4. 如图，D，E是腰长为5的等腰三角形ABC两腰的中点，P为底边BC上一点，则$PD+PE$的最小值为.

5

本题利用轴对称性质求解最短路径，步骤如下：
1. 作点D关于底边BC的对称点D'，连接D'E，与BC的交点即为使PD+PE取最小值的点P。由轴对称性质得PD=PD'，因此PD+PE=PD'+PE，根据两点之间线段最短，此时PD+PE的最小值等于线段D'E的长度。
2. 已知等腰△ABC腰长为5，即AB=AC=5，D、E分别是AB、AC的中点，因此BD=1/2 AB=5/2，AE=1/2 AC=5/2。
3. 由点D和D'关于BC对称，得BD'=BD=5/2，且∠D'BC=∠ABC；结合AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，因此∠D'BC=∠ACB，推出BD'//AC。
4. 由BD'平行且等于AE，可证得D'E的长度等于腰长AB=5，即PD+PE的最小值为5。

5. 如图,在等边三角形ABC的边AC上取中点D,BC的延长线上取一点E,使$CE=CD$. 求证:$BD=DE$.

证明：
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=60°$。
$\because D$是$AC$的中点，
$\therefore BD$平分$∠ ABC$（等边三角形三线合一），
$\therefore ∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
$\because CE=CD$，
$\therefore ∠ CDE=∠ E$。
又$\because ∠ ACB$是$△ DCE$的外角，
$\therefore ∠ ACB=∠ CDE+∠ E=2∠ E$，
代入$∠ ACB=60°$，得$2∠ E=60°$，即$∠ E=30°$。
$\therefore ∠ DBC=∠ E=30°$，
$\therefore BD=DE$（等角对等边）。

要证明$BD=DE$，可通过证明两个角相等，利用等腰三角形“等角对等边”的性质推导，解题步骤如下：
1. 先利用等边三角形的性质，结合D是AC中点，由等边三角形三线合一得到BD平分$∠ ABC$，算出$∠ DBC=30°$；
2. 由$CE=CD$得到$△ CDE$是等腰三角形，$∠ CDE=∠ E$；
3. 利用三角形外角的性质，结合$∠ ACB=60°$，算出$∠ E=30°$；
4. 得到$∠ DBC=∠ E$，即可推出$BD=DE$。

6. 如图甲，$△ ABC$ 和 $△ CEF$ 是两个边长不等的等边三角形，且有一个公共顶点 $C$，点 $B$ 在 $CF$ 上，连结 $AF$ 和 $BE$。
（1）线段 $AF$ 和 $BE$ 相等吗？请给出结论，并说明理由。
（2）将图甲中的 $△ CEF$ 绕点 $C$ 旋转一定的角度，使点 $B$ 在 $△ CEF$ 内，得到图乙，这时你在（1）中得出的结论还成立吗？

（1）线段$AF$和$BE$相等，理由见上述解析；
（2）（1）中得出的结论仍然成立。

（1）$AF=BE$，理由如下：
$\because △ ABC$和$△ CEF$都是等边三角形，
$\therefore AC=BC$，$CF=CE$，$∠ ACB=∠ FCE=60°$。
在$△ ACF$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACF=∠ BCE=60° \\CF=CE\end{cases}$
$\therefore △ ACF ≌ △ BCE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AF=BE$。
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
$\because △ ABC$和$△ CEF$都是等边三角形，
$\therefore AC=BC$，$CF=CE$，$∠ ACB=∠ FCE=60°$，
$\therefore ∠ ACB + ∠ BCF = ∠ FCE + ∠ BCF$，即$∠ ACF=∠ BCE$。
在$△ ACF$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACF=∠ BCE \\CF=CE\end{cases}$
$\therefore △ ACF ≌ △ BCE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AF=BE$，结论仍成立。

1. 下列各组数中,可以构成直角三角形的三边的一组是（）.

A.5，10，13
B.5，7，8
C.7，24，25
D.8，25，27

C

根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，逐一验证选项：
A. $5^2 + 10^2 = 25 + 100 = 125 ≠ 13^2=169$，不能构成直角三角形；
B. $5^2 +7^2=25+49=74 ≠ 8^2=64$，不能构成直角三角形；
C. $7^2 +24^2=49+576=625 = 25^2$，可以构成直角三角形；
D. $8^2 +25^2=64+625=689 ≠ 27^2=729$，不能构成直角三角形。

2. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$∠ A=∠ B$，且$AC=2\mathrm{cm}$，则$AB=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。

$2\sqrt{2}$

已知在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=∠ B$，可判定$△ ABC$是等腰直角三角形，因此两条直角边满足$AC=BC$。
已知$AC=2\mathrm{cm}$，可得$BC=2\mathrm{cm}$。
根据八年级所学的勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，代入数值计算：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 2^2 + 2^2 = 8$
由于三角形边长为正数，因此$AB=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。

3. 如图,有一张直角三角形纸片,两直角边$AC=6\mathrm{cm}$,$BC=8\mathrm{cm}$. 现将直角边$AC$翻折,使点$C$落在斜边$AB$上的点$E$处,且$AC$与$AE$重合,折痕为$AD$,求$CD$的长.

$3\ \mathrm{cm}$

1. 首先在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理计算斜边$AB$的长度：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$
2. 根据折叠的性质，翻折后$△ ACD$与$△ AED$完全重合，可得：
$AE=AC=6\ \mathrm{cm}$，$CD=DE$，$∠ AED=∠ C=90°$
因此$BE=AB-AE=10-6=4\ \mathrm{cm}$，且$∠ DEB=90°$。
3. 设$CD=x\ \mathrm{cm}$，则$DE=x\ \mathrm{cm}$，$DB=BC-CD=(8-x)\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ DEB$中，由勾股定理列方程：
$DE^2+BE^2=DB^2$
代入对应数值：$x^2+4^2=(8-x)^2$
展开化简得：$x^2+16=64-16x+x^2$，解得$x=3$。