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1. 如图,直线 AB,CD 相交于点 O。若 $EO ⊥ CD$ 于点 O,则 $∠ AOE$ 与 $∠ BOD$ 的关系是()
A.互为余角
B.互为补角
C.互为对顶角
D.相等
A.互为余角
B.互为补角
C.互为对顶角
D.相等
答案
A
解析
【分析】要判断∠AOE与∠BOD的关系，需结合已知的垂直条件和直线的平角性质推导两角的和：首先由EO⊥CD得出∠EOD=90°，再根据AB为直线（平角为180°），可计算出∠AOE与∠BOD的和，进而依据余角定义判断两角关系。
【解析】因为EO⊥CD（已知），根据垂直的定义，可得∠EOD=90°；又因为AB是直线，根据平角的定义，∠AOB=180°，而∠AOB=∠AOE + ∠EOD + ∠BOD，所以∠AOE + ∠BOD = ∠AOB - ∠EOD =180° -90°=90°；根据余角的定义，若两个角的和为90°，则这两个角互为余角，因此∠AOE与∠BOD互为余角，对应选项A。
【答案】A
【知识点】垂直的定义、平角的定义、余角的定义
【点评】本题考查平面几何中基础角关系的应用，核心是利用垂直和平角的性质推导两角和，属于概念类基础题，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】因为EO⊥CD（已知），根据垂直的定义，可得∠EOD=90°；又因为AB是直线，根据平角的定义，∠AOB=180°，而∠AOB=∠AOE + ∠EOD + ∠BOD，所以∠AOE + ∠BOD = ∠AOB - ∠EOD =180° -90°=90°；根据余角的定义，若两个角的和为90°，则这两个角互为余角，因此∠AOE与∠BOD互为余角，对应选项A。
【答案】A
【知识点】垂直的定义、平角的定义、余角的定义
【点评】本题考查平面几何中基础角关系的应用，核心是利用垂直和平角的性质推导两角和，属于概念类基础题，难度较低。
【难度系数】0.8
2.若$∠1+∠2=180°,∠2+∠3=180°$,则$∠1$与$∠3$的关系是()
A.互为余角
B.互为补角
C.相等
D.$∠1=180°+∠3$
A.互为余角
B.互为补角
C.相等
D.$∠1=180°+∠3$
答案
C
解析
【分析】本题考查补角的性质，解题思路是利用已知的两个等式，通过等式变形分别表示出∠1和∠3，再比较二者的关系。已知∠1与∠2的和为180°，∠2与∠3的和也为180°，根据等式的性质，可将两个等式变形，消去公共角∠2，进而得出∠1和∠3的关系。
【解析】由∠1 + ∠2 = 180°，根据等式的性质可得：∠1 = 180° - ∠2；同理，由∠2 + ∠3 = 180°可得：∠3 = 180° - ∠2。因此∠1 = ∠3，对应选项为C。
【答案】C
【知识点】补角的性质、等式的性质
【点评】本题是基础的概念应用题，核心考查同角的补角相等这一性质，只要掌握相关知识点即可快速解答，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】由∠1 + ∠2 = 180°，根据等式的性质可得：∠1 = 180° - ∠2；同理，由∠2 + ∠3 = 180°可得：∠3 = 180° - ∠2。因此∠1 = ∠3，对应选项为C。
【答案】C
【知识点】补角的性质、等式的性质
【点评】本题是基础的概念应用题，核心考查同角的补角相等这一性质，只要掌握相关知识点即可快速解答，难度较低。
【难度系数】0.8
3. 如图，若$∠ AOC=∠ BOD=90°$，则$∠ 1=∠ 2$的理由是（）
A.同角的余角相等
B.同角的补角相等
C.对顶角相等
D.角平分线的定义
A.同角的余角相等
B.同角的补角相等
C.对顶角相等
D.角平分线的定义
答案
A
解析
【分析】要判断∠1=∠2的理由，需结合已知的直角条件分析角的关系：已知∠AOC和∠BOD都是90°，可将这两个直角拆分为包含∠1、∠2和公共角∠BOC的形式，进而推导∠1和∠2的关系。
【解析】因为∠AOC=90°，根据直角的定义，可得∠1 + ∠BOC = 90°；又因为∠BOD=90°，同理可得∠2 + ∠BOC = 90°。由此可知，∠1和∠2都是∠BOC的余角，根据“同角的余角相等”，即可得出∠1=∠2，所以答案选A。
【答案】A
【知识点】余角的性质
【点评】本题是基础几何题，核心考查余角的性质，通过直角拆分角的关系即可推导结论，难度较低，属于学生应掌握的基础知识点。
【难度系数】0.8
【解析】因为∠AOC=90°，根据直角的定义，可得∠1 + ∠BOC = 90°；又因为∠BOD=90°，同理可得∠2 + ∠BOC = 90°。由此可知，∠1和∠2都是∠BOC的余角，根据“同角的余角相等”，即可得出∠1=∠2，所以答案选A。
【答案】A
【知识点】余角的性质
【点评】本题是基础几何题，核心考查余角的性质，通过直角拆分角的关系即可推导结论，难度较低，属于学生应掌握的基础知识点。
【难度系数】0.8
