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7 如图,$P$为$∠ AOB$内一点,$P_1,P_2$分别是点$P$关于$OA,OB$的对称点,连接$P_1P_2$,交$OA$于点$M$,交$OB$于点$N$,连接$PM,PN$.若$P_1P_2=5\ \mathrm{cm}$,则$△ PMN$的周长是 （
A.$3\ \mathrm{cm}$
B.$4\ \mathrm{cm}$
C.$5\ \mathrm{cm}$
D.$6\ \mathrm{cm}$
C
）A.$3\ \mathrm{cm}$
B.$4\ \mathrm{cm}$
C.$5\ \mathrm{cm}$
D.$6\ \mathrm{cm}$
答案
7. C
解析
【分析】要解决这道题，需利用轴对称的性质：关于某条直线对称的两个点，对称轴上任意一点到这两个对称点的距离相等。先明确P₁、P₂是P关于OA、OB的对称点，由此得到PM=P₁M，PN=P₂N，再将△PMN的周长转化为已知线段P₁P₂的长度即可。
【解析】
∵P₁是点P关于OA的对称点，根据轴对称的性质，对称轴OA垂直平分线段PP₁，点M在OA上，
∴PM = P₁M。
同理，P₂是点P关于OB的对称点，对称轴OB垂直平分线段PP₂，点N在OB上，
∴PN = P₂N。
∴△PMN的周长 = PM + MN + PN = P₁M + MN + P₂N = P₁P₂。
已知P₁P₂=5 cm，因此△PMN的周长为5 cm。
【答案】C
【知识点】轴对称性质、三角形周长计算
【点评】本题考查轴对称性质的基础应用，核心是利用对称点的距离相等转化线段，将未知周长转化为已知线段长度，属于难度较低的几何题。
【难度系数】0.6
【解析】
∵P₁是点P关于OA的对称点，根据轴对称的性质，对称轴OA垂直平分线段PP₁，点M在OA上，
∴PM = P₁M。
同理，P₂是点P关于OB的对称点，对称轴OB垂直平分线段PP₂，点N在OB上，
∴PN = P₂N。
∴△PMN的周长 = PM + MN + PN = P₁M + MN + P₂N = P₁P₂。
已知P₁P₂=5 cm，因此△PMN的周长为5 cm。
【答案】C
【知识点】轴对称性质、三角形周长计算
【点评】本题考查轴对称性质的基础应用，核心是利用对称点的距离相等转化线段，将未知周长转化为已知线段长度，属于难度较低的几何题。
【难度系数】0.6
8 如图,在$△ ABC$中,$AF$平分$∠ BAC$,$AC$的垂直平分线$DE$交$BC$于点$E$,交$AC$于点$D$.若$∠ B=70°$,$∠ FAE=19°$,则$∠ C=$
24
$°$.答案
8. 24
解析
【分析】
要解决本题，需结合线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理逐步推导：首先由AC的垂直平分线得到EA=EC，推出∠EAC=∠C；再根据AF平分∠BAC，得到∠BAC与∠FAC的关系，结合∠FAE的已知角度，将∠BAC用∠C表示；最后利用三角形内角和定理列方程求解∠C。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C（等边对等角）。
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠FAC。
又
∵∠FAC=∠FAE + ∠EAC，且∠FAE=19°，
∴∠FAC=19°+∠C，
∴∠BAC=2∠FAC=2(19°+∠C)。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠B + ∠BAC + ∠C =180°，
将∠B=70°，∠BAC=2(19°+∠C)代入得：
70° + 2(19°+∠C) + ∠C =180°，
计算得：70° + 38° + 3∠C =180°，
即108° + 3∠C =180°，
解得∠C=24°。
【答案】
24
【知识点】
垂直平分线性质、角平分线性质、三角形内角和
【点评】
本题综合运用线段垂直平分线、角平分线的性质及三角形内角和定理，解题核心是通过性质建立角之间的关系，再结合内角和列方程求解，属于几何基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理逐步推导：首先由AC的垂直平分线得到EA=EC，推出∠EAC=∠C；再根据AF平分∠BAC，得到∠BAC与∠FAC的关系，结合∠FAE的已知角度，将∠BAC用∠C表示；最后利用三角形内角和定理列方程求解∠C。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C（等边对等角）。
