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8. 如图，点G是$△ ABC$的重心.
(1) $\frac{AD}{AB}=$
(2) 若$DG=2$，求$CD$的长.
(1) $\frac{AD}{AB}=$
$\frac{1}{2}$
.(2) 若$DG=2$，求$CD$的长.
答案
8. 解： (1) $\frac{1}{2}$.
(2) 如图，
∵点G为△ABC的重心，
∴由三角形中线性质，可得$S_1=S_2$，$S_3=S_4$，$S_5=S_6$，则$S_1+S_5+S_6=S_2+S_3+S_4$，$S_1+S_2+S_3=S_4+S_5+S_6$，
∴$2S_5=2S_4$，$2S_1=2S_6$，
∴$S_1=S_2=S_3=S_4=S_5=S_6$，则 $\frac{S_{△ AGC}}{S_{△ ADG}} = \frac{CG}{DG} = \frac{S_3+S_4}{S_5} =2$，即 $CG=2DG$，
∵$DG=2$，
∴$CD=CG+DG=3DG=6$。
解析
【分析】
本题考查三角形重心的相关性质，解题思路如下：
1. 解决第(1)问：首先明确三角形重心是三条中线的交点，因此CD是AB边上的中线，可得D为AB的中点，直接就能得出AD与AB的比值。
2. 解决第(2)问：先利用中线分三角形为两个面积相等的三角形的性质，推导出图中6个小三角形的面积都相等；再根据同高三角形的面积比等于对应底的比，得出重心G分中线CD的比例为CG:DG=2:1，最后结合DG的长度计算CD的总长即可。
【解析】
(1)
∵点G是△ABC的重心，
∴CD是△ABC中AB边上的中线，即D为AB的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$。
(2)
∵点G为△ABC的重心，
∴CD、AE、BF均为△ABC的中线，D、E、F分别为三边的中点，
由中线分三角形为面积相等的两部分，可得：
$S_1=S_2$，$S_3=S_4$，$S_5=S_6$，且$S_1+S_2+S_3=S_4+S_5+S_6$，$S_1+S_5+S_6=S_2+S_3+S_4$，
化简可得$S_1=S_2=S_3=S_4=S_5=S_6$。
∵△ADG和△AGC同高，面积比等于底的比，
∴$\frac{CG}{DG}=\frac{S_{△AGC}}{S_{△ADG}}=\frac{S_5+S_6}{S_1}=\frac{2S_1}{S_1}=2$，即$CG=2DG$。
已知$DG=2$，则$CG=2×2=4$，
∴$CD=CG+DG=4+2=6$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $CD$的长为6。
【知识点】
三角形重心的概念；三角形中线的性质；面积法求线段比例
【点评】
本题属于三角形性质的基础考查题，重点考察对重心定义和相关性质的理解，通过面积法推导重心分中线的比例关系，能帮助学生更深刻地理解重心的特征，熟练掌握重心分中线为2:1的结论可快速解决这类题型。
【难度系数】
0.8
本题考查三角形重心的相关性质，解题思路如下：
1. 解决第(1)问：首先明确三角形重心是三条中线的交点，因此CD是AB边上的中线，可得D为AB的中点，直接就能得出AD与AB的比值。
2. 解决第(2)问：先利用中线分三角形为两个面积相等的三角形的性质，推导出图中6个小三角形的面积都相等；再根据同高三角形的面积比等于对应底的比，得出重心G分中线CD的比例为CG:DG=2:1，最后结合DG的长度计算CD的总长即可。
【解析】
(1)
∵点G是△ABC的重心，
∴CD是△ABC中AB边上的中线，即D为AB的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$。
(2)
∵点G为△ABC的重心，
∴CD、AE、BF均为△ABC的中线，D、E、F分别为三边的中点，
由中线分三角形为面积相等的两部分，可得：
$S_1=S_2$，$S_3=S_4$，$S_5=S_6$，且$S_1+S_2+S_3=S_4+S_5+S_6$，$S_1+S_5+S_6=S_2+S_3+S_4$，
化简可得$S_1=S_2=S_3=S_4=S_5=S_6$。
∵△ADG和△AGC同高，面积比等于底的比，
∴$\frac{CG}{DG}=\frac{S_{△AGC}}{S_{△ADG}}=\frac{S_5+S_6}{S_1}=\frac{2S_1}{S_1}=2$，即$CG=2DG$。
已知$DG=2$，则$CG=2×2=4$，
∴$CD=CG+DG=4+2=6$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $CD$的长为6。
【知识点】
三角形重心的概念；三角形中线的性质；面积法求线段比例
【点评】
本题属于三角形性质的基础考查题，重点考察对重心定义和相关性质的理解，通过面积法推导重心分中线的比例关系，能帮助学生更深刻地理解重心的特征，熟练掌握重心分中线为2:1的结论可快速解决这类题型。
【难度系数】
0.8
9.【问题背景】
（1）已知点A(1，2)，B(5，2)，C(-1，-1)，D(3，-3)，在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段AB和CD的中点M，N，然后写出点M和点N的坐标.
