1（易错题）如图,直线$l$与线段$AB$交于点$O$,点$P$在直线$l$上,且$PA=PB$.有下列结论:①$AO=$$BO$;②$PO⊥ AB$;③$∠ APO=∠ BPO$;④点$P$在线段$AB$的垂直平分线上.其中,正确的有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1. A

【分析】首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。已知PA=PB，可先判断结论④；再逐一分析其他结论：①AO=BO需O是AB中点，但题目未说明O的位置；②PO⊥AB需直线l垂直AB，题目未提及；③∠APO=∠BPO需三角形全等，缺少对应边相等的条件，因此只有1个结论正确。
【解析】根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。因为PA=PB，所以点P在线段AB的垂直平分线上，故④正确。
结论①：直线l与AB交于O，仅PA=PB无法推出O是AB中点，AO=BO不一定成立，故①错误；
结论②：PA=PB不能推出PO⊥AB，题目未说明直线l与AB垂直，故②错误；
结论③：在△APO和△BPO中，PA=PB，PO=PO，但AO不一定等于BO，无法证明△APO≌△BPO，因此∠APO=∠BPO不一定成立，故③错误。
综上，正确结论仅1个，答案选A。
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的判定、三角形全等的判定
【点评】本题为易错题，易错误认为PA=PB可直接推出PO垂直AB、AO=BO或角相等，需明确线段垂直平分线的判定是针对点的位置，而非直接推导直线与线段的关系，需结合全等条件分析。
【难度系数】0.5

2 下列命题的逆命题成立的是（）

A.如果两个直角三角形全等,那么它们的斜边相等
B.如果两个实数的商为-1,那么这两个实数互为相反数
C.如果$a=b$,那么$\sqrt{a^{2}}=\sqrt{b^{2}}$
D.如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形两腰上的高相等

2. D

【分析】
要解决本题，需先明确逆命题的构造方法：将原命题的条件和结论互换得到逆命题，再逐一判断各选项逆命题的真假，最终选出逆命题成立的选项。
【解析】
逐个分析选项的逆命题及真假：
选项A：原命题条件为“两个直角三角形全等”，结论为“斜边相等”，逆命题为“如果两个直角三角形斜边相等，那么它们全等”。仅斜边相等无法判定直角三角形全等（缺少直角边条件），逆命题不成立。
选项B：原命题条件为“两个实数的商为-1”，结论为“这两个实数互为相反数”，逆命题为“如果两个实数互为相反数，那么它们的商为-1”。若两个实数为0（0和0互为相反数），商不存在，逆命题不成立。
选项C：原命题条件为“a=b”，结论为“√a²=√b²”，逆命题为“如果√a²=√b²，那么a=b”。当a=1、b=-1时，√1²=√(-1)²=1，但a≠b，逆命题不成立。
选项D：原命题条件为“三角形是等腰三角形”，结论为“两腰上的高相等”，逆命题为“如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形”。根据三角形面积公式，高相等则对应底边长相等，故两边相等，该三角形为等腰三角形，逆命题成立。
【答案】
D
【知识点】
逆命题、等腰三角形性质、实数运算
【点评】
本题考查逆命题的构造与真假判断，需准确互换原命题的条件和结论，同时注意特殊情况（如0的相反数）的排除，属于初中数学基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5

3 如图,$AD ⊥ BC,AB=AC$,点$C$在$AE$的垂直平分线上.若$AB=4,CB=6$,则$DE$的长为（）

A.4
B.5
C.6
D.7

3. D

【分析】
要解决这道题，需结合等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质分析线段关系：首先，由AB=AC且AD⊥BC，利用等腰三角形三线合一确定D是BC中点，算出DC的长度；再根据点C在AE的垂直平分线上，利用垂直平分线性质得到AC=CE，结合AB=AC算出CE的长度；最后根据线段的和差关系求出DE。
【解析】
1. 因为AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，AD是BC的中线，所以$DC = \frac{1}{2}BC$。已知$CB=6$，因此$DC = \frac{1}{2}×6 = 3$。
2. 因为点C在AE的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以$AC = CE$。
3. 已知$AB=4$，且$AB=AC$，所以$AC=4$，因此$CE=4$。
4. 观察图形可知，点E、C、D在同一直线上，故$DE = CE + DC = 4 + 3 = 7$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质；线段垂直平分线性质
【点评】
本题综合考查等腰三角形三线合一和线段垂直平分线的性质，解题关键是利用性质得到相等线段，再结合线段和差计算，属于基础几何题。
【难度系数】
0.6

