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4.同一平面内有四条直线a，b，c，d，若$a// b$，$a⊥ c$，$b⊥ d$，则c，d的位置关系为（
A.互相垂直
B.互相平行
C.相交
D.无法确定
B
）A.互相垂直
B.互相平行
C.相交
D.无法确定
答案
4.B
解析
【分析】
解题时先从已知的平行和垂直关系入手，第一步结合$a// b$、$a⊥ c$的条件，推导$b$和$c$的位置关系；再结合$b⊥ d$的已知条件，利用同一平面内直线平行的判定规则，就能推出$c$和$d$的位置关系。
【解析】
解：①$\because a// b$，$a⊥ c$，根据“一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条”，可得$b⊥ c$；
②又$\because b⊥ d$，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此$c// d$。
所以$c$、$d$的位置关系是互相平行。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；垂直的性质
【点评】
本题考查同一平面内平行与垂直关系的转化，只要熟练掌握平行、垂直的相关性质和判定定理，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的平行和垂直关系入手，第一步结合$a// b$、$a⊥ c$的条件，推导$b$和$c$的位置关系；再结合$b⊥ d$的已知条件，利用同一平面内直线平行的判定规则，就能推出$c$和$d$的位置关系。
【解析】
解：①$\because a// b$，$a⊥ c$，根据“一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条”，可得$b⊥ c$；
②又$\because b⊥ d$，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此$c// d$。
所以$c$、$d$的位置关系是互相平行。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；垂直的性质
【点评】
本题考查同一平面内平行与垂直关系的转化，只要熟练掌握平行、垂直的相关性质和判定定理，即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
5. 如图，直线 $ AB // CD $，$ EF $ 分别交 $ AB $，$ CD $ 于点 $ E $，$ F $，$ GE ⊥ EF $ 于点 $ E $。若 $ ∠ 1=25° $，则 $ ∠ 2 $ 的大小为（
A.$ 65° $
B.$ 75° $
C.$ 50° $
D.$ 55° $
A
）A.$ 65° $
B.$ 75° $
C.$ 50° $
D.$ 55° $
答案
5.A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由GE⊥EF可得直角，结合平角为180°的性质，先计算出∠AEF的度数；再利用AB//CD的平行线性质，找到与∠2相等的同位角∠AEF，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵GE⊥EF，
∴∠GEF=90°（垂直的定义），
∵∠AEF + ∠GEF + ∠1 = 180°（平角的定义），∠1=25°，
∴∠AEF = 180° - 90° - 25° = 65°，
又
∵AB//CD，EF为截线，
∴∠2=∠AEF（两直线平行，同位角相等），
∴∠2=65°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义，平角的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，核心是结合平行线性质、垂直定义和平角性质进行角度推导，解题时要注意找准平行线的同位角，理清各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先由GE⊥EF可得直角，结合平角为180°的性质，先计算出∠AEF的度数；再利用AB//CD的平行线性质，找到与∠2相等的同位角∠AEF，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵GE⊥EF，
∴∠GEF=90°（垂直的定义），
∵∠AEF + ∠GEF + ∠1 = 180°（平角的定义），∠1=25°，
∴∠AEF = 180° - 90° - 25° = 65°，
又
∵AB//CD，EF为截线，
∴∠2=∠AEF（两直线平行，同位角相等），
∴∠2=65°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义，平角的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，核心是结合平行线性质、垂直定义和平角性质进行角度推导，解题时要注意找准平行线的同位角，理清各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
6. 如图，$AB // CD$，连接$CA$并延长至点$H$，$CF$平分$∠ ACD$，$CE ⊥ CF$，$∠ GAH$与$∠ AFC$互余。
（1）求证：$AG // CE$；
（2）若$∠ GAF = 110°$，求$∠ AFC$的度数。
（1）求证：$AG // CE$；
（2）若$∠ GAF = 110°$，求$∠ AFC$的度数。
答案
6.（1）略
（2）$∠ AFC=20°$
（2）$∠ AFC=20°$
解析
【分析】
（1）要证明$AG// CE$，可通过判定同位角相等实现。首先利用平行线的内错角相等性质得到$∠ AFC=∠ FCD$，结合角平分线定义推出$∠ ACF=∠ AFC$；再由$CE⊥ CF$得到$∠ ACE+∠ ACF=90°$，结合$∠ GAH$与$∠ AFC$互余的条件，可推出$∠ GAH=∠ ACE$，根据同位角相等即可判定两直线平行。
（2）设$∠ AFC=x$，可推出$∠ ACF=x$、$∠ ACD=2x$，利用平行线同位角相等性质得$∠ HAB=∠ ACD=2x$；再结合$∠ GAH=90° -x$，以及$∠ GAF=∠ GAH+∠ HAB=110°$的关系，列方程求解即可得到$∠ AFC$的度数。
【解析】
（1）证明：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ AFC=∠ FCD$（两直线平行，内错角相等）。
$\because CF$平分$∠ ACD$，
$\therefore ∠ ACF=∠ FCD$，
$\therefore ∠ ACF=∠ AFC$。
$\because CE⊥ CF$，
$\therefore ∠ ECF=90°$，即$∠ ACE+∠ ACF=90°$，
$\therefore ∠ ACE+∠ AFC=90°$。
