frac{25}{8}$.
如图,点F为等腰三角形ABC的内心，
∴ $r=FH=FI=FD$.
∴ $r=\frac{S_{△ ABC}}{\frac{1}{2}(AB+BC+AC)}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$.
∴ $\frac{r}{R}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{25}{8}}=\frac{3}{2} × \frac{8}{25}=\frac{12}{25}$.
解析
【分析】
要计算该等腰三角形的“径比”，需分别求出外接圆半径$R$和内切圆半径$r$，再计算二者的比值。首先利用等腰三角形“三线合一”的性质求出底边上的高，结合外心在等腰三角形底边的高所在直线上、外心到各顶点距离相等的特点，通过勾股定理列方程求出$R$；再利用三角形面积与内切圆半径的关系，用面积法求出$r$，最终计算$\frac{r}{R}$得到结果。
【解析】
设等腰$△ ABC$的腰$AB=AC=5$，底边$BC=6$，$AD$是底边$BC$上的高：
1. 计算底边上的高和三角形面积：
根据等腰三角形三线合一，得$BD=\frac{1}{2}BC=3$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
三角形面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×6×4=12$。
2. 求外接圆半径$R$：
如图，点$E$是$△ ABC$的外心，外心在$AD$上，因此$AE=BE=R$，$DE=AD-AE=4-R$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，由勾股定理得$BE^2=BD^2+DE^2$，代入得：
$R^2=3^2+(4-R)^2$，
展开化简得$8R=25$，解得$R=\frac{25}{8}$。
3. 求内切圆半径$r$：
如图，点$F$是$△ ABC$的内心，内心到三边的距离等于内切圆半径$r$，
$△ ABC$的周长为$AB+AC+BC=5+5+6=16$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×\mathrm{周长}× r$，
得$r=\frac{2S}{\mathrm{周长}}=\frac{2×12}{16}=\frac{3}{2}$。
4. 计算径比：
$\frac{r}{R}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{25}{8}}=\frac{3}{2}×\frac{8}{25}=\frac{12}{25}$。
【答案】
$\frac{12}{25}$，对应示意图：
【知识点】
等腰三角形性质，勾股定理，三角形的内切圆与外接圆
【点评】
本题结合新定义“径比”，考查了等腰三角形内外接圆半径的求解方法，解题关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质，结合勾股定理和面积法分别求出两个半径，整体难度适中，注重对基础性质和常用解题方法的考查。
【难度系数】
0.65
要计算该等腰三角形的“径比”，需分别求出外接圆半径$R$和内切圆半径$r$，再计算二者的比值。首先利用等腰三角形“三线合一”的性质求出底边上的高，结合外心在等腰三角形底边的高所在直线上、外心到各顶点距离相等的特点，通过勾股定理列方程求出$R$；再利用三角形面积与内切圆半径的关系，用面积法求出$r$，最终计算$\frac{r}{R}$得到结果。
【解析】
设等腰$△ ABC$的腰$AB=AC=5$，底边$BC=6$，$AD$是底边$BC$上的高：
1. 计算底边上的高和三角形面积：
根据等腰三角形三线合一，得$BD=\frac{1}{2}BC=3$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
三角形面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×6×4=12$。
2. 求外接圆半径$R$：
如图
，点$E$是$△ ABC$的外心，外心在$AD$上，因此$AE=BE=R$，$DE=AD-AE=4-R$，在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，由勾股定理得$BE^2=BD^2+DE^2$，代入得：
$R^2=3^2+(4-R)^2$，
展开化简得$8R=25$，解得$R=\frac{25}{8}$。
3. 求内切圆半径$r$：
如图
，点$F$是$△ ABC$的内心，内心到三边的距离等于内切圆半径$r$，$△ ABC$的周长为$AB+AC+BC=5+5+6=16$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×\mathrm{周长}× r$，
得$r=\frac{2S}{\mathrm{周长}}=\frac{2×12}{16}=\frac{3}{2}$。
4. 计算径比：
$\frac{r}{R}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{25}{8}}=\frac{3}{2}×\frac{8}{25}=\frac{12}{25}$。
【答案】
$\frac{12}{25}$，对应示意图：
【知识点】
等腰三角形性质，勾股定理，三角形的内切圆与外接圆
【点评】
本题结合新定义“径比”，考查了等腰三角形内外接圆半径的求解方法，解题关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质，结合勾股定理和面积法分别求出两个半径，整体难度适中，注重对基础性质和常用解题方法的考查。
【难度系数】
0.65