4 教材 P70 习题 15.1 第 4 题变式 如图,$△ ABC$ 的边 $AB$ 的垂直平分线交 $AC$ 于点 $D$,连接 $BD$.若$AC=8,CD=5$,则 $BD$ 的长为.

4. 3

【分析】要解决本题，需利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。先根据已知的AC和CD的长度求出AD的长度，再结合垂直平分线的性质即可得到BD的长度。
【解析】
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴根据线段垂直平分线的性质，可得AD = BD。
又
∵AC = 8，CD = 5，
∴AD = AC - CD = 8 - 5 = 3，
∴BD = AD = 3。
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质
【点评】本题考查线段垂直平分线性质的基础应用，解题关键是掌握垂直平分线的性质，属于简单题，计算量小。
【难度系数】0.7

5 如图,在$△ ABC$中,$D$是边$BC$上的一点,且$BC=BD+AD$,则点$D$在线段的垂直平分线上.

5. AC

【分析】首先，根据线段的和的定义，BC可拆分为BD与DC的和，即$BC=BD+DC$；结合题目给出的$BC=BD+AD$，通过等式变形可推导出$AD=DC$。再依据线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可确定点D所在的垂直平分线对应的线段。
【解析】因为$BC=BD+DC$，又已知$BC=BD+AD$，所以$BD+DC=BD+AD$，等式两边同时减去$BD$，可得$DC=AD$。根据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，因此点D在线段AC的垂直平分线上。
【答案】AC
【知识点】线段垂直平分线的判定
【点评】本题考查线段垂直平分线的判定，核心是通过线段和的关系推导出$AD=DC$，再利用判定定理得出结论，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.3

6 教材P67 练习第2题变式 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$O$是$△ ABC$内一点,连接$OA$,$OB$,$OC$,且$OB=OC$.求证:直线$AO ⊥ BC$.

6. $\because AB=AC,\therefore$ 点 $A$ 在线段 $BC$ 的垂直平分线上.$\because OB=OC,\therefore$ 点 $O$ 在线段 $BC$ 的垂直平分线上.$\because$ 两点确定一条直线,$\therefore$ 直线 $AO$ 是 $BC$ 的垂直平分线,即直线 $AO⊥ BC$

【分析】
要证明直线$AO⊥BC$，需利用线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上。已知$AB=AC$，可推出点$A$在$BC$的垂直平分线上；$OB=OC$，可推出点$O$在$BC$的垂直平分线上。结合“两点确定一条直线”，可知直线$AO$是$BC$的垂直平分线，进而得到$AO⊥BC$。
【解析】
1. 由$AB=AC$，根据线段垂直平分线的判定定理，可得点$A$在线段$BC$的垂直平分线上；
2. 由$OB=OC$，同理可得点$O$在线段$BC$的垂直平分线上；
3. 根据“两点确定一条直线”，可知直线$AO$是线段$BC$的垂直平分线；
4. 因为线段的垂直平分线垂直于该线段，所以直线$AO⊥BC$。
【答案】
$\because AB=AC,\therefore$ 点 $A$ 在线段 $BC$ 的垂直平分线上.$\because OB=OC,\therefore$ 点 $O$ 在线段 $BC$ 的垂直平分线上.$\because$ 两点确定一条直线,$\therefore$ 直线 $AO$ 是 $BC$ 的垂直平分线,即直线 $AO⊥ BC$
【知识点】
线段垂直平分线的判定，两点确定一条直线
【点评】
本题考查线段垂直平分线判定定理的应用，通过证明两点共线于某线段的垂直平分线，推导直线与线段的垂直关系，属于基础几何证明题，侧重对定理的理解与运用。
【难度系数】
0.6