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8. 用配方法解一元二次方程$x^2 + 2x - 2024 = 0$，将它转化为$(x - m)^2 = n$的形式，则$m^n$的值为（
A.$2025$
B.$\dfrac{1}{2025}$
C.$1$
D.$-1$
D
）A.$2025$
B.$\dfrac{1}{2025}$
C.$1$
D.$-1$
答案
8.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需回忆配方法解一元二次方程的步骤：先移项将常数项移到等号右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，再和题目要求的$(x - m)^2 = n$形式对比，得出$m$、$n$的值，最后代入计算$m^n$即可。
【解析】
第一步：移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 + 2x = 2024$
第二步：配方，一次项系数为2，其一半的平方为$1^2=1$，给方程两边同时加1：
$x^2 + 2x + 1 = 2024 + 1$
左侧根据完全平方公式整理得：
$(x + 1)^2 = 2025$
第三步：对比$(x - m)^2 = n$的形式，将$(x + 1)^2$改写为$(x - (-1))^2$，可得：
$m = -1$，$n = 2025$
第四步：计算$m^n$，即$(-1)^{2025}$，因为2025是奇数，负数的奇次幂为负，所以$(-1)^{2025}=-1$。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；有理数乘方
【点评】
本题核心考查配方法的实际应用，易错点是对比$(x - m)^2$的形式时容易忽略符号错把$m$当成1，只要熟练掌握配方法的步骤，注意符号对应，就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需回忆配方法解一元二次方程的步骤：先移项将常数项移到等号右侧，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，再和题目要求的$(x - m)^2 = n$形式对比，得出$m$、$n$的值，最后代入计算$m^n$即可。
【解析】
第一步：移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 + 2x = 2024$
第二步：配方，一次项系数为2，其一半的平方为$1^2=1$，给方程两边同时加1：
$x^2 + 2x + 1 = 2024 + 1$
左侧根据完全平方公式整理得：
$(x + 1)^2 = 2025$
第三步：对比$(x - m)^2 = n$的形式，将$(x + 1)^2$改写为$(x - (-1))^2$，可得：
$m = -1$，$n = 2025$
第四步：计算$m^n$，即$(-1)^{2025}$，因为2025是奇数，负数的奇次幂为负，所以$(-1)^{2025}=-1$。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；有理数乘方
【点评】
本题核心考查配方法的实际应用，易错点是对比$(x - m)^2$的形式时容易忽略符号错把$m$当成1，只要熟练掌握配方法的步骤，注意符号对应，就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在四边形ABCD中,对角线$AC⊥BD,AC=2BD=10$,则$AB+CD$的最小值为 （
A.$5\sqrt{3}$
B.$10$
C.$15$
D.$5\sqrt{5}$
D
）A.$5\sqrt{3}$
B.$10$
C.$15$
D.$5\sqrt{5}$
答案
9.D
解析
【分析】
要求AB+CD的最小值，我们可以通过平移转化的思路，把两条分散的线段转化到同一个三角形中，利用“两点之间线段最短”确定最小值对应的线段，再结合已知的垂直关系用勾股定理计算即可。首先由已知条件先算出BD的长度，再构造平行四边形将AB转化为和CD共端点的线段，最后在直角三角形中计算最短距离。
【解析】
解：
∵AC=2BD=10，
∴BD=5，且已知AC⊥BD。
过点A作AE//BD，且AE=BD，连接DE、CE。
∵AE//BD，AE=BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，因此AB+CD=DE+CD。
根据两点之间线段最短，DE+CD≥CE，当且仅当C、D、E三点共线时，等号成立，即AB+CD的最小值为CE的长度。
又
∵AC⊥BD，AE//BD，
∴AC⊥AE，即∠CAE=90°。
在Rt△CAE中，AC=10，AE=BD=5，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{AC^2+AE^2}=\sqrt{10^2+5^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$。