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠FAC。
又
∵∠FAC=∠FAE + ∠EAC，且∠FAE=19°，
∴∠FAC=19°+∠C，
∴∠BAC=2∠FAC=2(19°+∠C)。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠B + ∠BAC + ∠C =180°，
将∠B=70°，∠BAC=2(19°+∠C)代入得：
70° + 2(19°+∠C) + ∠C =180°，
计算得：70° + 38° + 3∠C =180°，
即108° + 3∠C =180°，
解得∠C=24°。
【答案】
24
【知识点】
垂直平分线性质、角平分线性质、三角形内角和
【点评】
本题综合运用线段垂直平分线、角平分线的性质及三角形内角和定理，解题核心是通过性质建立角之间的关系，再结合内角和列方程求解，属于几何基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
9 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=46°$,$∠ C=25°$,$AB$的垂直平分线分别交$AB$,$BC$于点$D$,$E$,$AC$的垂直平分线分别交$AC$,$BC$于点$F$,$G$,连接$AE$,$AG$,则$∠ EAG$的度数为
$38°$
.答案
9. $38°$
解析
【分析】
要计算∠EAG的度数，需结合线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理。首先利用三角形内角和求出∠BAC的度数；再根据垂直平分线的性质得到等腰三角形，进而得出∠EAB=∠B、∠GAC=∠C；最后通过角的和差关系，用∠BAC减去∠EAB和∠GAC，即可得到∠EAG的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 46° - 25° = 109°。
因为DE是AB的垂直平分线，所以EA = EB，根据等腰三角形等边对等角的性质：
∠EAB = ∠B = 46°。
同理，FG是AC的垂直平分线，所以GA = GC，可得：
∠GAC = ∠C = 25°。
因此，∠EAG = ∠BAC - ∠EAB - ∠GAC = 109° - 46° - 25° = 38°。
【答案】
38°
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题考查线段垂直平分线性质与三角形内角和的综合应用，核心是利用垂直平分线得到等角，再通过角的和差计算目标角，属于基础几何题，难度不大。
【难度系数】
0.6
要计算∠EAG的度数，需结合线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理。首先利用三角形内角和求出∠BAC的度数；再根据垂直平分线的性质得到等腰三角形，进而得出∠EAB=∠B、∠GAC=∠C；最后通过角的和差关系，用∠BAC减去∠EAB和∠GAC，即可得到∠EAG的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 46° - 25° = 109°。
因为DE是AB的垂直平分线，所以EA = EB，根据等腰三角形等边对等角的性质：
∠EAB = ∠B = 46°。
同理，FG是AC的垂直平分线，所以GA = GC，可得：
∠GAC = ∠C = 25°。
因此，∠EAG = ∠BAC - ∠EAB - ∠GAC = 109° - 46° - 25° = 38°。
【答案】
38°
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题考查线段垂直平分线性质与三角形内角和的综合应用，核心是利用垂直平分线得到等角，再通过角的和差计算目标角，属于基础几何题，难度不大。
【难度系数】
0.6
10 [2026 南通期中]如图,在$△ ABC$中,$AB+AC=6\ \mathrm{cm}$,$BC$的垂直平分线$l$与$AC$相交于点$D$,连接$BD$,则$△ ABD$的周长为
6
$\mathrm{cm}$.答案
10. 6
解析
【分析】
