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1. 分别以下列四组数为一个三角形的三边长: ①$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$; ②$3,4,5$; ③$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$; ④$4,5,6$. 其中一定能构成直角三角形的有 （
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
B
）A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
答案
1. B
解析
【分析】
要判断给定三边长能否构成直角三角形，依据是勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时先对每组的三个边长排序找到最长边，再分别计算两短边的平方和、最长边的平方，比较二者是否相等即可。
【解析】
依据勾股定理的逆定理逐组验证：
① 组三边长为$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$，最长边为$\frac{1}{3}$：
两短边平方和：$(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=\frac{41}{400}=0.1025$
最长边平方：$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}\approx0.111$，二者不相等，不能构成直角三角形；
② 组三边长为$3,4,5$，最长边为$5$：
两短边平方和：$3^2+4^2=9+16=25$，最长边平方：$5^2=25$，二者相等，能构成直角三角形；
③ 组三边长为$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$，最长边为$\sqrt{3}$：
两短边平方和：$1^2+(\sqrt{2})^2=1+2=3$，最长边平方：$(\sqrt{3})^2=3$，二者相等，能构成直角三角形；
④ 组三边长为$4,5,6$，最长边为$6$：
两短边平方和：$4^2+5^2=16+25=41$，最长边平方：$6^2=36$，二者不相等，不能构成直角三角形。
综上，能构成直角三角形的共2组。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理、实数的平方运算
【点评】
本题核心考查勾股定理逆定理的应用，解题关键是先确定每组的最长边，再正确计算各边的平方进行比较，计算分数、无理数的平方时要细心，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
要判断给定三边长能否构成直角三角形，依据是勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时先对每组的三个边长排序找到最长边，再分别计算两短边的平方和、最长边的平方，比较二者是否相等即可。
【解析】
依据勾股定理的逆定理逐组验证：
① 组三边长为$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$，最长边为$\frac{1}{3}$：
两短边平方和：$(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=\frac{41}{400}=0.1025$
最长边平方：$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}\approx0.111$，二者不相等，不能构成直角三角形；
② 组三边长为$3,4,5$，最长边为$5$：
两短边平方和：$3^2+4^2=9+16=25$，最长边平方：$5^2=25$，二者相等，能构成直角三角形；
③ 组三边长为$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$，最长边为$\sqrt{3}$：
两短边平方和：$1^2+(\sqrt{2})^2=1+2=3$，最长边平方：$(\sqrt{3})^2=3$，二者相等，能构成直角三角形；
④ 组三边长为$4,5,6$，最长边为$6$：
两短边平方和：$4^2+5^2=16+25=41$，最长边平方：$6^2=36$，二者不相等，不能构成直角三角形。
综上，能构成直角三角形的共2组。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理、实数的平方运算
【点评】
本题核心考查勾股定理逆定理的应用，解题关键是先确定每组的最长边，再正确计算各边的平方进行比较，计算分数、无理数的平方时要细心，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
2. $Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=9$，$BC=12$，则点$C$到$AB$的距离是（
A.$\dfrac{36}{5}$
B.$\dfrac{12}{25}$
C.$\dfrac{9}{4}$
D.$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
A
）A.$\dfrac{36}{5}$
B.$\dfrac{12}{25}$
C.$\dfrac{9}{4}$
D.$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
答案
2. A
解析
【分析】
要求点C到AB的距离，本质是求AB边上的高的长度。解题思路分两步：首先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边与斜边上高乘积的一半），列等面积关系式即可求出高的长度，也就是所求的距离。
【解析】
设点C到AB的距离为$ h $。
在$ Rt△ ABC $中，$ ∠ C=90° $，由勾股定理得：
$ AB^2=AC^2+BC^2=9^2+12^2=81+144=225 $
边长为正，因此$ AB=15 $。
