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8. 如图，点 C 是线段 AB 上的一点，点 M 是线段 AC 的中点，点 N 是线段 BC 的中点。
(1)如果 AB = 20 cm，AM = 6 cm，求 NC 的长；
(2)如果 MN = 6 cm，求 AB 的长。
(3)试探究 MN 与 AB 的数量关系，并说明理由。
(1)如果 AB = 20 cm，AM = 6 cm，求 NC 的长；
(2)如果 MN = 6 cm，求 AB 的长。
(3)试探究 MN 与 AB 的数量关系，并说明理由。
答案
解：
(1) 因为点M是线段AC的中点，所以 $AC = 2AM$。
已知 $AM=6\ \mathrm{cm}$，因此 $AC = 2×6 = 12\ \mathrm{cm}$。
又因为 $AB=20\ \mathrm{cm}$，所以 $BC = AB - AC = 20 - 12 = 8\ \mathrm{cm}$。
因为点N是线段BC的中点，所以 $NC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×8 = 4\ \mathrm{cm}$。
(2) 因为点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，所以 $MC = \frac{1}{2}AC$，$NC = \frac{1}{2}BC$。
因此 $MN = MC + NC = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC+BC)$。
又因为 $AC+BC=AB$，所以 $MN = \frac{1}{2}AB$。
已知 $MN=6\ \mathrm{cm}$，因此 $AB = 2MN = 2×6 = 12\ \mathrm{cm}$。
(3) 数量关系：$\boldsymbol{MN=\frac{1}{2}AB}$，理由如下：
因为M是AC中点，N是BC中点，所以 $MC=\frac{1}{2}AC$，$NC=\frac{1}{2}BC$。
则 $MN = MC + NC = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC+BC)$，
又因为 $AC+BC=AB$，因此 $MN = \frac{1}{2}AB$。
(1) 因为点M是线段AC的中点，所以 $AC = 2AM$。
已知 $AM=6\ \mathrm{cm}$，因此 $AC = 2×6 = 12\ \mathrm{cm}$。
又因为 $AB=20\ \mathrm{cm}$，所以 $BC = AB - AC = 20 - 12 = 8\ \mathrm{cm}$。
因为点N是线段BC的中点，所以 $NC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×8 = 4\ \mathrm{cm}$。
(2) 因为点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，所以 $MC = \frac{1}{2}AC$，$NC = \frac{1}{2}BC$。
因此 $MN = MC + NC = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC+BC)$。
又因为 $AC+BC=AB$，所以 $MN = \frac{1}{2}AB$。
已知 $MN=6\ \mathrm{cm}$，因此 $AB = 2MN = 2×6 = 12\ \mathrm{cm}$。
(3) 数量关系：$\boldsymbol{MN=\frac{1}{2}AB}$，理由如下：
因为M是AC中点，N是BC中点，所以 $MC=\frac{1}{2}AC$，$NC=\frac{1}{2}BC$。
则 $MN = MC + NC = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC+BC)$，
又因为 $AC+BC=AB$，因此 $MN = \frac{1}{2}AB$。
解析
8. (1) NC = 4 cm (2) AB = 12 cm
(3) MN = AB，理由
(3) MN = AB，理由
9. 如图，点 E 是线段 AB 的中点，点 C 是线段 EB 上的一点，点 D 是 BC 的中点。已知 AE = 9，DB = 2.5，求线段 AC 的长。
答案
9.解：
∵点E是线段AB的中点，AE=9，
∴AB=2AE=18，EB=AE=9。
∵点D是BC的中点，DB=2.5，
∴BC=2DB=5。
∵点C是线段EB上的一点，
∴EC=EB-BC=9-5=4。
∴AC=AE+EC=9+4=13。
答：线段AC的长为13。
AC = 13
∵点E是线段AB的中点，AE=9，
∴AB=2AE=18，EB=AE=9。
∵点D是BC的中点，DB=2.5，