要解决这个问题，核心是利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。首先，直线$ l $是$ BC $的垂直平分线，点$ D $在$ l $上，因此可得$ BD = CD $。接下来，$△ ABD$的周长可表示为$ AB + AD + BD $，将$ BD $替换为$ CD $后，周长转化为$ AB + AD + CD $，而$ AD + CD = AC $，结合已知条件$ AB + AC = 6\ \mathrm{cm} $，即可求出$△ ABD$的周长。
【解析】
∵ 直线$ l $是$ BC $的垂直平分线，点$ D $在$ l $上，
∴ 根据线段垂直平分线的性质，得 $ BD = CD $。
$△ ABD$的周长为：$ AB + AD + BD $，
将$ BD = CD $代入，可得：
$ AB + AD + BD = AB + AD + CD = AB + (AD + CD) = AB + AC $。
已知$ AB + AC = 6\ \mathrm{cm} $，
∴ $△ ABD$的周长为$ 6\ \mathrm{cm} $。
【答案】
6
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查线段垂直平分线性质的应用，通过等量代换将未知周长转化为已知线段和，解题思路清晰，难度较低，适合学生掌握基础几何性质的应用。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，核心是利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。首先，直线$ l $是$ BC $的垂直平分线，点$ D $在$ l $上，因此可得$ BD = CD $。接下来，$△ ABD$的周长可表示为$ AB + AD + BD $，将$ BD $替换为$ CD $后，周长转化为$ AB + AD + CD $，而$ AD + CD = AC $，结合已知条件$ AB + AC = 6\ \mathrm{cm} $，即可求出$△ ABD$的周长。
【解析】
∵ 直线$ l $是$ BC $的垂直平分线，点$ D $在$ l $上，
∴ 根据线段垂直平分线的性质，得 $ BD = CD $。
$△ ABD$的周长为：$ AB + AD + BD $，
将$ BD = CD $代入，可得：
$ AB + AD + BD = AB + AD + CD = AB + (AD + CD) = AB + AC $。
已知$ AB + AC = 6\ \mathrm{cm} $，
∴ $△ ABD$的周长为$ 6\ \mathrm{cm} $。
【答案】
6
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查线段垂直平分线性质的应用，通过等量代换将未知周长转化为已知线段和，解题思路清晰，难度较低，适合学生掌握基础几何性质的应用。
【难度系数】
0.6
11 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB$的垂直平分线分别交$AB$,$BC$于点$E$,$D$,连接$AD$.若$AD$将$∠ CAB$分成两个角,且$∠ CAD:∠ DAB=2:5$,求$∠ ADC$的度数.
答案
11. 设$∠ CAD=2x°$,则$∠ DAB=5x°$.$\because DE$ 垂直平分 $AB$,
$\therefore BD = AD$. 在 $\mathrm{Rt}△ DEB$ 和 $\mathrm{Rt}△ DEA$ 中, $\begin{cases}BD=AD,\\DE=DE,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DEB≌\mathrm{Rt}△ DEA.\therefore ∠ B=∠ DAE=5x°.\therefore ∠ ADC=10x°$. 在$△ ADC$ 中,$\because ∠ C=90°,\therefore 2x°+10x°=90°$,解得 $x=7.5$.
$\therefore ∠ ADC=75°$
$\therefore BD = AD$. 在 $\mathrm{Rt}△ DEB$ 和 $\mathrm{Rt}△ DEA$ 中, $\begin{cases}BD=AD,\\DE=DE,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DEB≌\mathrm{Rt}△ DEA.\therefore ∠ B=∠ DAE=5x°.\therefore ∠ ADC=10x°$. 在$△ ADC$ 中,$\because ∠ C=90°,\therefore 2x°+10x°=90°$,解得 $x=7.5$.