三角形面积有两种计算方式：$ S=\frac{1}{2}AC· BC $，也可表示为$ S=\frac{1}{2}AB· h $，因此：
$ \frac{1}{2}×9×12=\frac{1}{2}×15× h $
两边同时乘2化简得：$ 108=15h $
解得$ h=\frac{108}{15}=\frac{36}{5} $。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；等面积法求高；点到直线的距离
【点评】
本题是直角三角形性质的基础常考题，核心是通过等面积法建立等式求解斜边上的高，熟练掌握勾股定理和三角形面积的两种计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要求点C到AB的距离，本质是求AB边上的高的长度。解题思路分两步：首先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边与斜边上高乘积的一半），列等面积关系式即可求出高的长度，也就是所求的距离。
【解析】
设点C到AB的距离为$ h $。
在$ Rt△ ABC $中，$ ∠ C=90° $，由勾股定理得：
$ AB^2=AC^2+BC^2=9^2+12^2=81+144=225 $
边长为正，因此$ AB=15 $。
三角形面积有两种计算方式：$ S=\frac{1}{2}AC· BC $，也可表示为$ S=\frac{1}{2}AB· h $，因此：
$ \frac{1}{2}×9×12=\frac{1}{2}×15× h $
两边同时乘2化简得：$ 108=15h $
解得$ h=\frac{108}{15}=\frac{36}{5} $。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；等面积法求高；点到直线的距离
【点评】
本题是直角三角形性质的基础常考题，核心是通过等面积法建立等式求解斜边上的高，熟练掌握勾股定理和三角形面积的两种计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
3. 某等边三角形的边长为2,则该三角形的面积为 (
A.$4\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.3
B
)A.$4\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.3
答案
3. B
解析
【分析】
要求等边三角形的面积，首先回忆三角形面积公式为$\frac{1}{2}×底×高$，已知等边三角形边长为2，可将边长作为底，只需求出对应高即可。结合等边三角形三线合一的性质，作底边的高后，高同时是底边的中线，可得到底边一半的长度，再用勾股定理即可算出高的数值，最后代入面积公式计算就能得到结果。
【解析】
解：设等边三角形边长为$a=2$，过其中一个顶点作对边的高。
根据等边三角形三线合一的性质，高将底边分为长度相等的两段，每段长度为$\frac{a}{2}=1$。
在由高、边长、底边一半组成的直角三角形中，由勾股定理可得：
高$h=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
代入三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}× a× h=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质、勾股定理、三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是合理利用等边三角形三线合一的性质构造直角三角形求出高，熟练掌握相关性质和公式即可快速解答。
【难度系数】
0.85
要求等边三角形的面积，首先回忆三角形面积公式为$\frac{1}{2}×底×高$，已知等边三角形边长为2，可将边长作为底，只需求出对应高即可。结合等边三角形三线合一的性质，作底边的高后，高同时是底边的中线，可得到底边一半的长度，再用勾股定理即可算出高的数值，最后代入面积公式计算就能得到结果。
【解析】
解：设等边三角形边长为$a=2$，过其中一个顶点作对边的高。
根据等边三角形三线合一的性质，高将底边分为长度相等的两段，每段长度为$\frac{a}{2}=1$。
在由高、边长、底边一半组成的直角三角形中，由勾股定理可得：
高$h=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
代入三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}× a× h=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质、勾股定理、三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是合理利用等边三角形三线合一的性质构造直角三角形求出高，熟练掌握相关性质和公式即可快速解答。
【难度系数】
0.85
4. 小强量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米,宽为46厘米,则这台电视机的尺寸(屏幕的对角线长度为电视机的尺寸)最有可能是 (
A.9英寸(23厘米)
B.21英寸(53厘米)
C.29英寸(74厘米)
D.34英寸(86厘米)
C
)A.9英寸(23厘米)
B.21英寸(53厘米)
C.29英寸(74厘米)
D.34英寸(86厘米)
答案
4. C
解析
【分析】
电视机的尺寸指的是屏幕对角线的长度，电视屏幕是矩形，矩形的长、宽和对角线恰好构成直角三角形，其中对角线为直角三角形的斜边。解题时先利用勾股定理计算出对角线的长度，再与各选项给出的实际长度对比，选择最接近的选项即可。
【解析】
设屏幕对角线的长度为$ l $厘米，根据勾股定理可得：
$ l^2 = 58^2 + 46^2 $
计算得：$ 58^2=3364 $，$ 46^2=2116 $
因此$ l^2=3364+2116=5480 $
对$ 5480 $开平方估算：$ 74^2=5476 $，$ 75^2=5625 $，可得$ l\approx74 $厘米
对照选项，74厘米对应29英寸，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用，无理数的估算
