登录
知识回顾
二次根式
概念
二次根式
最简二次根式
（1）被开方数
（2）被开方数中
（3）分母中
性质
$(\sqrt{a})^2=$（$a≥0$）
$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}\_\_\_\_\_\_ (a＞0), \\\_\_\_\_\_\_ (a=0), \\\_\_\_\_\_\_ (a＜0)\end{cases}$
运算
乘法：$\sqrt{ab}=$（$a≥0$，$b≥0$）
除法：$\sqrt{\frac{a}{b}}=$（$a≥0$，$b＞0$）
加减法：合并被开方数相同的最简二次根式
二次根式
概念
二次根式
最简二次根式
（1）被开方数
（2）被开方数中
（3）分母中
性质
$(\sqrt{a})^2=$（$a≥0$）
$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}\_\_\_\_\_\_ (a＞0), \\\_\_\_\_\_\_ (a=0), \\\_\_\_\_\_\_ (a＜0)\end{cases}$
运算
乘法：$\sqrt{ab}=$（$a≥0$，$b≥0$）
除法：$\sqrt{\frac{a}{b}}=$（$a≥0$，$b＞0$）
加减法：合并被开方数相同的最简二次根式
答案
解：
最简二次根式：
(1) 不含分母
(2) 不含能开得尽方的因数或因式
(3) 不含二次根式
性质：
$(\sqrt{a})^2 = a \quad (a\ge0)$
$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases} a \quad (a＞0) \\ 0 \quad (a=0) \\ -a \quad (a＜0) \end{cases}$
运算：
乘法：$\sqrt{ab} = \sqrt{a}·\sqrt{b} \quad (a\ge0, b\ge0)$
除法：$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a\ge0, b＞0)$
最简二次根式：
(1) 不含分母
(2) 不含能开得尽方的因数或因式
(3) 不含二次根式
性质：
$(\sqrt{a})^2 = a \quad (a\ge0)$
$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases} a \quad (a＞0) \\ 0 \quad (a=0) \\ -a \quad (a＜0) \end{cases}$
运算：
乘法：$\sqrt{ab} = \sqrt{a}·\sqrt{b} \quad (a\ge0, b\ge0)$
除法：$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a\ge0, b＞0)$
解析
【分析】
本题考查二次根式的基础知识点，解题时只需对应回忆教材中的相关定义、性质、运算法则，逐个补全空缺即可：首先回忆最简二次根式的3个判定条件，再回忆二次根式的两条核心性质，最后回忆二次根式乘除运算的法则，依次填写即可。
【解析】
1. 最简二次根式的判定条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
（3）分母中不含二次根式。
2. 二次根式的性质：
当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2$的结果等于被开方数本身，即$(\sqrt{a})^2=a$；
$\sqrt{a^2}$的化简结果等于$a$的绝对值，根据绝对值的性质分情况：当$a＞0$时，$|a|=a$；当$a=0$时，$|a|=0$；当$a＜0$时，$|a|=-a$。
3. 二次根式的运算法则：
乘法：当$a≥0,b≥0$时，积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$；
除法：当$a≥0,b＞0$时，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
【答案】
最简二次根式：(1)不含分母；(2)不含能开得尽方的因数或因式；(3)不含二次根式
性质：$a$；$a$，$0$，$-a$
乘法：$\sqrt{a}·\sqrt{b}$；除法：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
【知识点】
最简二次根式的概念；二次根式的性质；二次根式的乘除运算
【点评】
本题是二次根式模块的基础知识点汇总，相关内容是二次根式化简、混合运算的核心依据，属于必须熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的基础知识点，解题时只需对应回忆教材中的相关定义、性质、运算法则，逐个补全空缺即可：首先回忆最简二次根式的3个判定条件，再回忆二次根式的两条核心性质，最后回忆二次根式乘除运算的法则，依次填写即可。
【解析】
1. 最简二次根式的判定条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
（3）分母中不含二次根式。
2. 二次根式的性质：
当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2$的结果等于被开方数本身，即$(\sqrt{a})^2=a$；