因此AB+CD的最小值为$5\sqrt{5}$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定与性质；勾股定理；最短路径问题
【点评】
本题是典型的线段和最值问题，核心是通过平移构造平行四边形实现线段的转化，将分散的两条线段和转化为两点之间的距离，结合垂直条件用勾股定理求解，掌握这类转化思路是解决几何最值问题的关键。
【难度系数】
0.6
要求AB+CD的最小值，我们可以通过平移转化的思路，把两条分散的线段转化到同一个三角形中，利用“两点之间线段最短”确定最小值对应的线段，再结合已知的垂直关系用勾股定理计算即可。首先由已知条件先算出BD的长度，再构造平行四边形将AB转化为和CD共端点的线段，最后在直角三角形中计算最短距离。
【解析】
解：
∵AC=2BD=10，
∴BD=5，且已知AC⊥BD。
过点A作AE//BD，且AE=BD，连接DE、CE。
∵AE//BD，AE=BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，因此AB+CD=DE+CD。
根据两点之间线段最短，DE+CD≥CE，当且仅当C、D、E三点共线时，等号成立，即AB+CD的最小值为CE的长度。
又
∵AC⊥BD，AE//BD，
∴AC⊥AE，即∠CAE=90°。
在Rt△CAE中，AC=10，AE=BD=5，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{AC^2+AE^2}=\sqrt{10^2+5^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$。
因此AB+CD的最小值为$5\sqrt{5}$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定与性质；勾股定理；最短路径问题
【点评】
本题是典型的线段和最值问题，核心是通过平移构造平行四边形实现线段的转化，将分散的两条线段和转化为两点之间的距离，结合垂直条件用勾股定理求解，掌握这类转化思路是解决几何最值问题的关键。
【难度系数】
0.6
10. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$。若 $c + b = 25$，$c - b = 1$，则 $a = \_\_\_\_\_\_$。
答案
10. 5
解析
【分析】
本题可以从两个思路切入：思路1：先通过已知的关于$c$、$b$的和差二元一次方程组，解出$c$和$b$的具体值，再利用勾股定理计算$a$；思路2：利用勾股定理变形得到$a^2=c^2-b^2$，再用平方差公式将右边分解为$(c+b)(c-b)$，直接代入已知的$c+b$和$c-b$的值计算$a^2$，再开方得到$a$，两种方法都符合八年级知识要求，第二种方法更简便。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = c^2$
移项得$a^2 = c^2 - b^2$
由平方差公式可得$c^2 - b^2=(c+b)(c-b)$
已知$c+b=25$，$c-b=1$，代入得：
$a^2=25×1=25$
∵$a$是三角形的边长，为正数
∴$a=\sqrt{25}=5$
【答案】
5
【知识点】
勾股定理，平方差公式，二元一次方程组解法
【点评】
本题是勾股定理和代数公式结合的基础题型，既可以通过解方程组求出边长再计算，也可以利用平方差公式简化计算，能很好地考查学生对知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.85
本题可以从两个思路切入：思路1：先通过已知的关于$c$、$b$的和差二元一次方程组，解出$c$和$b$的具体值，再利用勾股定理计算$a$；思路2：利用勾股定理变形得到$a^2=c^2-b^2$，再用平方差公式将右边分解为$(c+b)(c-b)$，直接代入已知的$c+b$和$c-b$的值计算$a^2$，再开方得到$a$，两种方法都符合八年级知识要求，第二种方法更简便。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = c^2$
移项得$a^2 = c^2 - b^2$
由平方差公式可得$c^2 - b^2=(c+b)(c-b)$
已知$c+b=25$，$c-b=1$，代入得：
$a^2=25×1=25$
∵$a$是三角形的边长，为正数
∴$a=\sqrt{25}=5$
【答案】
5
【知识点】
勾股定理，平方差公式，二元一次方程组解法
【点评】
本题是勾股定理和代数公式结合的基础题型，既可以通过解方程组求出边长再计算，也可以利用平方差公式简化计算，能很好地考查学生对知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.85
11. 在一次“探究性学习”课中，老师设计了如下数表：
(1)观察表格，根据规律在表中填空；
(2)用含自然数$n(n＞1)$的代数式表示$a,b,c$，则$a=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_,c=\_\_\_\_\_\_$；
(3)猜想:以$a,b,c$为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论.