【点评】
本题结合生活场景考查数学知识的实际应用，核心是利用勾股定理计算斜边长度，再通过估算确定最终结果，要求同学们能够将数学知识和生活实际结合起来解决问题。
【难度系数】
0.7
电视机的尺寸指的是屏幕对角线的长度，电视屏幕是矩形，矩形的长、宽和对角线恰好构成直角三角形，其中对角线为直角三角形的斜边。解题时先利用勾股定理计算出对角线的长度，再与各选项给出的实际长度对比，选择最接近的选项即可。
【解析】
设屏幕对角线的长度为$ l $厘米，根据勾股定理可得：
$ l^2 = 58^2 + 46^2 $
计算得：$ 58^2=3364 $，$ 46^2=2116 $
因此$ l^2=3364+2116=5480 $
对$ 5480 $开平方估算：$ 74^2=5476 $，$ 75^2=5625 $，可得$ l\approx74 $厘米
对照选项，74厘米对应29英寸，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用，无理数的估算
【点评】
本题结合生活场景考查数学知识的实际应用，核心是利用勾股定理计算斜边长度，再通过估算确定最终结果，要求同学们能够将数学知识和生活实际结合起来解决问题。
【难度系数】
0.7
5. 某三角形的三边长满足$(b+c)^2=a^2+2bc$，则这个三角形是 （
A.等边三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.锐角三角形
C
）A.等边三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.锐角三角形
答案
5. C
解析
【分析】
要判断三角形的形状，已知三边满足的等式，首先需要对等式进行化简变形，得到三边的平方关系，再结合勾股定理的逆定理判断三角形类型。第一步先利用完全平方公式将等式左侧展开，第二步通过移项消去同类项，第三步根据化简得到的三边平方关系对应三角形的判定定理即可得出结论。
【解析】
首先对已知等式左边展开：
$(b+c)^2 = b^2 + 2bc + c^2$
结合题意$(b+c)^2=a^2+2bc$，代入得：
$b^2 + 2bc + c^2 = a^2 + 2bc$
等式两边同时减去$2bc$，可得：
$b^2 + c^2 = a^2$
根据勾股定理的逆定理：若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，因此该三角形为直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的展开规则，通过化简已知等式得到三边的平方关系，再结合勾股定理的逆定理快速判断三角形形状。
【难度系数】
0.85
要判断三角形的形状，已知三边满足的等式，首先需要对等式进行化简变形，得到三边的平方关系，再结合勾股定理的逆定理判断三角形类型。第一步先利用完全平方公式将等式左侧展开，第二步通过移项消去同类项，第三步根据化简得到的三边平方关系对应三角形的判定定理即可得出结论。
【解析】
首先对已知等式左边展开：
$(b+c)^2 = b^2 + 2bc + c^2$
结合题意$(b+c)^2=a^2+2bc$，代入得：
$b^2 + 2bc + c^2 = a^2 + 2bc$
等式两边同时减去$2bc$，可得：
$b^2 + c^2 = a^2$
根据勾股定理的逆定理：若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，因此该三角形为直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的展开规则，通过化简已知等式得到三边的平方关系，再结合勾股定理的逆定理快速判断三角形形状。
【难度系数】
0.85
6. [2025·辽宁]如图,在矩形ABCD中,点E在边AD上,BE=BC,连接CE,若AB=3,AE=4,则CE的长为 (
A.1
B.5
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{10}$
D
)A.1
B.5
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{10}$
答案
6. D
解析
【分析】
解题时先结合矩形的性质确定图中的直角三角形，第一步利用勾股定理计算BE的长度，再结合BE=BC的条件得到矩形边BC的长度，利用矩形对边相等得到AD的长度，进而求出DE的长度，最后在Rt△CDE中再次利用勾股定理即可求出CE的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，
在Rt△ABE中，AB=3，AE=4，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，
∵BE=BC，
∴BC=5，
∴AD=BC=5，
∴DE=AD-AE=5-4=1，
又
∵CD=AB=3，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{DE^2+CD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是灵活运用矩形的边角性质结合勾股定理逐步推导未知线段的长度，是勾股定理与四边形性质结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合矩形的性质确定图中的直角三角形，第一步利用勾股定理计算BE的长度，再结合BE=BC的条件得到矩形边BC的长度，利用矩形对边相等得到AD的长度，进而求出DE的长度，最后在Rt△CDE中再次利用勾股定理即可求出CE的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，
在Rt△ABE中，AB=3，AE=4，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，
∵BE=BC，
∴BC=5，
∴AD=BC=5，
∴DE=AD-AE=5-4=1，
又
∵CD=AB=3，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{DE^2+CD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是灵活运用矩形的边角性质结合勾股定理逐步推导未知线段的长度，是勾股定理与四边形性质结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
