23. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=15°,∠ ACB=30°,AB=4,△ ABC$按逆时针方向旋转一定角度后与$△ ADE$重合,且点$C$恰好为$AD$的中点。
(1)指出旋转中心,并求出旋转的度数;
(2)求$∠ BAE$的度数和$AE$的长。

解：
(1) 旋转中心是点A。
在$△ ABC$中，
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ ACB = 180° - 15° - 30° = 135°$。
由旋转的性质可知，点B的对应点为点D，因此旋转角$∠ BAD = ∠ BAC = 135°$，即旋转的度数为$135°$。
(2) 由旋转的性质可得：
$∠ DAE = ∠ BAC = 135°$，$AD = AB = 4$，$AE = AC$。
因此$∠ BAE = 360° - ∠ BAC - ∠ DAE = 360° - 135° × 2 = 90°$。
因为点C为AD的中点，所以$AC = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} × 4 = 2$，
因此$AE = AC = 2$。
综上，$∠ BAE = 90°$，$AE = 2$。

24. 如图，平面直角坐标系中，点$ A(-1,2) $向上平移4个单位长度到点$ B $，点$ A $向左平移2个单位长度到点$ C $，直线$ l:y=mx+m+2 $与直线$ BC $交于点$ D $。
(1)画出直线$ BC $并求直线$ BC $的解析式；
(2)嘉嘉说：“$ m $有唯一值不可取。”淇淇说：“无论$ m $为何值（唯一不可取的值除外），直线$ l $总经过一个定点。”请选择其中一人的说法进行说理；
(3)当直线$ l $与直线$ BC $的交点$ D $到$ x $轴的距离恰为3时，求$ m $的值。

解：(1) 由平移规则得：
点$A(-1,2)$向上平移4个单位，得$B(-1,6)$；
点$A(-1,2)$向左平移2个单位，得$C(-3,2)$。
在坐标系中描出点$B$、$C$，连接两点即得直线$BC$。
设直线$BC$的解析式为$y=kx+b$，将$B(-1,6)$、$C(-3,2)$代入得：
$\begin{cases} -k + b = 6 \\ -3k + b = 2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=2 \\ b=8 \end{cases}$，
因此直线$BC$的解析式为$y=2x+8$。
(2) 选择淇淇的说法说理：
将直线$l$的解析式变形为$y=m(x+1)+2$，
令$x+1=0$，即$x=-1$，此时$y=2$，该结果与$m$的取值无关，
因此无论$m$为何值（$m≠2$），直线$l$总经过定点$(-1,2)$。
（若选择嘉嘉的说法说理：若直线$l$与直线$BC$平行，则两直线无交点，不存在点$D$。直线$BC$的斜率为2，因此当$m=2$时，直线$l$为$y=2x+4$，与$BC:y=2x+8$平行，无交点，因此$m$有唯一值2不可取。）
(3) 点$D$到$x$轴的距离为3，即点$D$的纵坐标为$3$或$-3$。
① 当$y=3$时，代入$y=2x+8$得：$3=2x+8$，解得$x=-\frac{5}{2}$，即$D(-\frac{5}{2},3)$。
将$D$代入$y=mx+m+2$得：
$3 = -\frac{5}{2}m + m + 2$
解得$m=-\frac{2}{3}$。
② 当$y=-3$时，代入$y=2x+8$得：$-3=2x+8$，解得$x=-\frac{11}{2}$，即$D(-\frac{11}{2},-3)$。
将$D$代入$y=mx+m+2$得：
$-3 = -\frac{11}{2}m + m + 2$
解得$m=\frac{10}{9}$。
综上，$m$的值为$-\frac{2}{3}$或$\frac{10}{9}$。