4.若∠α与∠β互为补角，且∠α的2倍比∠β大36°，则∠α=°。
答案
72
解析
【分析】首先根据补角的定义，互为补角的两个角之和为180°，得到∠α与∠β的第一个关系式；再结合题目中“∠α的2倍比∠β大36°”的条件，得到第二个关系式，联立两个关系式即可求解∠α的度数。
【解析】解：
∵∠α与∠β互为补角，
∴∠α + ∠β = 180° ①，
又
∵∠α的2倍比∠β大36°，
∴2∠α - ∠β = 36° ②，
将①+②得：3∠α = 216°，
解得∠α = 72°。
【答案】72
【知识点】补角的定义、二元一次方程组的应用
【点评】本题属于基础角度计算问题，主要考查补角的概念及简单的方程思想应用，解题关键是根据题意准确列出关系式，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】解：
∵∠α与∠β互为补角，
∴∠α + ∠β = 180° ①，
又
∵∠α的2倍比∠β大36°，
∴2∠α - ∠β = 36° ②，
将①+②得：3∠α = 216°，
解得∠α = 72°。
【答案】72
【知识点】补角的定义、二元一次方程组的应用
【点评】本题属于基础角度计算问题，主要考查补角的概念及简单的方程思想应用，解题关键是根据题意准确列出关系式，难度较低。
【难度系数】0.8
5.若一个角的余角是这个角的补角的$\frac{1}{4}$，则这个角等于°。
答案
60
解析
【分析】
首先明确余角和补角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和为180°，则这两个角互补。设这个角为$ x $°，分别表示出它的余角和补角，再根据题目中“余角是这个角的补角的$\frac{1}{4}$”的等量关系，列出一元一次方程，解方程即可求出这个角的度数。
【解析】
设这个角的度数为$ x $°，
根据余角定义，这个角的余角为$ (90 - x) $°；
根据补角定义，这个角的补角为$ (180 - x) $°；
由题意列方程：
$ 90 - x = \frac{1}{4}(180 - x) $
两边同乘4消去分母：
$ 4(90 - x) = 180 - x $
展开括号：
$ 360 - 4x = 180 - x $
移项合并同类项：
$ -4x + x = 180 - 360 $
$ -3x = -180 $
系数化为1：
$ x = 60 $
【答案】
60
【知识点】
余角、补角；一元一次方程的应用
【点评】
本题考查余角和补角的概念及一元一次方程的应用，属于基础题型，解题关键是根据题意找准等量关系，正确列出方程，难度较低。
【难度系数】
0.6
首先明确余角和补角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和为180°，则这两个角互补。设这个角为$ x $°，分别表示出它的余角和补角，再根据题目中“余角是这个角的补角的$\frac{1}{4}$”的等量关系，列出一元一次方程，解方程即可求出这个角的度数。
【解析】
设这个角的度数为$ x $°，
根据余角定义，这个角的余角为$ (90 - x) $°；
根据补角定义，这个角的补角为$ (180 - x) $°；
由题意列方程：
$ 90 - x = \frac{1}{4}(180 - x) $
两边同乘4消去分母：
$ 4(90 - x) = 180 - x $
展开括号：
$ 360 - 4x = 180 - x $
移项合并同类项：
$ -4x + x = 180 - 360 $
$ -3x = -180 $
系数化为1：
$ x = 60 $
【答案】
60
【知识点】
余角、补角；一元一次方程的应用
【点评】
本题考查余角和补角的概念及一元一次方程的应用，属于基础题型，解题关键是根据题意找准等量关系，正确列出方程，难度较低。
【难度系数】
0.6
6. 如图，$∠ AOC$与$∠ BOD$都是直角，若$∠ AOB: ∠ AOD=2:11$，则$∠ AOB=\_\_\_\_\_\_°$。
答案
20
解析
【分析】
要解决本题，首先根据直角的定义确定∠BOD的度数为90°，再结合图形明确∠AOD与∠AOB的和差关系：∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = ∠AOB + 90°。利用题目给出的两角比例关系，设未知数建立方程，即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵∠AOC与∠BOD都是直角，
∴∠BOD = 90°。
由图可知，∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = ∠AOB + 90°。
已知∠AOB:∠AOD = 2:11，设∠AOB = 2x，则∠AOD = 11x，
代入得：11x = 2x + 90°，
解得：9x = 90°，x = 10°，
∴∠AOB = 2x = 2×10° = 20°。
【答案】
20