【尝试应用】
（2）①结合上述结果，我们可以发现：如果线段的两个端点坐标分别为（a，b），（c，d），则这条线段的中点坐标为
②若点P(-3，7)，Q(1，-3)，用我们发现的结论可以直接得到线段PQ的中点坐标为
【拓展创新】
（3）已知三点E(1，1)，F(7，4)，H(4，-2).
①直接写出线段EF的三等分点的坐标.
②三角形的三条中线交于一点，该点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，该点叫作三角形的重心.请你写出△EFH的重心G的坐标.
（1）已知点A(1，2)，B(5，2)，C(-1，-1)，D(3，-3)，在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段AB和CD的中点M，N，然后写出点M和点N的坐标.
【尝试应用】
（2）①结合上述结果，我们可以发现：如果线段的两个端点坐标分别为（a，b），（c，d），则这条线段的中点坐标为
$(\frac{a+c}{2},\ \frac{b+d}{2})$
.②若点P(-3，7)，Q(1，-3)，用我们发现的结论可以直接得到线段PQ的中点坐标为
(-1, 2)
.【拓展创新】
（3）已知三点E(1，1)，F(7，4)，H(4，-2).
①直接写出线段EF的三等分点的坐标.
②三角形的三条中线交于一点，该点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，该点叫作三角形的重心.请你写出△EFH的重心G的坐标.
答案
9. 解： (1) $M(3,\ 2)$，$N(1,\ -2)$.
(2) ①$(\frac{a+c}{2},\ \frac{b+d}{2})$；② $(-1,\ 2)$.
(3) ① $(3,\ 2)$， $(5,\ 3)$；②$G(4,\ 1)$.
(2) ①$(\frac{a+c}{2},\ \frac{b+d}{2})$；② $(-1,\ 2)$.
(3) ① $(3,\ 2)$， $(5,\ 3)$；②$G(4,\ 1)$.
解析
【分析】
解题时我们按照从特殊到一般的思路逐步推导：
1. 解决第(1)问时，先在坐标系中描出各点，观察线段AB是水平线段，中点的纵坐标和A、B相同，横坐标是A、B横坐标的平均数；线段CD的中点坐标同理可通过两端点坐标的平均数计算，初步感知中点坐标的规律。
2. 第(2)问是归纳规律，把(1)的特殊情况推广到一般情况即可得到中点坐标公式，再直接套用公式计算PQ的中点坐标。
3. 第(3)问①求三等分点时，先计算EF两端点的横、纵坐标差，将差分别三等分，靠近E的三等分点横、纵坐标为E的坐标加1/3的坐标差，另一个三等分点加2/3的坐标差；②三角形重心是三条中线的交点，根据题中给出的重心性质，结合中点公式可推导出重心坐标为三个顶点横、纵坐标分别求平均数即可。
【解析】
(1) 计算线段AB中点M的坐标：
A的横坐标为1，B的横坐标为5，中点横坐标为$\frac{1+5}{2}=3$；A、B纵坐标均为2，中点纵坐标为$\frac{2+2}{2}=2$，故$M(3,2)$。
计算线段CD中点N的坐标：
C的横坐标为-1，D的横坐标为3，中点横坐标为$\frac{-1+3}{2}=1$；C纵坐标为-1，D纵坐标为-3，中点纵坐标为$\frac{-1+(-3)}{2}=-2$，故$N(1,-2)$。
(2) ①由(1)的结果归纳可得：若线段两端点坐标为$(a,b)$、$(c,d)$，中点坐标为两端点横、纵坐标分别求平均数，即$(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2})$。
②将P(-3,7)、Q(1,-3)代入中点公式：
横坐标：$\frac{-3+1}{2}=-1$，纵坐标：$\frac{7+(-3)}{2}=2$，故PQ中点坐标为$(-1,2)$。
(3) ①E(1,1)，F(7,4)，横差：$7-1=6$，三等分每份长2；纵差：$4-1=3$，三等分每份长1。