$\sqrt{a^2}$的化简结果等于$a$的绝对值，根据绝对值的性质分情况：当$a＞0$时，$|a|=a$；当$a=0$时，$|a|=0$；当$a＜0$时，$|a|=-a$。
3. 二次根式的运算法则：
乘法：当$a≥0,b≥0$时，积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$；
除法：当$a≥0,b＞0$时，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
【答案】
最简二次根式：(1)不含分母；(2)不含能开得尽方的因数或因式；(3)不含二次根式
性质：$a$；$a$，$0$，$-a$
乘法：$\sqrt{a}·\sqrt{b}$；除法：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
【知识点】
最简二次根式的概念；二次根式的性质；二次根式的乘除运算
【点评】
本题是二次根式模块的基础知识点汇总，相关内容是二次根式化简、混合运算的核心依据，属于必须熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
一、二次根式及其性质
1. 若$\sqrt{\dfrac{x}{y}}$是二次根式，则$x,y$应满足的条件是 （
A.$x≥ 0$且$y≥ 0$
B.$\dfrac{x}{y}＞0$
C.$x≥ 0$且$y＞0$
D.$\dfrac{x}{y}≥ 0$
1. 若$\sqrt{\dfrac{x}{y}}$是二次根式，则$x,y$应满足的条件是 （
D
）A.$x≥ 0$且$y≥ 0$
B.$\dfrac{x}{y}＞0$
C.$x≥ 0$且$y＞0$
D.$\dfrac{x}{y}≥ 0$
答案
1.D
解析
【分析】
首先回忆二次根式的判定条件：二次根式要求被开方数为非负数（即大于等于0）。本题中被开方数是分式$\dfrac{x}{y}$，因此需要同时满足两个要求：一是分式本身有意义（分母不为0），二是分式的值是非负数。接下来逐一分析选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据二次根式的定义，形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子是二次根式，因此被开方数必须是非负数。
本题中被开方数为$\dfrac{x}{y}$，因此需要满足$\dfrac{x}{y}≥0$（该条件已经隐含了分母$y≠0$、分式有意义的要求）。
对各选项逐一判断：
选项A：若$y=0$，分式$\dfrac{x}{y}$无意义，不符合要求，排除；
选项B：$\dfrac{x}{y}＞0$遗漏了$x=0$的情况（当$x=0$且$y≠0$时，$\dfrac{x}{y}=0$，也满足二次根式要求），排除；
选项C：只考虑了$x≥0,y＞0$的情况，未考虑$x＜0,y＜0$时$\dfrac{x}{y}＞0$也符合要求（例如$x=-2,y=-1$时，$\dfrac{x}{y}=2≥0$，此时$\sqrt{\dfrac{x}{y}}$也是二次根式），排除；
选项D：$\dfrac{x}{y}≥0$完全符合二次根式被开方数的要求，当选。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是牢记二次根式的被开方数为非负数，同时注意被开方数是分式时，不能忽略分母不为0的隐含限制，还要考虑分子分母同负的情况，避免漏判。
【难度系数】
0.8
首先回忆二次根式的判定条件：二次根式要求被开方数为非负数（即大于等于0）。本题中被开方数是分式$\dfrac{x}{y}$，因此需要同时满足两个要求：一是分式本身有意义（分母不为0），二是分式的值是非负数。接下来逐一分析选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据二次根式的定义，形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子是二次根式，因此被开方数必须是非负数。
本题中被开方数为$\dfrac{x}{y}$，因此需要满足$\dfrac{x}{y}≥0$（该条件已经隐含了分母$y≠0$、分式有意义的要求）。
对各选项逐一判断：
选项A：若$y=0$，分式$\dfrac{x}{y}$无意义，不符合要求，排除；
选项B：$\dfrac{x}{y}＞0$遗漏了$x=0$的情况（当$x=0$且$y≠0$时，$\dfrac{x}{y}=0$，也满足二次根式要求），排除；
选项C：只考虑了$x≥0,y＞0$的情况，未考虑$x＜0,y＜0$时$\dfrac{x}{y}＞0$也符合要求（例如$x=-2,y=-1$时，$\dfrac{x}{y}=2≥0$，此时$\sqrt{\dfrac{x}{y}}$也是二次根式），排除；
选项D：$\dfrac{x}{y}≥0$完全符合二次根式被开方数的要求，当选。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是牢记二次根式的被开方数为非负数，同时注意被开方数是分式时，不能忽略分母不为0的隐含限制，还要考虑分子分母同负的情况，避免漏判。
【难度系数】
0.8
2. 要使代数式$\dfrac{\sqrt{x+1}}{x-3}$有意义，则$x$的取值范围是________.
