7. 在$△ ABC$中，$D$、$E$分别是边$AB$、$AC$上的点，$AD=3\ \mathrm{cm}$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，$AC=10\ \mathrm{cm}$。若$△ ADE$与$△ ABC$相似，则$AE$的长为 （ ）
A. $\dfrac{15}{4}\ \mathrm{cm}$
B. $\dfrac{4}{15}\ \mathrm{cm}$或$\dfrac{12}{5}\ \mathrm{cm}$
C. $\dfrac{15}{4}\ \mathrm{cm}$或$\dfrac{12}{5}\ \mathrm{cm}$
D. $\dfrac{5}{12}\ \mathrm{cm}$

C

8. 如图，C是线段AB的黄金分割点(BC＞AC)，下列结论错误的是 ( )

A. $\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B. $BC^2=AB· AC$
C. $\frac{BC}{AC}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
D. $\frac{AC}{BC}\approx0.618$

C

9. 如图,已知点 D、F 在$△ ABC$的边 AB 上,点 E 在边 AC 上,且$EF// DC$,$\frac{AF}{DF}=\frac{AD}{DB}$.
(1)求证:$DE// BC$.
(2)如果$\frac{AF}{DF}=\frac{3}{2}$,$S_{△ ADE}=9$,求$S_{△ ABC}$.

​$ (1)$​证明：∵​$EF//DC，$​∴​$\frac {AF}{F D}=\frac {AE}{EC}$​ 又∵​$\frac {AF}{DF}=\frac {AD}{DB}，$​∴​$\frac {AD}{DB}=\frac {AE}{EC}，$​即​$\frac {AD}{AB}=\frac {AE}{AC}$​ 又∵​$∠A = ∠A，$​∴​$\triangle ADE\sim \triangle ABC$​∴​$∠ADE=∠ABC，$​∴​$DE// BC$​​$ (2)$​解：∵​$EF//DC，$​​$\frac {AF}{DF}=\frac 32$​∴​$\frac {AE}{CE}=\frac {AF}{DF}=\frac 32，$​则​$\frac {AE}{AC}=\frac 35$​​$ $​由​$(1)$​知​$\triangle ADE\sim \triangle ABC，$​∴​$\frac {S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = (\frac {AE}{AC})^2=\frac 9{25}$​∵​$S_{\triangle ADE}=9，$​∴​$S_{\triangle ABC}=25$​

10. 如图,在梯形 $ABCD$ 中,$AD // BC$,$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$,点 $E$ 在线段 $OB$ 上,$AE$ 的延长线与 $BC$ 相交于点 $F$,$OD^2 = OB · OE$.
(1)求证:四边形 $AFCD$ 是平行四边形.
(2)如果 $BC = BD$,$AE · AF = AD · BF$,求证:$AE · DC = AD · BE$.

证明：​$(1)$​∵​$OD^2=OE·OB，$​∴​$\frac {OE}{OD}=\frac {OD}{OB}$​∵​$AD// BC，$​∴​$\triangle AOD\sim \triangle COB$​∴​$\frac {OA}{OC}=\frac {OD}{OB}，$​∴​$\frac {OA}{OC}=\frac {OE}{OD}$​ 又∵​$∠AOE=∠COD，$​∴​$\triangle AOE\sim \triangle COD$​∴​$∠EAO=∠DCO，$​∴​$AF//CD$​ 又∵​$AD// F C，$​∴四边形​$AF CD$​是平行四边形​$ (2)$​∵​$AF//CD，$​∴​$∠AED=∠BDC，$​​$\triangle BEF\sim \triangle BDC$​∴​$\frac {BE}{BD}=\frac {BF}{BC}$​∵​$BC = BD，$​∴​$BE = BF$​∵四边形​$AF CD$​是平行四边形，∴​$AF = CD$​∵​$AE·AF=AD·BF，$​∴​$AE·DC=AD·BE$​

11. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=5\ \mathrm{cm}$,$∠ BAC=60°$,动点$M$从点$B$出发,在边$BA$上以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$A$匀速运动,同时动点$N$从点$C$出发,在边$CB$上以$\sqrt{3}\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$B$匀速运动,设运动时间为$t\ \mathrm{s}(0≤ t≤5)$,连接$MN$.
(1)发现:$BM=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$,$BN=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.(用含$t$的式子来表示)
(2)猜想:若$BM=BN$,则$t$的值为______.
(3)探究:是否存在符合条件的$t$,使$△ MBN$与$△ ABC$相似? 若存在,求出$t$的值;若不存在,请说明理由.

$2t$ ; $(5\sqrt{3}-\sqrt{3}t)$ ; $10\sqrt{3}-15$ ; 解：​$(3)$​存在。​$\triangle MBN$​与​$\triangle ABC$​相似，分两种情况讨论：​$ $​当​$\triangle MBN\sim \triangle ABC$​时，有​$\frac {BM}{BA}=\frac {BN}{BC}$​即​$\frac {2\ \mathrm {t}}{10}=\frac {5\sqrt 3-\sqrt 3t}{5\sqrt 3}，$​解得​$t=\frac 52$​​$ $​当​$\triangle MBN\sim \triangle CBA$​时，有​$\frac {BM}{BC}=\frac {BN}{BA}$​即​$\frac {2\ \mathrm {t}}{5\sqrt 3}=\frac {5\sqrt 3-\sqrt 3t}{10}，$​解得​$t=\frac {15}7$​ 综上所述，满足条件的​$t $​的值为​$\frac 52$​或​$\frac {15}7$​