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1. 下列式子是最简二次根式的为（
A.$\sqrt{\dfrac{4}{3}}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{12}$
D.$\sqrt{1.5}$
B
）A.$\sqrt{\dfrac{4}{3}}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{12}$
D.$\sqrt{1.5}$
答案
B
解析
【分析】
解题前首先要明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母（也不能是小数，小数本质是分数）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需要对照这两个条件，逐个对选项进行验证，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
最简二次根式需同时满足两个条件：1.被开方数不含分母（或小数）；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
对各选项逐一分析：
选项A：$\sqrt{\dfrac{4}{3}}$的被开方数含有分母3，不满足条件1，不是最简二次根式，可化简为$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$；
选项B：$\sqrt{7}$的被开方数7是整数，且不存在能开得尽方的因数，同时满足两个条件，是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{12}$的被开方数$12=4×3$，其中4是能开得尽方的因数（$\sqrt{4}=2$），不满足条件2，不是最简二次根式，可化简为$2\sqrt{3}$；
选项D：$\sqrt{1.5}$的被开方数1.5是小数，化成分数为$\dfrac{3}{2}$，含有分母，不满足条件1，不是最简二次根式，可化简为$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题，核心是对最简二次根式判定标准的记忆与应用，熟练掌握两个判定条件就能快速解题，该知识点是后续二次根式运算的重要基础，需牢固掌握。
【难度系数】
0.8
解题前首先要明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母（也不能是小数，小数本质是分数）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需要对照这两个条件，逐个对选项进行验证，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
最简二次根式需同时满足两个条件：1.被开方数不含分母（或小数）；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
对各选项逐一分析：
选项A：$\sqrt{\dfrac{4}{3}}$的被开方数含有分母3，不满足条件1，不是最简二次根式，可化简为$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$；
选项B：$\sqrt{7}$的被开方数7是整数，且不存在能开得尽方的因数，同时满足两个条件，是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{12}$的被开方数$12=4×3$，其中4是能开得尽方的因数（$\sqrt{4}=2$），不满足条件2，不是最简二次根式，可化简为$2\sqrt{3}$；
选项D：$\sqrt{1.5}$的被开方数1.5是小数，化成分数为$\dfrac{3}{2}$，含有分母，不满足条件1，不是最简二次根式，可化简为$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题，核心是对最简二次根式判定标准的记忆与应用，熟练掌握两个判定条件就能快速解题，该知识点是后续二次根式运算的重要基础，需牢固掌握。
【难度系数】
0.8
2. 下列算式中，计算正确的是 （
A.$\sqrt{\dfrac{3}{2}} × \sqrt{6} = 3$
B.$8\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 2$
C.$\sqrt{24} ÷ \sqrt{3} = 8$
D.$\sqrt{49} = \pm7$
A
）A.$\sqrt{\dfrac{3}{2}} × \sqrt{6} = 3$
B.$8\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 2$
C.$\sqrt{24} ÷ \sqrt{3} = 8$
D.$\sqrt{49} = \pm7$
答案
A
解析
【分析】
本题考查二次根式相关运算与概念的正误判断，解题思路为逐个分析选项：首先回忆二次根式的乘除法则、同类二次根式的合并规则，以及算术平方根的定义，逐一验证每个选项的计算是否符合规则，最终选出正确答案。
【解析】
我们逐个判断各选项：
选项A：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得$\sqrt{\dfrac{3}{2}} × \sqrt{6} = \sqrt{\dfrac{3}{2} × 6} = \sqrt{9} = 3$，计算正确。
选项B：$8\sqrt{3}$和$6\sqrt{3}$是同类二次根式，合并时仅系数相减，根式部分不变，即$8\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = (8-6)\sqrt{3} = 2\sqrt{3} ≠ 2$，计算错误。
选项C：根据二次根式除法法则$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），可得$\sqrt{24} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{24 ÷ 3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ≠ 8$，计算错误。