∴BC=2DB=5。
∵点C是线段EB上的一点，
∴EC=EB-BC=9-5=4。
∴AC=AE+EC=9+4=13。
答：线段AC的长为13。
AC = 13
解析
解：
∵点E是线段AB的中点，AE=9，
∴AB=2AE=18，EB=AE=9。
∵点D是BC的中点，DB=2.5，
∴BC=2DB=5。
∵点C是线段EB上的一点，
∴EC=EB-BC=9-5=4。
∴AC=AE+EC=9+4=13。
答：线段AC的长为13。
∵点E是线段AB的中点，AE=9，
∴AB=2AE=18，EB=AE=9。
∵点D是BC的中点，DB=2.5，
∴BC=2DB=5。
∵点C是线段EB上的一点，
∴EC=EB-BC=9-5=4。
∴AC=AE+EC=9+4=13。
答：线段AC的长为13。
10. 已知点 A，B，C 在同一直线上，AB = 12，BC = 3，点 D 为 AC 的中点，求线段 BD 的长。
答案
10. 4.5或7.5
解析
情况一：点 C 在 AB 延长线上
AC = AB + BC = 12 + 3 = 15
∵ D 为 AC 中点
∴ AD = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{15}{2}$ = 7.5
BD = AB - AD = 12 - 7.5 = 4.5
情况二：点 C 在 AB 之间
AC = AB - BC = 12 - 3 = 9
∵ D 为 AC 中点
∴ AD = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{9}{2}$ = 4.5
BD = AB - AD = 12 - 4.5 = 7.5
综上，BD 的长为 4.5 或 7.5。
AC = AB + BC = 12 + 3 = 15
∵ D 为 AC 中点
∴ AD = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{15}{2}$ = 7.5
BD = AB - AD = 12 - 7.5 = 4.5
情况二：点 C 在 AB 之间
AC = AB - BC = 12 - 3 = 9
∵ D 为 AC 中点
∴ AD = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{9}{2}$ = 4.5
BD = AB - AD = 12 - 4.5 = 7.5
综上，BD 的长为 4.5 或 7.5。
11. 已知线段 a，b，画一条线段，使它等于 2a - b。
答案
11. 如图，线段AB即为所求。
解析
【分析】
这是一道尺规作线段和差的基础题，解题思路是先构造出长度为2a的线段，再从该线段中减去长度为b的部分即可得到目标线段。首先我们先画一条足够长的射线作为基准，接着用圆规量取线段a的长度，在射线上连续截取两段等于a的线段，就得到了总长度为2a的线段；之后再用圆规量取线段b的长度，从刚才得到的2a线段的末端，向射线的起点方向反向截取长度为b的线段，剩余的线段长度就恰好是2a - b，最后标注出所求线段即可。
【解析】
具体作图步骤如下：
1. 作射线AP；
2. 用圆规量取已知线段a的长度，在射线AP上从点A开始顺次截取AC = a，CD = a，此时线段AD的长度为2a；
3. 用圆规量取已知线段b的长度，在线段AD上，从点D向点A的方向截取DB = b；
最终剩余的线段AB就是满足长度为2a - b的所求线段。
【答案】
如图，线段AB即为所求。
【知识点】
尺规作图，线段的和差
【点评】
本题是几何入门的基础尺规作图题，核心考察线段和差的作图逻辑，需要掌握“顺次截取求和、反向截取求差”的操作要点，注意使用圆规精准量取已知线段长度，避免随意手绘导致长度不符合要求，帮助学生建立规范的几何作图意识。
【难度系数】
0.7
这是一道尺规作线段和差的基础题，解题思路是先构造出长度为2a的线段，再从该线段中减去长度为b的部分即可得到目标线段。首先我们先画一条足够长的射线作为基准，接着用圆规量取线段a的长度，在射线上连续截取两段等于a的线段，就得到了总长度为2a的线段；之后再用圆规量取线段b的长度，从刚才得到的2a线段的末端，向射线的起点方向反向截取长度为b的线段，剩余的线段长度就恰好是2a - b，最后标注出所求线段即可。
【解析】
具体作图步骤如下：
1. 作射线AP；
2. 用圆规量取已知线段a的长度，在射线AP上从点A开始顺次截取AC = a，CD = a，此时线段AD的长度为2a；
3. 用圆规量取已知线段b的长度，在线段AD上，从点D向点A的方向截取DB = b；
最终剩余的线段AB就是满足长度为2a - b的所求线段。
【答案】
如图，线段AB即为所求。
【知识点】
尺规作图，线段的和差
【点评】
本题是几何入门的基础尺规作图题，核心考察线段和差的作图逻辑，需要掌握“顺次截取求和、反向截取求差”的操作要点，注意使用圆规精准量取已知线段长度，避免随意手绘导致长度不符合要求，帮助学生建立规范的几何作图意识。
【难度系数】
0.7