$\therefore ∠ ADC=75°$
解析
【分析】
本题需利用线段垂直平分线的性质、三角形外角性质和直角三角形的性质解题。首先根据角度比例设未知数，再由AB的垂直平分线得到AD=BD，推出∠B=∠DAB，结合三角形外角性质表示出∠ADC，最后利用直角三角形两锐角互余建立方程求解。
【解析】
设$∠ CAD=2x°$，因为$∠ CAD:∠ DAB=2:5$，所以$∠ DAB=5x°$。
$\because DE$垂直平分$AB$，根据线段垂直平分线的性质，可得$AD=BD$，$\therefore ∠ B=∠ DAB=5x°$。
又$\because ∠ ADC$是$△ ABD$的外角，根据三角形外角的性质，$∠ ADC=∠ B+∠ DAB=5x°+5x°=10x°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ C=90°$，根据直角三角形两锐角互余，得$∠ CAD+∠ ADC=90°$，即$2x°+10x°=90°$，
解得$x=7.5$，因此$∠ ADC=10×7.5°=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
线段垂直平分线性质、直角三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题结合线段垂直平分线的性质，通过设未知数列方程求解角度，是几何角度计算的基础题型，需熟练掌握相关性质定理。
【难度系数】
0.5
本题需利用线段垂直平分线的性质、三角形外角性质和直角三角形的性质解题。首先根据角度比例设未知数，再由AB的垂直平分线得到AD=BD，推出∠B=∠DAB，结合三角形外角性质表示出∠ADC，最后利用直角三角形两锐角互余建立方程求解。
【解析】
设$∠ CAD=2x°$，因为$∠ CAD:∠ DAB=2:5$，所以$∠ DAB=5x°$。
$\because DE$垂直平分$AB$，根据线段垂直平分线的性质，可得$AD=BD$，$\therefore ∠ B=∠ DAB=5x°$。
又$\because ∠ ADC$是$△ ABD$的外角，根据三角形外角的性质，$∠ ADC=∠ B+∠ DAB=5x°+5x°=10x°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ C=90°$，根据直角三角形两锐角互余，得$∠ CAD+∠ ADC=90°$，即$2x°+10x°=90°$，
解得$x=7.5$，因此$∠ ADC=10×7.5°=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
线段垂直平分线性质、直角三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题结合线段垂直平分线的性质，通过设未知数列方程求解角度，是几何角度计算的基础题型，需熟练掌握相关性质定理。
【难度系数】
0.5
12 如图,在$△ ABC$中,$∠ CAB$的平分线$AD$与$BC$的垂直平分线$DE$相交于点$D$,$DM ⊥ AB$交$AB$于点$M$,$DN ⊥ AC$交$AC$的延长线于点$N$.求证:
(1)$BM=CN$;
(2)$AM=\dfrac{1}{2}(AB+AC)$.
(1)$BM=CN$;
(2)$AM=\dfrac{1}{2}(AB+AC)$.
答案
12. (1) 如图,连接 $BD,CD$.$\because AD$ 平分$∠ BAC,DM⊥ AB$,$DN⊥ AC,\therefore DM=DN$.$\because DE$ 垂直平分 $BC,\therefore BD=CD$. 在$\mathrm{Rt}△ BDM$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDN$ 中, $\begin{cases}BD=CD,\\DM=DN,\end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ BDM ≌ \mathrm{Rt}△ CDN.\therefore BM=CN$
(2) $\because AM=AB-BM,AN=AC+CN,BM=CN,\therefore AM+AN=AB+AC$. 在 $\mathrm{Rt}△ ADM$ 和$\mathrm{Rt}△ ADN$ 中, $\begin{cases}AD=AD,\\DM=DN,\end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ADM≌\mathrm{Rt}△ ADN.\therefore AM=AN.\therefore AM=\dfrac{1}{2}(AB+AC)$
解析
【分析】
要证明(1)BM=CN，需构造包含BM和CN的全等三角形：已知AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质可得DM=DN；又DE是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得BD=CD，由此可证Rt△BDM≌Rt△CDN，进而得BM=CN。要证明(2)AM=1/2(AB+AC)，需先证AM=AN：由AD为公共边，DM=DN，可证Rt△ADM≌Rt△ADN，得AM=AN；再结合AM=AB-BM，AN=AC+CN，以及BM=CN，即可推导得出结论。
【解析】
(1) 连接BD、CD。
∵ AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴ 根据角平分线的性质，得DM=DN。
∵ DE垂直平分BC，
∴ 根据线段垂直平分线的性质，得BD=CD。
在Rt△BDM和Rt△CDN中，