【知识点】
角的计算；直角的性质
【点评】
本题考查直角的性质及角的和差关系，通过设未知数列方程求解是角度计算的常用方法，属于基础题型，需理清角之间的和差逻辑。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先根据直角的定义确定∠BOD的度数为90°，再结合图形明确∠AOD与∠AOB的和差关系：∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = ∠AOB + 90°。利用题目给出的两角比例关系，设未知数建立方程，即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵∠AOC与∠BOD都是直角，
∴∠BOD = 90°。
由图可知，∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = ∠AOB + 90°。
已知∠AOB:∠AOD = 2:11，设∠AOB = 2x，则∠AOD = 11x，
代入得：11x = 2x + 90°，
解得：9x = 90°，x = 10°，
∴∠AOB = 2x = 2×10° = 20°。
【答案】
20
【知识点】
角的计算；直角的性质
【点评】
本题考查直角的性质及角的和差关系，通过设未知数列方程求解是角度计算的常用方法，属于基础题型，需理清角之间的和差逻辑。
【难度系数】
0.6
7. 如图，A，O，B 三点在同一条直线上，$∠ DOE=90°$。
(1)$∠ AOD$的补角是________，$∠ DOC$的余角是________。
(2)若 OE 平分$∠ BOC$，$∠ DOC=36°$，求$∠ AOE$的度数。
(1)$∠ AOD$的补角是________，$∠ DOC$的余角是________。
(2)若 OE 平分$∠ BOC$，$∠ DOC=36°$，求$∠ AOE$的度数。
答案
(1) $\boldsymbol{∠BOD}$；$\boldsymbol{∠COE和∠BOE}$
(2) $\boldsymbol{126°}$
(2) $\boldsymbol{126°}$
解析
【分析】
本题需结合补角、余角的定义，角平分线的性质，以及平角、直角的度数关系解题。首先根据补角（和为180°的两个角）、余角（和为90°的两个角）的定义，找出对应角；再利用角平分线的性质和角的和差关系计算未知角的度数。
【解析】
(1) 因为A、O、B三点共线，所以∠AOD + ∠BOD = 180°，因此∠AOD的补角是∠BOD；
已知∠DOE=90°，即∠DOC + ∠COE=90°，又因为∠AOB=180°，所以∠AOD + ∠BOE=180° - ∠DOE=90°，故∠DOC的余角是∠COE和∠BOE。
(2) 已知∠DOE=90°，∠DOC=36°，则∠COE=∠DOE - ∠DOC=90° - 36°=54°；
因为OE平分∠BOC，所以∠BOE=∠COE=54°；
又因为A、O、B共线，∠AOE + ∠BOE=180°，所以∠AOE=180° - ∠BOE=180° - 54°=126°。
【答案】
(1) ∠BOD；∠COE和∠BOE
(2) 126°
【知识点】
补角、余角；角平分线；角的计算
【点评】
本题考查角的基本概念与计算，需熟练掌握补角、余角的定义和角平分线的性质，结合平角、直角的度数关系推导，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
本题需结合补角、余角的定义，角平分线的性质，以及平角、直角的度数关系解题。首先根据补角（和为180°的两个角）、余角（和为90°的两个角）的定义，找出对应角；再利用角平分线的性质和角的和差关系计算未知角的度数。
【解析】
(1) 因为A、O、B三点共线，所以∠AOD + ∠BOD = 180°，因此∠AOD的补角是∠BOD；
已知∠DOE=90°，即∠DOC + ∠COE=90°，又因为∠AOB=180°，所以∠AOD + ∠BOE=180° - ∠DOE=90°，故∠DOC的余角是∠COE和∠BOE。
(2) 已知∠DOE=90°，∠DOC=36°，则∠COE=∠DOE - ∠DOC=90° - 36°=54°；
因为OE平分∠BOC，所以∠BOE=∠COE=54°；
又因为A、O、B共线，∠AOE + ∠BOE=180°，所以∠AOE=180° - ∠BOE=180° - 54°=126°。
【答案】
(1) ∠BOD；∠COE和∠BOE
(2) 126°
【知识点】
补角、余角；角平分线；角的计算
【点评】
本题考查角的基本概念与计算，需熟练掌握补角、余角的定义和角平分线的性质，结合平角、直角的度数关系推导，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
8.如图①,直线 AB,CD 相交于点 O,过点 O 作$OE⊥AB$。
(1)若$∠AOC=27°44'$,求$∠DOE$的度数。