第一个三等分点（靠近E）：横坐标$1+2=3$，纵坐标$1+1=2$，即$(3,2)$；
第二个三等分点（靠近F）：横坐标$1+2×2=5$，纵坐标$1+1×2=3$，即$(5,3)$。
②三角形重心坐标为三个顶点横、纵坐标的平均数：
横坐标：$\frac{1+7+4}{3}=4$，纵坐标：$\frac{1+4+(-2)}{3}=1$，故重心$G(4,1)$。
【答案】
(1) $M(3,\ 2)$，$N(1,\ -2)$；
(2) ①$(\frac{a+c}{2},\ \frac{b+d}{2})$；② $(-1,\ 2)$；
(3) ① $(3,\ 2)$， $(5,\ 3)$；②$G(4,\ 1)$
【知识点】
平面直角坐标系坐标运算，线段中点坐标公式，三角形重心规律
【点评】
本题从简单的线段中点计算入手，引导学生自主归纳坐标运算规律，再延伸到三等分点、重心坐标的求解，体现了特殊到一般的数学探究思路，能有效考查学生的归纳推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时我们按照从特殊到一般的思路逐步推导：
1. 解决第(1)问时，先在坐标系中描出各点，观察线段AB是水平线段，中点的纵坐标和A、B相同，横坐标是A、B横坐标的平均数；线段CD的中点坐标同理可通过两端点坐标的平均数计算，初步感知中点坐标的规律。
2. 第(2)问是归纳规律，把(1)的特殊情况推广到一般情况即可得到中点坐标公式，再直接套用公式计算PQ的中点坐标。
3. 第(3)问①求三等分点时，先计算EF两端点的横、纵坐标差，将差分别三等分，靠近E的三等分点横、纵坐标为E的坐标加1/3的坐标差，另一个三等分点加2/3的坐标差；②三角形重心是三条中线的交点，根据题中给出的重心性质，结合中点公式可推导出重心坐标为三个顶点横、纵坐标分别求平均数即可。
【解析】
(1) 计算线段AB中点M的坐标：
A的横坐标为1，B的横坐标为5，中点横坐标为$\frac{1+5}{2}=3$；A、B纵坐标均为2，中点纵坐标为$\frac{2+2}{2}=2$，故$M(3,2)$。
计算线段CD中点N的坐标：
C的横坐标为-1，D的横坐标为3，中点横坐标为$\frac{-1+3}{2}=1$；C纵坐标为-1，D纵坐标为-3，中点纵坐标为$\frac{-1+(-3)}{2}=-2$，故$N(1,-2)$。
(2) ①由(1)的结果归纳可得：若线段两端点坐标为$(a,b)$、$(c,d)$，中点坐标为两端点横、纵坐标分别求平均数，即$(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2})$。
②将P(-3,7)、Q(1,-3)代入中点公式：
横坐标：$\frac{-3+1}{2}=-1$，纵坐标：$\frac{7+(-3)}{2}=2$，故PQ中点坐标为$(-1,2)$。
(3) ①E(1,1)，F(7,4)，横差：$7-1=6$，三等分每份长2；纵差：$4-1=3$，三等分每份长1。
第一个三等分点（靠近E）：横坐标$1+2=3$，纵坐标$1+1=2$，即$(3,2)$；
第二个三等分点（靠近F）：横坐标$1+2×2=5$，纵坐标$1+1×2=3$，即$(5,3)$。
②三角形重心坐标为三个顶点横、纵坐标的平均数：
横坐标：$\frac{1+7+4}{3}=4$，纵坐标：$\frac{1+4+(-2)}{3}=1$，故重心$G(4,1)$。
【答案】
(1) $M(3,\ 2)$，$N(1,\ -2)$；
(2) ①$(\frac{a+c}{2},\ \frac{b+d}{2})$；② $(-1,\ 2)$；
(3) ① $(3,\ 2)$， $(5,\ 3)$；②$G(4,\ 1)$
【知识点】
平面直角坐标系坐标运算，线段中点坐标公式，三角形重心规律
【点评】
本题从简单的线段中点计算入手，引导学生自主归纳坐标运算规律，再延伸到三等分点、重心坐标的求解，体现了特殊到一般的数学探究思路，能有效考查学生的归纳推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