又$\because ∠ GAH$与$∠ AFC$互余，
$\therefore ∠ GAH+∠ AFC=90°$，
$\therefore ∠ GAH=∠ ACE$（同角的余角相等），
$\therefore AG// CE$（同位角相等，两直线平行）。
（2）解：
设$∠ AFC=x$，由（1）可得$∠ ACF=∠ AFC=x$。
$\because CF$平分$∠ ACD$，
$\therefore ∠ ACD=2∠ ACF=2x$。
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ HAB=∠ ACD=2x$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠ GAH+∠ AFC=90°$，
$\therefore ∠ GAH=90° -x$。
由图可知$∠ GAF=∠ GAH+∠ HAB=110°$，代入得：
$90° -x+2x=110°$，
解得$x=20°$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boldsymbol{20°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，余角的性质
【点评】
本题是平行线性质与判定的综合应用题，解题关键是利用角平分线、互余的性质转化角度关系，也可通过设未知数列方程的方式简化角度计算过程。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$AG// CE$，可通过判定同位角相等实现。首先利用平行线的内错角相等性质得到$∠ AFC=∠ FCD$，结合角平分线定义推出$∠ ACF=∠ AFC$；再由$CE⊥ CF$得到$∠ ACE+∠ ACF=90°$，结合$∠ GAH$与$∠ AFC$互余的条件，可推出$∠ GAH=∠ ACE$，根据同位角相等即可判定两直线平行。
（2）设$∠ AFC=x$，可推出$∠ ACF=x$、$∠ ACD=2x$，利用平行线同位角相等性质得$∠ HAB=∠ ACD=2x$；再结合$∠ GAH=90° -x$，以及$∠ GAF=∠ GAH+∠ HAB=110°$的关系，列方程求解即可得到$∠ AFC$的度数。
【解析】
（1）证明：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ AFC=∠ FCD$（两直线平行，内错角相等）。
$\because CF$平分$∠ ACD$，
$\therefore ∠ ACF=∠ FCD$，
$\therefore ∠ ACF=∠ AFC$。
$\because CE⊥ CF$，
$\therefore ∠ ECF=90°$，即$∠ ACE+∠ ACF=90°$，
$\therefore ∠ ACE+∠ AFC=90°$。
又$\because ∠ GAH$与$∠ AFC$互余，
$\therefore ∠ GAH+∠ AFC=90°$，
$\therefore ∠ GAH=∠ ACE$（同角的余角相等），
$\therefore AG// CE$（同位角相等，两直线平行）。
（2）解：
设$∠ AFC=x$，由（1）可得$∠ ACF=∠ AFC=x$。
$\because CF$平分$∠ ACD$，
$\therefore ∠ ACD=2∠ ACF=2x$。
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ HAB=∠ ACD=2x$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠ GAH+∠ AFC=90°$，
$\therefore ∠ GAH=90° -x$。
由图可知$∠ GAF=∠ GAH+∠ HAB=110°$，代入得：
$90° -x+2x=110°$，
解得$x=20°$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boldsymbol{20°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，余角的性质
【点评】
本题是平行线性质与判定的综合应用题，解题关键是利用角平分线、互余的性质转化角度关系，也可通过设未知数列方程的方式简化角度计算过程。
【难度系数】
0.7
1. 如图，烧杯内液体表面 AB 与烧杯下底 CD 平行，光线 EF 从液体中射向空气时发生折射，光线变成 FH，点 G 在射线 EF 上。若$∠ HFB = 20°$，$∠ FED = 58°$，则$∠ GFH$的度数为（
A.$32°$
B.$38°$
C.$42°$
D.$58°$
B
）A.$32°$
B.$38°$
C.$42°$
D.$58°$
答案
1.B
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用题目给出的AB与CD平行的条件，结合平行线的性质找到与已知∠FED相等的角；再根据对顶角相等的性质得到∠GFB的度数；最后观察图形中角的和差关系，用∠GFB减去已知的∠HFB即可求出∠GFH的度数。
【解析】
解：
∵ $ AB // CD $（已知），
∴ $ ∠ AFE = ∠ FED = 58° $（两直线平行，内错角相等），
又
∵ $ ∠ GFB $ 与 $ ∠ AFE $ 是对顶角，
∴ $ ∠ GFB = ∠ AFE = 58° $（对顶角相等），
已知 $ ∠ HFB = 20° $，
∴ $ ∠ GFH = ∠ GFB - ∠ HFB = 58° - 20° = 38° $。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；对顶角的性质；角的和差计算
【点评】
本题结合光的折射场景考查几何基础性质的应用，解题核心是准确识别平行线中的相等角，理清不同角之间的数量关系，难度较低，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先利用题目给出的AB与CD平行的条件，结合平行线的性质找到与已知∠FED相等的角；再根据对顶角相等的性质得到∠GFB的度数；最后观察图形中角的和差关系，用∠GFB减去已知的∠HFB即可求出∠GFH的度数。
【解析】
解：
∵ $ AB // CD $（已知），
∴ $ ∠ AFE = ∠ FED = 58° $（两直线平行，内错角相等），
又
∵ $ ∠ GFB $ 与 $ ∠ AFE $ 是对顶角，
∴ $ ∠ GFB = ∠ AFE = 58° $（对顶角相等），
已知 $ ∠ HFB = 20° $，
∴ $ ∠ GFH = ∠ GFB - ∠ HFB = 58° - 20° = 38° $。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；对顶角的性质；角的和差计算
【点评】
本题结合光的折射场景考查几何基础性质的应用，解题核心是准确识别平行线中的相等角，理清不同角之间的数量关系，难度较低，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