答案
2.x≥-1且x≠3
解析
【分析】
要确定该代数式有意义时x的取值范围，首先观察代数式的结构：它同时包含二次根式和分式，因此需要同时满足两类运算的限制条件：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0。我们只需要分别列出对应不等式，再求解两个不等式解集的公共部分，就能得到x的取值范围。
【解析】
要使代数式$\dfrac{\sqrt{x+1}}{x-3}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 分式的分母不为0：$x-3≠0$，解得$x≠3$。
取两个解集的公共部分，可得x的取值范围是$x≥-1$且$x≠3$。
【答案】
$x≥-1$且$x≠3$
【知识点】
二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、不等式组解集的确定
【点评】
本题是代数式有意义类的基础常考题，解题时需注意多个限制条件要同时满足，不要遗漏分母不为0的要求，最后取所有解集的公共部分即可。
【难度系数】
0.8
要确定该代数式有意义时x的取值范围，首先观察代数式的结构：它同时包含二次根式和分式，因此需要同时满足两类运算的限制条件：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0。我们只需要分别列出对应不等式，再求解两个不等式解集的公共部分，就能得到x的取值范围。
【解析】
要使代数式$\dfrac{\sqrt{x+1}}{x-3}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 分式的分母不为0：$x-3≠0$，解得$x≠3$。
取两个解集的公共部分，可得x的取值范围是$x≥-1$且$x≠3$。
【答案】
$x≥-1$且$x≠3$
【知识点】
二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、不等式组解集的确定
【点评】
本题是代数式有意义类的基础常考题，解题时需注意多个限制条件要同时满足，不要遗漏分母不为0的要求，最后取所有解集的公共部分即可。
【难度系数】
0.8
3. 若整数 $ x $ 满足 $ |x| ≤ 3 $，则使 $ \sqrt{7 - x} $ 为整数的 $ x $ 的值是 ______。
答案
3.-2或3
解析
【分析】
解题分为两步：第一步先根据绝对值不等式$|x| ≤ 3$确定x的取值范围，结合x是整数的条件列出所有可能的x的取值；第二步将每个x的取值代入$\sqrt{7-x}$，判断计算结果是否为整数，满足条件的x即为所求。
【解析】
1. 先确定x的取值范围：
∵ $|x| ≤ 3$，
∴ $-3 ≤ x ≤ 3$，
又
∵x是整数，
∴x的可能取值为：-3、-2、-1、0、1、2、3。
2. 逐一代入验证：
当$x=-3$时，$\sqrt{7-(-3)}=\sqrt{10}$，不是整数，不符合要求；
当$x=-2$时，$\sqrt{7-(-2)}=\sqrt{9}=3$，是整数，符合要求；
当$x=-1$时，$\sqrt{7-(-1)}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不是整数，不符合要求；
当$x=0$时，$\sqrt{7-0}=\sqrt{7}$，不是整数，不符合要求；
当$x=1$时，$\sqrt{7-1}=\sqrt{6}$，不是整数，不符合要求；
当$x=2$时，$\sqrt{7-2}=\sqrt{5}$，不是整数，不符合要求；
当$x=3$时，$\sqrt{7-3}=\sqrt{4}=2$，是整数，符合要求。
综上，符合条件的x的值为-2或3。
【答案】
-2或3
【知识点】
绝对值的性质，二次根式的定义，整数的概念
【点评】
本题是基础综合题，解题的核心是先锁定x的所有可能取值，再逐一验证符合条件的结果，要注意不要遗漏取值范围内的整数值，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
解题分为两步：第一步先根据绝对值不等式$|x| ≤ 3$确定x的取值范围，结合x是整数的条件列出所有可能的x的取值；第二步将每个x的取值代入$\sqrt{7-x}$，判断计算结果是否为整数，满足条件的x即为所求。
【解析】
1. 先确定x的取值范围：
∵ $|x| ≤ 3$，
∴ $-3 ≤ x ≤ 3$，
又
∵x是整数，
∴x的可能取值为：-3、-2、-1、0、1、2、3。
2. 逐一代入验证：
当$x=-3$时，$\sqrt{7-(-3)}=\sqrt{10}$，不是整数，不符合要求；
当$x=-2$时，$\sqrt{7-(-2)}=\sqrt{9}=3$，是整数，符合要求；
当$x=-1$时，$\sqrt{7-(-1)}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不是整数，不符合要求；
当$x=0$时，$\sqrt{7-0}=\sqrt{7}$，不是整数，不符合要求；
当$x=1$时，$\sqrt{7-1}=\sqrt{6}$，不是整数，不符合要求；
当$x=2$时，$\sqrt{7-2}=\sqrt{5}$，不是整数，不符合要求；
当$x=3$时，$\sqrt{7-3}=\sqrt{4}=2$，是整数，符合要求。
综上，符合条件的x的值为-2或3。
【答案】
-2或3
【知识点】
绝对值的性质，二次根式的定义，整数的概念
【点评】
本题是基础综合题，解题的核心是先锁定x的所有可能取值，再逐一验证符合条件的结果，要注意不要遗漏取值范围内的整数值，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
