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9. 某企业为严重缺水的甲、乙两个村庄捐赠矿泉水共2000箱，已知捐给甲村庄的矿泉水箱数比捐给乙村庄的2倍少400箱，则该企业捐给甲、乙两个村庄的矿泉水各多少箱？
答案
9. 解：设该企业捐给乙村庄的矿泉水为 $ x $ 箱，则捐给甲村庄的矿泉水为 $ (2x - 400) $ 箱。
由题意，得 $ x + (2x - 400) = 2000 $，
解得 $ x = 800 $。
$ 2000 - 800 = 1200 $（箱）。
因此，该企业捐给甲、乙村庄的矿泉水分别为 1200 箱、800 箱。
由题意，得 $ x + (2x - 400) = 2000 $，
解得 $ x = 800 $。
$ 2000 - 800 = 1200 $（箱）。
因此，该企业捐给甲、乙村庄的矿泉水分别为 1200 箱、800 箱。
解析
【分析】
这是典型的和差倍分类一元一次方程应用题，解题思路如下：第一步先从题干提取两个核心等量关系：①捐给甲的箱数+捐给乙的箱数=总箱数2000；②捐给甲的箱数=捐给乙的箱数×2 - 400。第二步选择简便的设元方式，设作为单位量的乙村庄捐赠箱数为未知数x，就可以直接用第二个等量关系把甲的箱数表示为含x的代数式，无需设两个未知数。第三步把表示甲乙数量的代数式代入总数量的等量关系，列出一元一次方程，求解得到乙的箱数后，再计算甲的箱数即可得到结果。
【解析】
解：设该企业捐给乙村庄的矿泉水为 $ x $ 箱，根据题意，捐给甲村庄的矿泉水箱数比乙村庄的2倍少400箱，因此捐给甲村庄的矿泉水为 $ (2x - 400) $ 箱。
根据两个村庄捐赠矿泉水总箱数为2000箱，列方程：
$x + (2x - 400) = 2000$
合并同类项得：$3x - 400 = 2000$
移项计算得：$3x = 2400$
解得 $ x = 800 $。
则捐给甲村庄的矿泉水箱数为：$ 2000 - 800 = 1200 $（箱）。
【答案】
该企业捐给甲村庄的矿泉水为1200箱，捐给乙村庄的矿泉水为800箱。
【知识点】
一元一次方程应用；和差倍分问题
【点评】
本题属于一元一次方程实际应用的基础题型，核心技巧是利用两个等量关系，一个用于设元表示未知量，另一个用于列方程，避免使用二元一次方程组增加计算步骤，解题时要注意不要混淆甲乙两个村庄的数量倍数关系，避免出现倍数对应错误的问题。
【难度系数】
0.8
这是典型的和差倍分类一元一次方程应用题，解题思路如下：第一步先从题干提取两个核心等量关系：①捐给甲的箱数+捐给乙的箱数=总箱数2000；②捐给甲的箱数=捐给乙的箱数×2 - 400。第二步选择简便的设元方式，设作为单位量的乙村庄捐赠箱数为未知数x，就可以直接用第二个等量关系把甲的箱数表示为含x的代数式，无需设两个未知数。第三步把表示甲乙数量的代数式代入总数量的等量关系，列出一元一次方程，求解得到乙的箱数后，再计算甲的箱数即可得到结果。
【解析】
解：设该企业捐给乙村庄的矿泉水为 $ x $ 箱，根据题意，捐给甲村庄的矿泉水箱数比乙村庄的2倍少400箱，因此捐给甲村庄的矿泉水为 $ (2x - 400) $ 箱。
根据两个村庄捐赠矿泉水总箱数为2000箱，列方程：
$x + (2x - 400) = 2000$
合并同类项得：$3x - 400 = 2000$
移项计算得：$3x = 2400$
解得 $ x = 800 $。
则捐给甲村庄的矿泉水箱数为：$ 2000 - 800 = 1200 $（箱）。
【答案】
该企业捐给甲村庄的矿泉水为1200箱，捐给乙村庄的矿泉水为800箱。
【知识点】
一元一次方程应用；和差倍分问题
【点评】
本题属于一元一次方程实际应用的基础题型，核心技巧是利用两个等量关系，一个用于设元表示未知量，另一个用于列方程，避免使用二元一次方程组增加计算步骤，解题时要注意不要混淆甲乙两个村庄的数量倍数关系，避免出现倍数对应错误的问题。
【难度系数】
0.8
10. 如图，已知点$A$在数轴上表示的数为-4，点$B$在数轴上表示的数为8，点$C$是线段$AB$上一点，且$AC = 2BC$，动点$P$从点$A$出发以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动。若$PC = 3$，则运动时间为
$ \dfrac{5}{2} $ 或 $ \dfrac{11}{2} $
秒。答案
10. $ \dfrac{5}{2} $ 或 $ \dfrac{11}{2} $
解析
解：设点$C$表示的数为$x$。
$\because AC = 2BC$，$A$表示$-4$，$B$表示$8$，
$\therefore x - (-4) = 2(8 - x)$，解得$x = 4$，即点$C$表示的数为$4$。
设运动时间为$t$秒，点$P$表示的数为$-4 + 2t$。
$\because PC = 3$，
$\therefore |(-4 + 2t) - 4| = 3$，即$|2t - 8| = 3$。
分两种情况：
1. $2t - 8 = 3$，解得$t = \dfrac{11}{2}$；
2. $2t - 8 = -3$，解得$t = \dfrac{5}{2}$。
综上，运动时间为$\dfrac{5}{2}$或$\dfrac{11}{2}$秒。
$\dfrac{5}{2}$或$\dfrac{11}{2}$
$\because AC = 2BC$，$A$表示$-4$，$B$表示$8$，
$\therefore x - (-4) = 2(8 - x)$，解得$x = 4$，即点$C$表示的数为$4$。
