6. 如图,在$△ MNP$中,$∠ P=60°$,$MN=NP$,$MQ⊥ PN$,垂足为$Q$,延长$MN$至点$G$,使$NG=NQ$.若$△ MNP$的周长为$12$,$MQ=a$,则$△ MGQ$的周长是 （ ）
A. $8+2a$
B. $8+a$
C. $6+a$
D. $6+2a$

D

7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC$为钝角,$AF$、$CE$都是这个三角形的高,$P$为$AC$的中点.若$∠ B=40°$,则$∠ EPF$的度数为 （ ）
A. $90°$
B. $95°$
C. $100°$
D. $105°$

C

8. 如图,在$△ ABC$中,$AD$为中线,$AD ⊥ AC$,$∠ BAD = 30°$,$AB = 3$,则$AC$的长为$\underline{\hspace{5em}}$.

$1.5$

9. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=BC$,$D$是$AC$的中点,点$E$、$F$分别在$AB$、$BC$上,且$AE=BF$.
(1)求证:$DE=DF$.
(2)连接$EF$,求$∠ DEF$的度数.

(1)证明：连接$BD。$
因为$\angle ABC = 90^{\circ}，$$AB = BC，$$D$为$AC$的中点， 所以$\angle A=\angle C = 45^{\circ}，$$BD=\frac{1}{2}AC = AD，$$\angle DBF=\frac{1}{2}\angle ABC = 45^{\circ}，$ 所以$\angle A=\angle DBF。$ 在$\triangle ADE$和$\triangle BDF$中， $\begin{cases}AE = BF\\\angle A=\angle DBF\\AD = BD\end{cases}，$ 所以$\triangle ADE\cong\triangle BDF(SAS)，$所以$DE = DF。$ (2)因为$AB = BC，$$D$为$AC$的中点，所以$BD\perp AC，$即$\angle ADB = 90^{\circ}，$ 所以$\angle ADE+\angle BDE = 90^{\circ}。$ 由
(1)，得$\triangle ADE\cong\triangle BDF，$$DE = DF，$所以$\angle ADE=\angle BDF，$ 所以$\angle BDF+\angle BDE = 90^{\circ}，$即$\angle EDF = 90^{\circ}，$ 所以$\triangle DEF$是等腰直角三角形，所以$\angle DEF = 45^{\circ}。$

10. 如图,在锐角三角形 ABC 中,CD、BE 分别是边 AB、AC 上的高,M、N 分别是线段 DE、BC 的中点.
(1)求证:$MN⊥DE.$
(2)连接 DN、EN,猜想$∠A$与$∠DNE$之间的关系,并说明理由.

(1)证明：如图，连接$DN$、$EN。$
因为$CD$、$BE$分别是边$AB$、$AC$上的高，$N$是线段$BC$的中点， 所以$DN = BN = CN=\frac{1}{2}BC = EN，$所以$DN = EN。$ 又因为$M$为$DE$的中点，所以$MN\perp DE。$ (2)$\angle DNE = 180^{\circ}-2\angle A。$ 理由如下：由
(1)，得$DN = EN = BN = CN，$则$\angle DBN=\angle BDN，$$\angle NCE=\angle NEC。$ 因为$\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}-\angle A，$ 所以$\angle BND+\angle CNE=(180^{\circ}-2\angle ABC)+(180^{\circ}-2\angle ACB)=360^{\circ}-2(\angle ABC+\angle ACB)=360^{\circ}-2(180^{\circ}-\angle A)=2\angle A。$ 又因为$\angle BND+\angle CNE+\angle DNE = 180^{\circ}，$ 所以$\angle DNE = 180^{\circ}-(\angle BND+\angle CNE)=180^{\circ}-2\angle A。$