1. 把下面的小数化成分数，并约成最简分数。
0.8=() 1.25=()
0.32=() 0.875=()

$\frac{4}{5}$；$\frac{5}{4}$（或$1\frac{1}{4}$）；$\frac{8}{25}$；$\frac{7}{8}$

小数化分数的方法：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几，先将小数改写为分母是10、100、1000……的分数，再约分化为最简分数：
1. 0.8是一位小数，先写为$\frac{8}{10}$，分子分母同时除以最大公因数2，得到最简分数$\frac{4}{5}$；
2. 1.25是两位小数，先写为$\frac{125}{100}$，分子分母同时除以最大公因数25，得到最简分数$\frac{5}{4}$（或$1\frac{1}{4}$）；
3. 0.32是两位小数，先写为$\frac{32}{100}$，分子分母同时除以最大公因数4，得到最简分数$\frac{8}{25}$；
4. 0.875是三位小数，先写为$\frac{875}{1000}$，分子分母同时除以最大公因数125，得到最简分数$\frac{7}{8}$。

2. 在○里填“＞”“＜”或“=”。

＞、＜、＞、＞、=、＞

我们根据五年级所学的分数比较大小规则、分数与小数互化的方法逐个判断：
1. 同分母分数比较大小，分子越大分数越大：$\frac{5}{7}$和$\frac{3}{7}$分母相同，5＞3，因此$\frac{5}{7}＞\frac{3}{7}$；$\frac{5}{3}$和$\frac{7}{3}$分母相同，5＜7，因此$\frac{5}{3}＜\frac{7}{3}$。
2. 异分母分数比较大小先通分/化简：$\frac{3}{5}=\frac{3×10}{5×10}=\frac{30}{50}$，30＞29，因此$\frac{3}{5}＞\frac{29}{50}$；$\frac{8}{40}$化简后为$\frac{1}{5}$，分子相同的分数分母越小分数越大，5＜6，因此$\frac{1}{5}＞\frac{1}{6}$，即$\frac{8}{40}＞\frac{1}{6}$。
3. 分数和小数比较，先把分数转化为小数：$\frac{3}{4}=3÷4=0.75$，因此$\frac{3}{4}=0.75$；$\frac{3}{8}=3÷8=0.375$，0.375＞0.35，因此$\frac{3}{8}＞0.35$。

二、判断题。
1. 假分数一定大于真分数。 （）
2. 在数轴上表示 1.25、$\frac{5}{4}$和$1\frac{1}{4}$的是同一点。 （）
3. 把分母不同的分数分别化成同分母分数叫通分。 （）
4. 分子和分母是两个不同的质数的分数一定是最简分数。 （）
5. 整数(大于0)都可以看成分母是1的假分数。 （）

1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.√

1. 真分数的分子小于分母，所有真分数都小于1；假分数的分子大于或等于分母，所有假分数都大于或等于1，因此假分数一定大于真分数，该说法正确。
2. 经过计算：$\frac{5}{4}=1.25$，$1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}=1.25$，三个数的大小完全相等，在数轴上对应同一个点，该说法正确。
3. 通分的定义是将几个异分母分数化成和原来分数大小相等的同分母分数，题目描述缺少“和原分数大小相等”的关键条件，该说法错误。
4. 质数的因数只有1和它本身，若分子和分母是两个不同的质数，二者的公因数只有1，符合最简分数的要求，该说法正确。
5. 大于0的整数都可以写成分子为自身、分母为1的分数，此时分子大于分母，属于假分数，该说法正确。

1. 若$ a=\frac{n}{m},b=\frac{n+1}{m+1} $（$ m、n $都是非0自然数，且$ m＞n $），则（）

A.$ a $一定大于$ b $
B.有时$ a $大于$ b $
C.$ a $一定小于$ b $

C

我们用通分法比较a和b的大小：
将a、b通分，取公分母为m(m+1)：
a = $\frac{n}{m}$ = $\frac{n(m+1)}{m(m+1)}$ = $\frac{mn + n}{m(m+1)}$
b = $\frac{n+1}{m+1}$ = $\frac{m(n+1)}{m(m+1)}$ = $\frac{mn + m}{m(m+1)}$
已知m、n都是非0自然数，且m＞n，可得mn + m ＞ mn + n，分母相同的分数，分子越大分数越大，因此b＞a，即a一定小于b。

2. 一根彩带，用去$\frac{5}{7}$米，还剩全长的$\frac{5}{7}$，用去的和剩下的相比 （）

A.用去的长
B.剩下的长
C.同样长

B

把彩带全长看作单位“1”，剩下的占全长的$\frac{5}{7}$，可算出用去的部分占全长的$1-\frac{5}{7}=\frac{2}{7}$。同分母分数比较大小，$\frac{5}{7}＞\frac{2}{7}$，因此剩下的部分更长。

四、解决问题。

答案略

1. 商店运来一批蔬菜，黄瓜占总量的$\frac{4}{15}$，番茄占总量的$\frac{2}{5}$，其他的是土豆。土豆占这批蔬菜的几分之几？

土豆占这批蔬菜的$\frac{1}{3}$

我们把这批蔬菜的总量看作单位“1”，用单位“1”依次减去黄瓜、番茄占总量的分率，就能求出土豆的占比。计算时先对异分母分数通分，转化为同分母分数后再做减法运算：
$\begin{aligned}1-\frac{4}{15}-\frac{2}{5}&=\frac{15}{15}-\frac{4}{15}-\frac{6}{15}\\&=\frac{11}{15}-\frac{6}{15}\\&=\frac{5}{15}\\&=\frac{1}{3}\end{aligned}$

2. 小王、小李和小张同时从 A 地出发去 B地，$\frac{8}{15}$小时后，小王离 B 地还有全程的$\frac{1}{3}$，小李离 B 地还有全程的$\frac{2}{5}$，小张离 B 地还有全程的$\frac{4}{9}$。谁的速度快？写出比较的过程。
数学乐园

小王的速度快。

三人行走的时间相同，都是$\frac{8}{15}$小时，相同时间里，剩余的路程越少，说明已经走完的路程越多，对应的速度就越快。我们通过通分比较三人剩余路程占全程的分率大小：
3、5、9的最小公倍数是45，将三个分数转化为分母是45的同分母分数：
$\frac{1}{3}=\frac{1×15}{3×15}=\frac{15}{45}$
$\frac{2}{5}=\frac{2×9}{5×9}=\frac{18}{45}$
$\frac{4}{9}=\frac{4×5}{9×5}=\frac{20}{45}$
比较大小可得：$\frac{15}{45}＜\frac{18}{45}＜\frac{20}{45}$，即$\frac{1}{3}＜\frac{2}{5}＜\frac{4}{9}$，小王剩余的路程最少，说明相同时间内小王走的路程最多，速度最快。

$\frac{2}{7}$的分子增加6，要使原分数大小不变，分母应怎么变化？

分母应乘4（或增加21）

我们根据分数的基本性质解题，步骤如下：
1. 计算变化后的新分子：原分子是2，分子增加6后，新分子为 $2+6=8$。
2. 计算分子的扩大倍数：用新分子除以原分子，$8÷2=4$，说明分子扩大到原来的4倍。
3. 根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘同一个不为0的数，分数大小不变，因此分母也要扩大到原来的4倍。
4. 算出对应新分母：原分母是7，新分母为 $7×4=28$，也可得到分母需要增加 $28-7=21$。