设运动时间为$t$秒，点$P$表示的数为$-4 + 2t$。
$\because PC = 3$，
$\therefore |(-4 + 2t) - 4| = 3$，即$|2t - 8| = 3$。
分两种情况：
1. $2t - 8 = 3$，解得$t = \dfrac{11}{2}$；
2. $2t - 8 = -3$，解得$t = \dfrac{5}{2}$。
综上，运动时间为$\dfrac{5}{2}$或$\dfrac{11}{2}$秒。
$\dfrac{5}{2}$或$\dfrac{11}{2}$
11. 对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边。一般情况下，天头长与地头长的比是6:4，左、右边的宽相等，且均为天头长与地头长的和的$\frac{1}{10}$。某人要装裱一副对联，对联的长为120cm，宽为32cm，若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长。
答案
11. 解：设边的宽为 $ x $ cm，则天头长与地头长的和为 $ 10x $ cm。
由题意可列方程 $ 4(32 + 2x) = 10x + 120 $，
解得 $ x = 4 $。
$ 4 ÷ \dfrac{1}{10} × \dfrac{6}{6 + 4} = 24 $（cm）。
因此，边的宽是 4 cm，天头长是 24 cm。
由题意可列方程 $ 4(32 + 2x) = 10x + 120 $，
解得 $ x = 4 $。
$ 4 ÷ \dfrac{1}{10} × \dfrac{6}{6 + 4} = 24 $（cm）。
因此，边的宽是 4 cm，天头长是 24 cm。
解析
【分析】
这是结合传统文化场景的一元一次方程实际应用题，解题思路如下：
1. 先根据题干给出的边的宽和天头长+地头长的数量关系，设边的宽为未知数x，可直接用x表示出天头长与地头长的总和为10x，简化后续计算。
2. 分别推导装裱后的长和宽的表达式：装裱后的宽是对联本身32cm加上左右两条边的宽度，即32+2x；装裱后的长是对联本身120cm加上天头、地头的总长度，即120+10x。
3. 利用“装裱后的长是装裱后的宽的4倍”的等量关系列出一元一次方程，求解得到边的宽x。
4. 最后根据天头长:地头长=6:4的比例关系，计算得到天头的长度即可。
【解析】
解：设边的宽为 $ x \, \mathrm{cm} $，
由题意可知，边的宽是天头长与地头长的和的$\frac{1}{10}$，因此天头长与地头长的和为 $ 10x \, \mathrm{cm} $。
装裱后的宽为对联宽度加上左右两条边的宽度，即$ (32 + 2x) \, \mathrm{cm} $；
装裱后的长为对联长度加上天头、地头的总长度，即$ (120 + 10x) \, \mathrm{cm} $。
根据“装裱后的长是装裱后的宽的4倍”列方程：
$4(32 + 2x) = 120 + 10x$
展开并整理方程：
$128 + 8x = 120 + 10x$
$2x = 8$
解得 $ x = 4 $。
天头长与地头长的总和为 $ 10x = 40 \, \mathrm{cm} $，结合天头长与地头长的比为6:4，可得天头长为：
$40 × \frac{6}{6+4} = 24 \, \mathrm{cm}$
【答案】
边的宽是4cm，天头长是24cm
【知识点】
一元一次方程应用，比例运算
【点评】
本题结合对联装裱的传统文化场景考查实际问题的求解，核心易错点是容易漏算左右两条边的宽度，导致装裱后的宽的表达式列错，整体侧重考查学生从实际场景中提取等量关系的能力，属于常规的方程应用题型。
【难度系数】
0.7
这是结合传统文化场景的一元一次方程实际应用题，解题思路如下：
1. 先根据题干给出的边的宽和天头长+地头长的数量关系，设边的宽为未知数x，可直接用x表示出天头长与地头长的总和为10x，简化后续计算。
2. 分别推导装裱后的长和宽的表达式：装裱后的宽是对联本身32cm加上左右两条边的宽度，即32+2x；装裱后的长是对联本身120cm加上天头、地头的总长度，即120+10x。
3. 利用“装裱后的长是装裱后的宽的4倍”的等量关系列出一元一次方程，求解得到边的宽x。
4. 最后根据天头长:地头长=6:4的比例关系，计算得到天头的长度即可。
【解析】
解：设边的宽为 $ x \, \mathrm{cm} $，
由题意可知，边的宽是天头长与地头长的和的$\frac{1}{10}$，因此天头长与地头长的和为 $ 10x \, \mathrm{cm} $。
装裱后的宽为对联宽度加上左右两条边的宽度，即$ (32 + 2x) \, \mathrm{cm} $；
装裱后的长为对联长度加上天头、地头的总长度，即$ (120 + 10x) \, \mathrm{cm} $。
根据“装裱后的长是装裱后的宽的4倍”列方程：
$4(32 + 2x) = 120 + 10x$
展开并整理方程：
$128 + 8x = 120 + 10x$
$2x = 8$
解得 $ x = 4 $。
天头长与地头长的总和为 $ 10x = 40 \, \mathrm{cm} $，结合天头长与地头长的比为6:4，可得天头长为：
$40 × \frac{6}{6+4} = 24 \, \mathrm{cm}$
【答案】
边的宽是4cm，天头长是24cm
【知识点】
一元一次方程应用，比例运算
【点评】
本题结合对联装裱的传统文化场景考查实际问题的求解，核心易错点是容易漏算左右两条边的宽度，导致装裱后的宽的表达式列错，整体侧重考查学生从实际场景中提取等量关系的能力，属于常规的方程应用题型。
【难度系数】
0.7
