1.（教材练习变式）如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD ⊥ AB$于点$D$，$∠ ECD=3∠ BCD$，$E$是$AB$的中点，则$∠ ECD$的度数是______．

$54^{\circ}$

2. 如图,一架梯子AB斜靠在竖直墙上,M为梯子AB的中点.当梯子底端向左水平滑动到CD位置时,滑动过程中OM的变化规律是 （ ）
A. 变小
B. 不变
C. 变大
D. 先变小再变大

B

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点$D$在斜边$AB$上,且$AD=CD$.下列结论错误的是
( )
A. $∠ BCD=∠ B$
B. $BC=BD$
C. $AD=BD$
D. $∠ ACD=\dfrac{1}{2}∠ BDC$

B

4. 如图，直线 $ m // n $，在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ ∠ B = 60° $，直线 $ m $ 经过斜边 $ AB $ 的中点 $ D $ 和直角顶点 $ C $，则 $ ∠ CEF $ 的度数是 ______。

$150^{\circ}$

5. 已知:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ BAC=30°$,求证:$BC=\frac{1}{2}AB$.
小娟采用“截长法”:如图1,在$AB$上截取$BD=BC$,连接$CD$……
小丽采用“补短法”:如图2,延长$BC$到点$D$,使得$BC=CD$,连接$AD$……
小辉采用“中线法”:如图3,取$AB$的中点$D$,连接$CD$……
请你任选一位同学的方法完成证明.

图 3

选小娟的方法：
证明：如图1，在$AB$上截取$BD = BC，$连接$CD。$ 因为$\angle ACB = 90^{\circ}，$$\angle BAC = 30^{\circ}，$所以$\angle B = 60^{\circ}。$ 因为$BD = BC，$所以$\triangle BCD$是等边三角形。 所以$\angle BCD = 60^{\circ}，$$BD = BC = DC。$ 所以$\angle ACD=\angle ACB-\angle BCD = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}=\angle BAC。$ 所以$DA = DC，$所以$AD = BD = BC，$所以$BC=\frac{1}{2}AB。$ 选小丽的方法：
证明：如图2，延长$BC$到$D$使$CD = BC，$连接$AD。$ 则$BC=\frac{1}{2}BD。$ 又因为$\angle ACB = 90^{\circ}，$所以$AC$垂直平分$BD，$所以$AB = AD。$ 又因为$\angle BAC = 30^{\circ}，$所以$\angle B = 90^{\circ}-\angle BAC = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}。$ 所以$\triangle ABD$是等边三角形，所以$BD = AB，$所以$BC=\frac{1}{2}AB。$ 选小辉的方法：
证明：如图3，取$AB$的中点$D，$连接$CD，$则$BD=\frac{1}{2}AB。$ 因为$\angle ACB = 90^{\circ}，$所以$CD=\frac{1}{2}AB，$所以$CD = BD。$ 因为$\angle BAC = 30^{\circ}，$所以$\angle B = 90^{\circ}-\angle BAC = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}。$ 所以$\triangle BCD$是等边三角形，所以$BC = BD=\frac{1}{2}AB。$