1. 已知直角三角形的三边长分别为5,12,13,则斜边上的高等于
$\dfrac{60}{13}$
.答案
1. $\dfrac{60}{13}$
解析
【分析】
我们可以利用直角三角形面积的两种计算方法求解斜边上的高：第一步先根据直角三角形斜边最长的特点，确定斜边和两条直角边的长度；第二步回忆三角形面积公式，直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边与斜边上高乘积的一半计算，因为是同一个三角形，两种计算方式得到的面积相等，据此列等式即可求出斜边上的高。
【解析】
解：
∵ 直角三角形中斜边为最长的边，已知三边长为5,12,13
∴ 该直角三角形的斜边长为13，两条直角边长分别为5和12
设斜边上的高为h，根据三角形面积相等可得：
$\frac{1}{2} × 5 × 12 = \frac{1}{2} × 13 × h$
等式两边同时乘以2，得：
$60 = 13h$
解得：$h = \frac{60}{13}$
【答案】
$\dfrac{60}{13}$
【知识点】
直角三角形性质，三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题考查等面积法在几何计算中的应用，解题核心是抓住同一个三角形面积的不同表达形式建立等量关系，该方法在几何线段长度计算类题目中应用十分广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
我们可以利用直角三角形面积的两种计算方法求解斜边上的高：第一步先根据直角三角形斜边最长的特点，确定斜边和两条直角边的长度；第二步回忆三角形面积公式，直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边与斜边上高乘积的一半计算，因为是同一个三角形，两种计算方式得到的面积相等，据此列等式即可求出斜边上的高。
【解析】
解：
∵ 直角三角形中斜边为最长的边，已知三边长为5,12,13
∴ 该直角三角形的斜边长为13，两条直角边长分别为5和12
设斜边上的高为h，根据三角形面积相等可得：
$\frac{1}{2} × 5 × 12 = \frac{1}{2} × 13 × h$
等式两边同时乘以2，得：
$60 = 13h$
解得：$h = \frac{60}{13}$
【答案】
$\dfrac{60}{13}$
【知识点】
直角三角形性质，三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题考查等面积法在几何计算中的应用，解题核心是抓住同一个三角形面积的不同表达形式建立等量关系，该方法在几何线段长度计算类题目中应用十分广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
2. 已知两线段的长分别是5 cm,3 cm,则第三条线段的长是
4 cm 或$\sqrt{34}$ cm
时,这三条线段可以构成直角三角形.答案
2. 4 cm 或$\sqrt{34}$ cm
解析
【分析】
本题考查勾股定理在直角三角形边长计算中的应用，解题时需注意题干未明确第三条边是直角边还是斜边，因此要分类讨论：首先确定斜边的两种可能：①第三条边为斜边，此时已知的5cm、3cm均为直角边；②5cm的线段为斜边（3cm比5cm短，不可能为斜边），此时第三条边为直角边，再分别结合勾股定理计算即可。
【解析】
设第三条线段的长为$ x \, \mathrm{cm} $，分两种情况讨论：
1. 当$ x $为斜边长时，根据勾股定理：
$ x^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34 $
因为线段长度为正数，所以$ x = \sqrt{34} $；
2. 当$ x $为直角边长时，因5cm是已知较长线段，故斜边长为5cm，根据勾股定理：
$ 5^2 = x^2 + 3^2 $
整理得$ x^2 = 25 - 9 = 16 $
结合边长为正，得$ x = 4 $。
综上，第三条线段的长为4 cm或$ \sqrt{34} $ cm。
【答案】
4 cm 或$\sqrt{34}$ cm
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，默认第三条边为直角边或斜边，从而漏解。解题时若题干未明确直角三角形的斜边，需先对最长边的情况进行分类，再结合勾股定理计算，同时注意边长为正数，需舍去负根。
【难度系数】
0.6
本题考查勾股定理在直角三角形边长计算中的应用，解题时需注意题干未明确第三条边是直角边还是斜边，因此要分类讨论：首先确定斜边的两种可能：①第三条边为斜边，此时已知的5cm、3cm均为直角边；②5cm的线段为斜边（3cm比5cm短，不可能为斜边），此时第三条边为直角边，再分别结合勾股定理计算即可。
【解析】
设第三条线段的长为$ x \, \mathrm{cm} $，分两种情况讨论：
1. 当$ x $为斜边长时，根据勾股定理：
$ x^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34 $
因为线段长度为正数，所以$ x = \sqrt{34} $；
2. 当$ x $为直角边长时，因5cm是已知较长线段，故斜边长为5cm，根据勾股定理：
$ 5^2 = x^2 + 3^2 $
整理得$ x^2 = 25 - 9 = 16 $
结合边长为正，得$ x = 4 $。
综上，第三条线段的长为4 cm或$ \sqrt{34} $ cm。
【答案】
4 cm 或$\sqrt{34}$ cm
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，默认第三条边为直角边或斜边，从而漏解。解题时若题干未明确直角三角形的斜边，需先对最长边的情况进行分类，再结合勾股定理计算，同时注意边长为正数，需舍去负根。
【难度系数】
0.6
3. 在水平地面上有两棵树，一棵高6 m，另一棵高3 m，两树相距4 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢至少要飞 ______ m.
