1. 下列二次根式中，与$\sqrt{3}$是同类二次根式的是()

A.$\sqrt{3\dfrac{1}{3}}$
B.$\sqrt{9}$
C.$\sqrt{27}$
D.$\sqrt{0.3}$

C

同类二次根式的判定规则为：将二次根式化为最简形式后，若被开方数与$\sqrt{3}$的被开方数3相同，即为符合要求的选项，逐个化简验证：
1. 选项A：$\sqrt{3\dfrac{1}{3}}=\sqrt{\dfrac{10}{3}}=\dfrac{\sqrt{30}}{3}$，被开方数为30，不符合要求；
2. 选项B：$\sqrt{9}=3$，不含二次根式部分，不符合要求；
3. 选项C：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，化简后被开方数为3，与$\sqrt{3}$是同类二次根式；
4. 选项D：$\sqrt{0.3}=\sqrt{\dfrac{3}{10}}=\dfrac{\sqrt{30}}{10}$，被开方数为30，不符合要求。
综上，答案为C。

2. 已知 $ a=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}, b=\sqrt{3}-2 $，则 $ a,b $ 的关系是（）

A.$ a=b $
B.$ a=-b $
C.$ a=\dfrac{1}{b} $
D.$ ab=-1 $

B

先对a进行分母有理化：
$a=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{1×(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$
已知$b=\sqrt{3}-2$，可得$a=2-\sqrt{3}=-(\sqrt{3}-2)=-b$。

3.若最简二次根式$\sqrt{x^2 + 4}$与$\sqrt{3x + 2}$是同类二次根式，则$x$的值为（）

A.2
B.1
C.1或2
D.以上都不对

B

根据同类二次根式的定义，已知两个根式是最简二次根式且为同类二次根式，则它们的被开方数相等，列方程得：
$x^2 + 4 = 3x + 2$
整理得：$x^2 - 3x + 2 = 0$
因式分解得：$(x-1)(x-2)=0$，解得$x=1$或$x=2$。
检验解的合理性：
1. 当$x=1$时，$\sqrt{x^2+4}=\sqrt{5}$，$\sqrt{3x+2}=\sqrt{5}$，均为最简二次根式，符合题设要求；
2. 当$x=2$时，$\sqrt{x^2+4}=\sqrt{8}$，$\sqrt{3x+2}=\sqrt{8}$，均不是最简二次根式，不符合题设条件，舍去该解。
因此$x$的值为1。

4.若最简根式$\sqrt[{a+2b}]{2a+b+3}$与$\sqrt{a-2b}$是同类二次根式，则$a+b$的平方根是________.

$\pm\sqrt{7}$

根据同类二次根式的定义：最简二次根式的根指数为2，且被开方数相同，据此列方程组求解：
1. 由两个根式是同类二次根式，可得第一个根式的根指数为2：
$a + 2b = 2$
2. 两个根式均为最简根式，因此被开方数相等：
$2a + b + 3 = a - 2b$，整理得 $a + 3b = -3$
3. 联立二元一次方程组：
$\begin{cases}a + 2b = 2 \\a + 3b = -3\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，解得$b=-5$，将$b=-5$代入$a+2b=2$，得$a=12$。
4. 计算得$a+b=12+(-5)=7$，因此7的平方根为$\pm\sqrt{7}$。

5.求代数式 $m+\sqrt{1-2m+m^2}$ 的值,其中 $m=1\,013$.小亮和小芳的解答过程如图所示.

(1) $\underline{\hspace{2em}}$ 的解法是错误的,错误的原因是 $\underline{\hspace{12em}}$;
(2)求代数式 $m-2\sqrt{m^2-6m+9}+6$ 的值,其中 $m=-2\,026$.

(1) 小亮；当$m=1013$时，$1-m＜0$，未正确利用二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$进行化简，错误得到$\sqrt{(1-m)^2}=1-m$
(2) $-6078$

(1) 已知$m=1013$，可得$1-m＜0$，根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，此时$\sqrt{(1-m)^2}=|1-m|=m-1$，小亮直接将$\sqrt{(1-m)^2}$化简为$1-m$，忽略了$1-m＜0$时二次根式的运算结果为非负数的要求，因此小亮的解法错误。
(2) 先对所求代数式变形：
$\begin{aligned}m-2\sqrt{m^2-6m+9}+6&=m-2\sqrt{(m-3)^2}+6\\&=m-2|m-3|+6\end{aligned}$
代入$m=-2026$，可得$m-3=-2026-3＜0$，因此$|m-3|=3-m$，将其代入式子：
$\begin{aligned}原式&=m-2(3-m)+6\\&=m-6+2m+6\\&=3m\end{aligned}$
把$m=-2026$代入$3m$，计算得结果为$-6078$。

6.阅读并解答:已知 $x=\sqrt{5}+2$,求代数式 $x^2-4x-7$ 的值.
小照根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a$,联想到了如下解法:
由 $x=\sqrt{5}+2$,得 $x-2=\sqrt{5}$,则 $(x-2)^2=5$,即 $x^2-4x+4=5$,$\therefore x^2-4x=1$.
把 $x^2-4x$ 作为整体,得 $x^2-4x-7=1-7=-6$.
请运用上述方法,解答下列问题.
已知 $x=\dfrac{1}{\sqrt{10}-3}$,求代数式 $-2x^2+12x-8$ 的值.

$-10$

1. 先对x进行分母有理化化简：
$x=\dfrac{1}{\sqrt{10}-3}=\dfrac{\sqrt{10}+3}{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)}=\sqrt{10}+3$
2. 推导整体关系式：
由$x=\sqrt{10}+3$移项得$x-3=\sqrt{10}$，两边同时平方：
$(x-3)^2=(\sqrt{10})^2$
展开得$x^2-6x+9=10$，整理得$x^2-6x=1$
3. 整体代入计算代数式的值：
将所求代数式变形为$-2x^2+12x-8=-2(x^2-6x)-8$，把$x^2-6x=1$整体代入：
原式$=-2×1 -8=-10$