2.【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力. 如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于$c^{2}$，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即$\dfrac{1}{2}ab×4+(b-a)^{2}$，从而得到等式$c^{2}=\dfrac{1}{2}ab×4+(b-a)^{2}$，化简便得结论$a^{2}+b^{2}=c^{2}$. 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.

【方法运用】向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEA$如图②放置，其三边长分别为$a,b,c$，$∠ BAC=∠ DEA=90°$，连接$DB,DC$，显然$BC⊥ AD$.
(1)请用$a,b,c$分别表示出四边形$ABDC$，梯形$AEDC$，$△ EBD$的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明：$a^{2}+b^{2}=c^{2}$；
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决问题：如图③，小正方形的边长均为1，连接小正方形的三个顶点，可得$△ ABC$，则$AB$边上的高为；
(3)如图④，在$△ ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$AB=4$，$AC=5$，$BC=6$，设$BD=x$，求$x$的值.

2.(1)证明:$\because S_{四边形ABDC}=\frac{1}{2}c^{2},S_{梯形AEDC}=\frac{1}{2}(b+a)b$,
$S_{△BED}=\frac{1}{2}(a-b)a,S_{四边形ABDC}=S_{梯形AEDC}+S_{△BED}$,
$\therefore \frac{1}{2}c^{2}=\frac{1}{2}(a+b)b+\frac{1}{2}(a-b)a$,
$\therefore \frac{1}{2}c^{2}=\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}ab,\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
(2)2
(3)解:在$\mathrm{Rt}△ABD$中,由勾股定理,得$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=4^{2}-x^{2}=16-x^{2}.$
$\because BD+CD=BC=6,\therefore CD=BC-BD=6-x$,
在$\mathrm{Rt}△ACD$中,由勾股定理,得$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=5^{2}-(6-x)^{2}=-11+12x-x^{2}$,
$\therefore 16-x^{2}=-11+12x-x^{2},解得x=\frac{9}{4}.$