(2)如图②,作射线 OF,使$∠EOF=∠DOE$,OA 是$∠COF$的平分线吗? 请说明理由。
(3)在图①上作$OG⊥CD$,并直接写出$∠BOG$与$∠EOD$的数量关系:。
(1)若$∠AOC=27°44'$,求$∠DOE$的度数。
(2)如图②,作射线 OF,使$∠EOF=∠DOE$,OA 是$∠COF$的平分线吗? 请说明理由。
(3)在图①上作$OG⊥CD$,并直接写出$∠BOG$与$∠EOD$的数量关系:。
答案
(1) $\boldsymbol{62°16'}$
(2) $OA$是$∠ COF$的平分线，理由见上述解析
(3) $\boldsymbol{∠ BOG=∠ EOD}$或$\boldsymbol{∠ BOG + ∠ EOD=180°}$
(2) $OA$是$∠ COF$的平分线，理由见上述解析
(3) $\boldsymbol{∠ BOG=∠ EOD}$或$\boldsymbol{∠ BOG + ∠ EOD=180°}$
解析
【分析】
本题分三个小问，解题思路如下：
(1) 利用垂直定义得∠BOE=90°，结合对顶角相等得∠BOD=∠AOC，通过角的和差计算∠DOE的度数；
(2) 要判断OA是否为∠COF的平分线，需证明∠AOF=∠AOC，利用垂直得∠AOE=∠BOE=90°，结合已知∠EOF=∠DOE，通过等角的余角相等及对顶角相等推导两角相等；
(3) 作OG⊥CD时，OG的位置有两种情况，对应∠BOG与∠EOD的两种数量关系。
【解析】
(1) 因为OE⊥AB，根据垂直的定义，得∠BOE=90°。
又直线AB、CD相交于O，∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角相等，得∠BOD=∠AOC=27°44′。
所以∠DOE=∠BOE - ∠BOD=90° - 27°44′=62°16′。
(2) OA是∠COF的平分线，理由如下：
因为OE⊥AB，所以∠AOE=∠BOE=90°，
则∠AOF + ∠EOF=90°，∠BOD + ∠DOE=90°。
已知∠EOF=∠DOE，根据等角的余角相等，得∠AOF=∠BOD。
又∠BOD与∠AOC是对顶角，所以∠BOD=∠AOC，
因此∠AOF=∠AOC，即OA平分∠COF，故OA是∠COF的平分线。
(3) 作OG⊥CD，分两种情况：
① 当OG在AB上方时，∠BOG=∠EOD；
② 当OG在AB下方时，∠BOG + ∠EOD=180°。
故∠BOG与∠EOD的数量关系为∠BOG=∠EOD或∠BOG + ∠EOD=180°。
【答案】
(1) 62°16′；
(2) OA是∠COF的平分线，理由见解析；
(3) ∠BOG=∠EOD或∠BOG + ∠EOD=180°。
【知识点】
垂线的性质、对顶角的性质、角平分线的判定
【点评】
本题考查垂线、对顶角、角平分线的相关知识，需熟练运用角的和差关系及性质推导，注意第(3)问中OG的位置有两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题分三个小问，解题思路如下：
(1) 利用垂直定义得∠BOE=90°，结合对顶角相等得∠BOD=∠AOC，通过角的和差计算∠DOE的度数；
(2) 要判断OA是否为∠COF的平分线，需证明∠AOF=∠AOC，利用垂直得∠AOE=∠BOE=90°，结合已知∠EOF=∠DOE，通过等角的余角相等及对顶角相等推导两角相等；
(3) 作OG⊥CD时，OG的位置有两种情况，对应∠BOG与∠EOD的两种数量关系。
【解析】
(1) 因为OE⊥AB，根据垂直的定义，得∠BOE=90°。
又直线AB、CD相交于O，∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角相等，得∠BOD=∠AOC=27°44′。
所以∠DOE=∠BOE - ∠BOD=90° - 27°44′=62°16′。
(2) OA是∠COF的平分线，理由如下：
因为OE⊥AB，所以∠AOE=∠BOE=90°，
则∠AOF + ∠EOF=90°，∠BOD + ∠DOE=90°。
已知∠EOF=∠DOE，根据等角的余角相等，得∠AOF=∠BOD。
又∠BOD与∠AOC是对顶角，所以∠BOD=∠AOC，
因此∠AOF=∠AOC，即OA平分∠COF，故OA是∠COF的平分线。
(3) 作OG⊥CD，分两种情况：
① 当OG在AB上方时，∠BOG=∠EOD；
② 当OG在AB下方时，∠BOG + ∠EOD=180°。
故∠BOG与∠EOD的数量关系为∠BOG=∠EOD或∠BOG + ∠EOD=180°。
【答案】
(1) 62°16′；
(2) OA是∠COF的平分线，理由见解析；
(3) ∠BOG=∠EOD或∠BOG + ∠EOD=180°。
【知识点】
垂线的性质、对顶角的性质、角平分线的判定
【点评】
本题考查垂线、对顶角、角平分线的相关知识，需熟练运用角的和差关系及性质推导，注意第(3)问中OG的位置有两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