(1)观察表格，根据规律在表中填空；
(2)用含自然数$n(n＞1)$的代数式表示$a,b,c$，则$a=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_,c=\_\_\_\_\_\_$；
(3)猜想:以$a,b,c$为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论.
答案
11.解:(1)从上往下依次填入:$6^2-1;12;6^2+1$.
(2)$n^2-1;2n;n^2+1$
(3)以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形.证明:$\because a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4+2n^2+1=(n^2+1)^2=c^2$,$\therefore$以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形.
(2)$n^2-1;2n;n^2+1$
(3)以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形.证明:$\because a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4+2n^2+1=(n^2+1)^2=c^2$,$\therefore$以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形.
解析
【分析】
解题可分三步逐步推导：1. 解决第(1)问时，先观察表格中a、b、c与对应n的关系：a的规律为对应n的平方减1，b的规律为对应n的2倍，c的规律为对应n的平方加1，代入n=6即可得到结果。2. 第(2)问将上述规律推广到任意n(n＞1)的情况，用含n的代数式表示即可。3. 第(3)问判断是否为直角三角形，依据勾股定理逆定理，验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方即可，这里c为最长边，因此计算$a^2+b^2$与$c^2$比较即可得出结论。
【解析】
(1) 观察表格规律，当$n=6$时：
$a=6^2-1$，$b=2×6=12$，$c=6^2+1$，因此从上到下依次填入$6^2-1$、$12$、$6^2+1$。
(2) 对任意自然数$n(n＞1)$，结合规律可得：
$a=n^2-1$，$b=2n$，$c=n^2+1$。
(3) 猜想：以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形，证明如下：
$\begin{aligned}\because a^2+b^2&=(n^2-1)^2+(2n)^2\\&=n^4-2n^2+1+4n^2\\&=n^4+2n^2+1\\&=(n^2+1)^2=c^2\end{aligned}$
$\therefore$以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形。
【答案】
(1) 从上往下依次为：$6^2-1$；$12$；$6^2+1$
(2) $n^2-1$；$2n$；$n^2+1$
(3) 以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形，证明见解析。
【知识点】
规律探究，勾股定理逆定理，整式运算
【点评】
本题是规律探究与几何判定结合的基础题，既考查学生观察归纳数字规律的能力，又考查对勾股定理逆定理的应用能力，解题过程中注意整式乘法运算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
解题可分三步逐步推导：1. 解决第(1)问时，先观察表格中a、b、c与对应n的关系：a的规律为对应n的平方减1，b的规律为对应n的2倍，c的规律为对应n的平方加1，代入n=6即可得到结果。2. 第(2)问将上述规律推广到任意n(n＞1)的情况，用含n的代数式表示即可。3. 第(3)问判断是否为直角三角形，依据勾股定理逆定理，验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方即可，这里c为最长边，因此计算$a^2+b^2$与$c^2$比较即可得出结论。
【解析】
(1) 观察表格规律，当$n=6$时：
$a=6^2-1$，$b=2×6=12$，$c=6^2+1$，因此从上到下依次填入$6^2-1$、$12$、$6^2+1$。
(2) 对任意自然数$n(n＞1)$，结合规律可得：
$a=n^2-1$，$b=2n$，$c=n^2+1$。
(3) 猜想：以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形，证明如下：
$\begin{aligned}\because a^2+b^2&=(n^2-1)^2+(2n)^2\\&=n^4-2n^2+1+4n^2\\&=n^4+2n^2+1\\&=(n^2+1)^2=c^2\end{aligned}$
$\therefore$以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形。
【答案】
(1) 从上往下依次为：$6^2-1$；$12$；$6^2+1$
(2) $n^2-1$；$2n$；$n^2+1$
(3) 以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形，证明见解析。
【知识点】
规律探究，勾股定理逆定理，整式运算
【点评】
本题是规律探究与几何判定结合的基础题，既考查学生观察归纳数字规律的能力，又考查对勾股定理逆定理的应用能力，解题过程中注意整式乘法运算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
