登录
1. 实数$a,b,c$在数轴上的位置如图所示，代数式$\sqrt{a^2} - |a - b| + \sqrt[3]{(c - a)^3}$可以化简为（）
A.$-3a + b + c$
B.$-a - b + c$
C.$-a + b + c$
D.$a + b - c$
A.$-3a + b + c$
B.$-a - b + c$
C.$-a + b + c$
D.$a + b - c$
答案
A
解析
1. 由数轴上点的位置可得：$b ＜ c ＜ a ＜ 0$，因此$a＜0$，$a-b＞0$。
2. 根据二次根式的性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，因为$a＜0$，所以$|a|=-a$。
3. 根据绝对值的性质，正数的绝对值等于它本身，因此$|a-b|=a-b$。
4. 根据立方根的性质，对任意实数$x$都有$\sqrt[3]{x^3}=x$，因此$\sqrt[3]{(c-a)^3}=c-a$。
5. 代入原式化简：
原式$=-a - (a - b) + c - a = -a -a + b + c -a = -3a + b + c$。
2. 根据二次根式的性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，因为$a＜0$，所以$|a|=-a$。
3. 根据绝对值的性质，正数的绝对值等于它本身，因此$|a-b|=a-b$。
4. 根据立方根的性质，对任意实数$x$都有$\sqrt[3]{x^3}=x$，因此$\sqrt[3]{(c-a)^3}=c-a$。
5. 代入原式化简：
原式$=-a - (a - b) + c - a = -a -a + b + c -a = -3a + b + c$。
2.将图①中的长方形分成B,C两部分,恰与正方形A拼接成图②所示的大正方形.若正方形A的面积为4,拼接后的大正方形的面积为5,则图①中原长方形的周长为()
A.4
B.$4\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5}+2$
D.8
A.4
B.$4\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5}+2$
D.8
答案
B
解析
首先，由正方形A的面积为4，可得正方形A的边长为$\sqrt{4}=2$。
其次，拼接后的大正方形面积为5，可得大正方形的边长为$\sqrt{5}$。
观察拼接图形可知：原长方形的长 = 大正方形边长 + 正方形A的边长 = $\sqrt{5}+2$，原长方形的宽 = 大正方形边长 - 正方形A的边长 = $\sqrt{5}-2$。
因此原长方形的周长为$2×[(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2)]=2×2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$。
其次，拼接后的大正方形面积为5，可得大正方形的边长为$\sqrt{5}$。
观察拼接图形可知：原长方形的长 = 大正方形边长 + 正方形A的边长 = $\sqrt{5}+2$，原长方形的宽 = 大正方形边长 - 正方形A的边长 = $\sqrt{5}-2$。
因此原长方形的周长为$2×[(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2)]=2×2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$。
3. 写出一个比$\sqrt{5}$小的整数：.
答案
2（答案不唯一，1、0、-1等均正确）
解析
先估算$\sqrt{5}$的取值范围，由$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，可得$2＜\sqrt{5}＜3$，因此所有不大于2的整数都满足比$\sqrt{5}$小的要求，任选一个符合条件的整数即可。
4. 若 $ m ＜ \sqrt[3]{100} ＜ n $，且 $ m,n $ 是两个连续的整数，则 $ m+n=\_\_\_\_\_\_ $。
答案
9
解析
先计算相邻整数的立方值：$4^3=64$，$5^3=125$，可得$64＜100＜125$。根据立方根的性质，对不等式同时开三次方得到$4＜\sqrt[3]{100}＜5$。结合已知条件$m＜\sqrt[3]{100}＜n$，且$m$、$n$是连续整数，可推出$m=4$，$n=5$，因此$m+n=4+5=9$。
5. 当$2x+5=\sqrt[3]{2x+5}$时，$2x-5$的值是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
-11、-10或-9
解析
我们知道立方根等于自身的数有-1、0、1，设$a = 2x + 5$，由题意得$a = \sqrt[3]{a}$，因此$a$的可能取值为-1、0、1：
1. 当$2x + 5 = 0$时，解得$2x = -5$，则$2x - 5 = -5 - 5 = -10$；
2. 当$2x + 5 = 1$时，解得$2x = -4$，则$2x - 5 = -4 - 5 = -9$；
3. 当$2x + 5 = -1$时，解得$2x = -6$，则$2x - 5 = -6 - 5 = -11$。
1. 当$2x + 5 = 0$时，解得$2x = -5$，则$2x - 5 = -5 - 5 = -10$；
2. 当$2x + 5 = 1$时，解得$2x = -4$，则$2x - 5 = -4 - 5 = -9$；
3. 当$2x + 5 = -1$时，解得$2x = -6$，则$2x - 5 = -6 - 5 = -11$。
6.【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：
$\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2},\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3},\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4},···.$
【实践探究】
(1)按照此规律，计算：$\sqrt{1-\frac{13}{49}}=\_\_\_\_\_\_;$
(2)计算：$\sqrt{1-\frac{3}{4}}×\sqrt{1-\frac{5}{9}}×\sqrt{1-\frac{7}{16}}×···×\sqrt{1-\frac{17}{81}};$
【迁移应用】
(3)若$\sqrt{1-\frac{4051}{n^2}}=x$符合上述规律，请直接写出$x$的值.
$\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2},\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3},\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4},···.$
【实践探究】
(1)按照此规律，计算：$\sqrt{1-\frac{13}{49}}=\_\_\_\_\_\_;$
(2)计算：$\sqrt{1-\frac{3}{4}}×\sqrt{1-\frac{5}{9}}×\sqrt{1-\frac{7}{16}}×···×\sqrt{1-\frac{17}{81}};$
【迁移应用】
(3)若$\sqrt{1-\frac{4051}{n^2}}=x$符合上述规律，请直接写出$x$的值.
答案
(1) $\frac{6}{7}$；(2) $\frac{1}{9}$；(3) $\frac{2025}{2026}$
解析
(1) 先总结已知算式的规律：第$k$个式子满足$\sqrt{1-\frac{2k+1}{(k+1)^2}}=\frac{k}{k+1}$。对于$\sqrt{1-\frac{13}{49}}$，分母$49=7^2$，分子$13=2×6+1$，对应$k=6$，计算得：
$\sqrt{1-\frac{13}{49}}=\sqrt{\frac{36}{49}}=\frac{6}{7}$
(2) 观察最后一项$\sqrt{1-\frac{17}{81}}$，$81=9^2$，$17=2×8+1$，对应化简结果为$\frac{8}{9}$，因此原式可转化为连乘形式：
$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\dots×\frac{8}{9}$
相邻项的分子分母依次约分，最终剩余首项分子1和末项分母9，结果为$\frac{1}{9}$
(3) 根据规律令$2k+1=4051$，解得$k=2025$，因此$x=\frac{k}{k+1}=\frac{2025}{2026}$
$\sqrt{1-\frac{13}{49}}=\sqrt{\frac{36}{49}}=\frac{6}{7}$
(2) 观察最后一项$\sqrt{1-\frac{17}{81}}$，$81=9^2$，$17=2×8+1$，对应化简结果为$\frac{8}{9}$，因此原式可转化为连乘形式：
$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\dots×\frac{8}{9}$
相邻项的分子分母依次约分，最终剩余首项分子1和末项分母9，结果为$\frac{1}{9}$
(3) 根据规律令$2k+1=4051$，解得$k=2025$，因此$x=\frac{k}{k+1}=\frac{2025}{2026}$