选项D：$\sqrt{49}$表示49的算术平方根，算术平方根为非负数，故$\sqrt{49}=7$，$\pm7$是49的平方根，计算错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
1.二次根式的乘除运算
2.同类二次根式的合并
3.算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念运算题，核心考查二次根式的基础运算法则和算术平方根的性质，解题时要注意区分算术平方根和平方根，避免同类二次根式合并时漏写根式部分，熟练掌握相关规则即可快速判断。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式相关运算与概念的正误判断，解题思路为逐个分析选项：首先回忆二次根式的乘除法则、同类二次根式的合并规则，以及算术平方根的定义，逐一验证每个选项的计算是否符合规则，最终选出正确答案。
【解析】
我们逐个判断各选项：
选项A：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得$\sqrt{\dfrac{3}{2}} × \sqrt{6} = \sqrt{\dfrac{3}{2} × 6} = \sqrt{9} = 3$，计算正确。
选项B：$8\sqrt{3}$和$6\sqrt{3}$是同类二次根式，合并时仅系数相减，根式部分不变，即$8\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = (8-6)\sqrt{3} = 2\sqrt{3} ≠ 2$，计算错误。
选项C：根据二次根式除法法则$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），可得$\sqrt{24} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{24 ÷ 3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ≠ 8$，计算错误。
选项D：$\sqrt{49}$表示49的算术平方根，算术平方根为非负数，故$\sqrt{49}=7$，$\pm7$是49的平方根，计算错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
1.二次根式的乘除运算
2.同类二次根式的合并
3.算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念运算题，核心考查二次根式的基础运算法则和算术平方根的性质，解题时要注意区分算术平方根和平方根，避免同类二次根式合并时漏写根式部分，熟练掌握相关规则即可快速判断。
【难度系数】
0.8
3. 下列曲线中，表示 y 是 x 的函数的是（
C
）答案
C
解析
【分析】
要判断曲线是否表示y是x的函数，核心依据是函数的定义：对于x的每一个确定值，y有且只有一个确定的值与之对应。我们可以用“竖线检验法”快速判断：作垂直于x轴的直线，沿x轴左右平移，若直线与曲线始终最多只有1个交点，就符合函数的要求，否则不符合。接下来逐一验证选项：A中垂直x轴的直线和曲线最多有2个交点，不符合；B是圆的图像，垂直x轴的直线最多和它有2个交点，不符合；C中任意垂直x轴的直线都只和曲线交于1个点，符合要求；D中x负半轴区域的垂直x轴直线会和图像交于2个点，不符合。
【解析】
根据函数的定义：在某一变化过程中，对于自变量x的每一个确定的值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。
我们采用“竖线检验法”逐一判断：
1. 选项A：作垂直于x轴的直线，与图像有2个交点，即1个x对应2个y值，不符合函数定义，排除；
2. 选项B：圆的图像中，垂直于x轴的直线最多与图像有2个交点，即1个x对应2个y值，不符合函数定义，排除；
3. 选项C：任意垂直于x轴的直线与图像始终只有1个交点，即每个x对应唯一的y值，符合函数定义；
4. 选项D：在x负半轴区域作垂直于x轴的直线，与图像有2个交点，即1个x对应2个y值，不符合函数定义，排除。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
函数的定义；函数图像判断
【点评】
本题是函数概念的基础考查题，解题关键是牢记函数定义中“x的每一个确定值对应唯一y值”的核心特征，用“竖线检验法”可以快速解决这类图像判断类题型。
【难度系数】
0.8
要判断曲线是否表示y是x的函数，核心依据是函数的定义：对于x的每一个确定值，y有且只有一个确定的值与之对应。我们可以用“竖线检验法”快速判断：作垂直于x轴的直线，沿x轴左右平移，若直线与曲线始终最多只有1个交点，就符合函数的要求，否则不符合。接下来逐一验证选项：A中垂直x轴的直线和曲线最多有2个交点，不符合；B是圆的图像，垂直x轴的直线最多和它有2个交点，不符合；C中任意垂直x轴的直线都只和曲线交于1个点，符合要求；D中x负半轴区域的垂直x轴直线会和图像交于2个点，不符合。
【解析】
根据函数的定义：在某一变化过程中，对于自变量x的每一个确定的值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。
我们采用“竖线检验法”逐一判断：
1. 选项A：作垂直于x轴的直线，与图像有2个交点，即1个x对应2个y值，不符合函数定义，排除；
2. 选项B：圆的图像中，垂直于x轴的直线最多与图像有2个交点，即1个x对应2个y值，不符合函数定义，排除；
3. 选项C：任意垂直于x轴的直线与图像始终只有1个交点，即每个x对应唯一的y值，符合函数定义；
4. 选项D：在x负半轴区域作垂直于x轴的直线，与图像有2个交点，即1个x对应2个y值，不符合函数定义，排除。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
函数的定义；函数图像判断
【点评】
本题是函数概念的基础考查题，解题关键是牢记函数定义中“x的每一个确定值对应唯一y值”的核心特征，用“竖线检验法”可以快速解决这类图像判断类题型。
【难度系数】
0.8