答案
3. 5
解析
【分析】
要解决小鸟最短飞行距离的问题，首先根据“两点之间线段最短”，可知最短路径是两个树梢的连线长度。我们可以把这个实际问题转化为直角三角形的求解问题：两棵树的高度差是直角三角形的一条直角边，两树的水平距离是另一条直角边，所求的最短飞行距离就是该直角三角形的斜边，用勾股定理即可算出斜边长度。
【解析】
第一步：计算两棵树的高度差：$ 6 - 3 = 3\ \mathrm{m} $
第二步：已知两树水平距离为$ 4\ \mathrm{m} $，根据勾股定理$ c^2 = a^2 + b^2 $（其中$ c $为斜边，$ a、b $为两条直角边），代入数值可得最短飞行距离为：
$ \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{m} $
【答案】
5
【知识点】
1. 两点之间线段最短；2. 勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的几何模型，准确找到两条直角边对应的长度，再代入勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.75
要解决小鸟最短飞行距离的问题，首先根据“两点之间线段最短”，可知最短路径是两个树梢的连线长度。我们可以把这个实际问题转化为直角三角形的求解问题：两棵树的高度差是直角三角形的一条直角边，两树的水平距离是另一条直角边，所求的最短飞行距离就是该直角三角形的斜边，用勾股定理即可算出斜边长度。
【解析】
第一步：计算两棵树的高度差：$ 6 - 3 = 3\ \mathrm{m} $
第二步：已知两树水平距离为$ 4\ \mathrm{m} $，根据勾股定理$ c^2 = a^2 + b^2 $（其中$ c $为斜边，$ a、b $为两条直角边），代入数值可得最短飞行距离为：
$ \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{m} $
【答案】
5
【知识点】
1. 两点之间线段最短；2. 勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的几何模型，准确找到两条直角边对应的长度，再代入勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.75
4. [2024·吉林]图甲中有一首古算诗,根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图乙,其中$AB = AB'$,$AB ⊥ B'C$于点$C$,$BC = 0.5$尺,$B'C = 2$尺.设$AC$的长度为$x$尺,可列方程为________.
答案
4. $x^2+2^2=(x+0.5)^2$
解析
【分析】
首先要将古诗描述的实际场景转化为几何模型：先明确各线段的数量关系，红莲总长度为水深AC加上露出水面的BC，又因为AB=AB'，所以斜边AB'的长度可以用含x的代数式表示；其次△ACB'是直角三角形，满足勾股定理的使用条件，只需将直角三角形的三边分别用已知量、未知量表示，再根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”即可列出方程。
【解析】
设湖水深度AC的长度为x尺，
已知BC=0.5尺，因此红莲总长度$AB=AC+BC=(x+0.5)$尺，
由题意得$AB'=AB=(x+0.5)$尺，
又因为$AB⊥ B'C$，即$∠ C=90°$，$△ ACB'$为直角三角形，
根据勾股定理可得$AC^2 + B'C^2 = AB'^2$，
代入$B'C=2$尺，即可列方程：$x^2+2^2=(x+0.5)^2$。
【答案】
$x^2+2^2=(x+0.5)^2$
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题
【点评】
本题结合传统古算素材考查勾股定理的实际应用，核心是将实际问题转化为直角三角形的几何问题，准确梳理各线段的长度关系，利用勾股定理建立等量关系即可解题，贴合生活场景，能很好地考查数学建模能力。
【难度系数】
0.7
首先要将古诗描述的实际场景转化为几何模型：先明确各线段的数量关系，红莲总长度为水深AC加上露出水面的BC，又因为AB=AB'，所以斜边AB'的长度可以用含x的代数式表示；其次△ACB'是直角三角形，满足勾股定理的使用条件，只需将直角三角形的三边分别用已知量、未知量表示，再根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”即可列出方程。
【解析】
设湖水深度AC的长度为x尺，
已知BC=0.5尺，因此红莲总长度$AB=AC+BC=(x+0.5)$尺，
由题意得$AB'=AB=(x+0.5)$尺，
又因为$AB⊥ B'C$，即$∠ C=90°$，$△ ACB'$为直角三角形，
根据勾股定理可得$AC^2 + B'C^2 = AB'^2$，
代入$B'C=2$尺，即可列方程：$x^2+2^2=(x+0.5)^2$。
【答案】
$x^2+2^2=(x+0.5)^2$
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题
【点评】
本题结合传统古算素材考查勾股定理的实际应用，核心是将实际问题转化为直角三角形的几何问题，准确梳理各线段的长度关系，利用勾股定理建立等量关系即可解题，贴合生活场景，能很好地考查数学建模能力。
【难度系数】
0.7
