1. 教材P99T3变式 [2026南昌期中改编] 小明对小亮说：“请你把表示自己身高的三位数(单位：厘米)写在一张纸条上，按如下的步骤进行计算：
①把百位上的数字乘2；
②将得到的积加上5；
③将得到的和乘5；
④加上十位上的数字；
⑤乘10；
⑥加上个位上的数字。
请把最后的得数告诉我。”小亮做好后，对小明说：“最后的得数是416。”小明稍加思索便说：“你的身高是166厘米。”
小亮非常惊讶，但很快明白了其中的道理。亲爱的同学，你能告诉大家这是为什么吗？

解:设小亮身高的百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,
根据题意,得[(2a + 5) × 5 + b] × 10 + c = (10a + 25 + b) × 10 + c = 100a + 250 + 10b + c = (100a + 10b + c) + 250,
由此可见,只要把得数减去250,得到的三位数就是小亮的身高,
所以小亮的身高为416 - 250 = 166(厘米)。

2. [2026鸡西期中]“柳庭风静人眠昼，昼眠人静风庭柳”，从左向右读与从右向左读完全相同，这样的诗称为回文诗。在数学中也有这样的一类数，一个自然数从左向右读与从右向左读完全相等，这样的数称为回文数，如121与1 221均为回文数，回文数与其各个数位上的数字之和的差值称为回自差，如121的回自差为121 - (1 + 2 + 1) = 117。
(1)请你直接写出最小的三位回文数，并求其回自差。
(2)任意三位回文数的回自差最大能被哪个正整数整除？请你说明理由。
(3)任意四位回文数的回自差最大能被正整数整除。

(1)由条件可知最小的三位回文数是101,其回自差为101 - (1 + 0 + 1) = 99。
(2)任意三位回文数的回自差最大能被9整除。理由如下:
设一个三位回文数的百位数字为a,十位数字为b,a,b都为不超过9的自然数,则该三位回文数为100a + 10b + a = 101a + 10b,
所以该三位回文数的回自差为101a + 10b - (a + b + a) = 99a + 9b = 9(11a + b),
因为11a + b是整数,
所以该三位回文数的回自差一定是9的倍数,
所以任意三位回文数的回自差最大能被9整除。
(3)27
设该四位回文数的千位数字为x,百位数字为y,x,y都为不超过9的自然数,则该四位回文数为1 000x + 100y + 10y + x = 1 001x + 110y,所以该四位回文数的回自差为1 001x + 110y - (x + y + y + x) = 999x + 108y = 27(37x + 4y),因为37x + 4y是整数,所以该四位回文数的回自差一定是27的倍数,所以任意四位回文数的回自差最大能被27整除。

3. [2026 郑州第二实验中学期中]阅读材料：
速算的秘密
速算是利用数字间特殊关系进行快速运算的计算方法，有很强的技巧性。观察：
$15^2 = 1 × (1 + 1) × 100 + 25 = 225$；
$25^2 = 2 × (2 + 1) × 100 + 25 = 625$；
$35^2 = 3 × (3 + 1) × 100 + 25 = 1225$。
(1)直接写出结果：$95^2 =$ 。
(2)发现速算规律：十位数字是$a$($a$是小于10的自然数)，个位数字是5的两位数的平方的结果是。(用含有$a$的代数式表示)
(3)小丽发现上面这些结果都可以被25整除，请用所学的代数式知识解释其中原理。

(1)9 025
$95^2 =9 × (9 + 1) × 100 + 25 = 9 025$。
(2)$100a(a + 1) + 25$
(3)设该两位数为$10b + 5$,($b$是小于10的自然数)
则$(10b + 5)^2 = 100b(b + 1) + 25 = 25 × [4b(b + 1) + 1]$,
因为$4b(b + 1) + 1$是整数,
所以$25 × [4b(b + 1) + 1]$是25的倍数,即可被25整除。