7. 如图，MN 是线段 AD 的垂直平分线，BD 交 MN 于点 C，点 E 在 MN 上，连接 AC、AE、BE.
求证：$AC+BC＜AE+BE$.

证明：连接$DE.$

$\because MN$是线段$AD$的垂直平分线，$\therefore AC = DC，$$AE = DE，$
$\therefore BD = DC + BC = AC + BC.$
在$\triangle BDE$中，$BD＜DE + BE，$
$\therefore BD＜AE + BE，$
$\therefore AC + BC＜AE + BE.$

8. 如图，BD 是线段 AC 的垂直平分线.若 $ AB = 5 $，$ CD = 4 $，则四边形 ABCD 的周长为 ______.

18

9. 如图，在$△ ABC$中，$MP$、$NQ$分别垂直平分边$AB$、$AC$，交$BC$于点$P$、$Q$，如果$BC=20$，那么$△ APQ$的周长为______．

20

10. 在$△ ABC$中，$BC=10$，$AB$、$AC$的垂直平分线分别交边$BC$于点$D$、$E$，且$DE=4$，则$AD+AE$的值为 （ ）
A. 6
B. 14
C. 6或14
D. 8或12

C

11. 如图,在$△ ABC$中,边$AB$的垂直平分线$DE$,分别与边$AB$、$AC$交于点$D$、$E$,边$BC$的垂直平分线$FG$,分别与边$BC$、$AC$交于点$F$、$G$.若$△ BEG$的周长为$16$,且$GE=1$,求$AC$的长.

解：$\because DE$是边$AB$的垂直平分线，$\therefore BE = AE；$
$\because FG$是边$BC$的垂直平分线，$\therefore BG = CG.$
$\because \triangle BEG$的周长为$16，$即$BE + GE + BG = 16，$
$\therefore AE + GE + CG = 16，$
$\therefore AE + GE + GE + CE = 16，$
$\therefore AC + GE + GE = 16.$
又$\because GE = 1，$$\therefore AC = 16 - 2 = 14.$

12. 如图,在$△ ABC$中,D是边BC的中点,过点D的直线GF交AC于点F,交AC的平行线BG于点G,$DE ⊥ DF$,交AB于点E,连接EG、EF.
(1)求证:$BG=CF$.
(2)请你判断$BE+CF$与$EF$的大小关系,并说明理由.

解：(1)证明：$\because BG// AC，$
$\therefore \angle DBG = \angle DCF.$$\because D$为$BC$的中点，$\therefore BD = CD.$又$\because \angle BDG = \angle CDF，$
$\therefore \triangle BGD\cong \triangle CFD$（ASA），$\therefore BG = CF.$ (2)$BE + CF＞EF.$理由如下：由 (1)，得$\triangle BGD\cong \triangle CFD，$
$\therefore GD = FD.$又$\because DE\perp FG，$
$\therefore EG = EF$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）.在$\triangle EBG$中，$BE + BG＞EG，$
$\therefore BE + CF＞EF.$