$\begin{cases} BD=CD \\ DM=DN \end{cases}$
∴ Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），
∴ BM=CN。
(2) 在Rt△ADM和Rt△ADN中，
$\begin{cases} AD=AD \\ DM=DN \end{cases}$
∴ Rt△ADM≌Rt△ADN（HL），
∴ AM=AN。
又
∵ AM=AB - BM，AN=AC + CN，且BM=CN，
∴ AM + AN = AB - BM + AC + CN = AB + AC。
∵ AM=AN，
∴ 2AM = AB + AC，
∴ AM = $\dfrac{1}{2}(AB + AC)$。
【答案】
12. (1) 如图,连接 $BD,CD$.$\because AD$ 平分$∠ BAC,DM⊥ AB$,$DN⊥ AC,\therefore DM=DN$.$\because DE$ 垂直平分 $BC,\therefore BD=CD$. 在$\mathrm{Rt}△ BDM$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDN$ 中, $\begin{cases}BD=CD,\\DM=DN,\end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ BDM ≌ \mathrm{Rt}△ CDN.\therefore BM=CN$
(2) $\because AM=AB-BM,AN=AC+CN,BM=CN,\therefore AM+AN=AB+AC$. 在 $\mathrm{Rt}△ ADM$ 和$\mathrm{Rt}△ ADN$ 中, $\begin{cases}AD=AD,\\DM=DN,\end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ADM≌\mathrm{Rt}△ ADN.\therefore AM=AN.\therefore AM=\dfrac{1}{2}(AB+AC)$
【知识点】
角平分线性质、垂直平分线性质、直角三角形全等判定
【点评】
本题综合考查角平分线、垂直平分线的性质及直角三角形全等的判定，通过构造全等三角形是解题的关键，步骤清晰，逻辑严谨，是几何证明的典型题型。
【难度系数】
0.6
要证明(1)BM=CN，需构造包含BM和CN的全等三角形：已知AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质可得DM=DN；又DE是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得BD=CD，由此可证Rt△BDM≌Rt△CDN，进而得BM=CN。要证明(2)AM=1/2(AB+AC)，需先证AM=AN：由AD为公共边，DM=DN，可证Rt△ADM≌Rt△ADN，得AM=AN；再结合AM=AB-BM，AN=AC+CN，以及BM=CN，即可推导得出结论。
【解析】
(1) 连接BD、CD。
∵ AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴ 根据角平分线的性质，得DM=DN。
∵ DE垂直平分BC，
∴ 根据线段垂直平分线的性质，得BD=CD。
在Rt△BDM和Rt△CDN中，
$\begin{cases} BD=CD \\ DM=DN \end{cases}$
∴ Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），
∴ BM=CN。
(2) 在Rt△ADM和Rt△ADN中，
$\begin{cases} AD=AD \\ DM=DN \end{cases}$
∴ Rt△ADM≌Rt△ADN（HL），
∴ AM=AN。
又
∵ AM=AB - BM，AN=AC + CN，且BM=CN，
∴ AM + AN = AB - BM + AC + CN = AB + AC。
∵ AM=AN，
∴ 2AM = AB + AC，
∴ AM = $\dfrac{1}{2}(AB + AC)$。
【答案】
12. (1) 如图,连接 $BD,CD$.$\because AD$ 平分$∠ BAC,DM⊥ AB$,$DN⊥ AC,\therefore DM=DN$.$\because DE$ 垂直平分 $BC,\therefore BD=CD$. 在$\mathrm{Rt}△ BDM$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDN$ 中, $\begin{cases}BD=CD,\\DM=DN,\end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ BDM ≌ \mathrm{Rt}△ CDN.\therefore BM=CN$
(2) $\because AM=AB-BM,AN=AC+CN,BM=CN,\therefore AM+AN=AB+AC$. 在 $\mathrm{Rt}△ ADM$ 和$\mathrm{Rt}△ ADN$ 中, $\begin{cases}AD=AD,\\DM=DN,\end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ADM≌\mathrm{Rt}△ ADN.\therefore AM=AN.\therefore AM=\dfrac{1}{2}(AB+AC)$
【知识点】
角平分线性质、垂直平分线性质、直角三角形全等判定
【点评】
本题综合考查角平分线、垂直平分线的性质及直角三角形全等的判定，通过构造全等三角形是解题的关键，步骤清晰，逻辑严谨，是几何证明的典型题型。
【难度系数】
0.6
