1. 德国数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件.下面是高斯正十七边形作法的一部分：已知 $AB$ 是 $\odot O$ 的直径，分别以点 $A,B$ 为圆心，$AB$ 的长为半径作弧，两弧交于 $C,D$ 两点……若设 $AB$ 的长为 2，则图中阴影部分的面积为（）

A.$\dfrac{5π}{3}-2\sqrt{3}$
B.$\dfrac{8π}{3}-2\sqrt{3}$
C.$\dfrac{5π}{3}-\sqrt{3}$
D.$\dfrac{8π}{3}-4\sqrt{3}$

1. A 提示: 连接 AC, BC, 则 $S_{阴影} = 2S_{△ ABC} + 4(S_{扇形ABC} - S_{△ ABC}) - S_{\odot O} = \dfrac{1}{2} × 2 × \sqrt{3} × 2 + (\dfrac{60}{360} × π × 2^2 - \dfrac{1}{2} × 2 × \sqrt{3}) × 4 - π × 1^2 = \dfrac{5π}{3} - 2\sqrt{3}.$

【分析】
要计算阴影部分面积，需先明确各图形的边长与角度：已知AB=2，以A、B为圆心，AB长为半径作弧，故AC=AB=BC=2，△ABC为等边三角形，圆心角∠CAB=60°。阴影面积可通过“4个弓形面积 + 2个△ABC面积 - 中间圆的面积”计算，需先求出扇形、三角形、圆的面积，再代入公式运算。
【解析】
解：连接AC、BC，
∵ AB=2，以A、B为圆心，AB长为半径作弧，
∴ AC=AB=BC=2，即△ABC是等边三角形，
∴ ∠CAB=60°，△ABC的面积为：$\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$，
以A为圆心，AB为半径的扇形ABC的面积为：$\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$，
1个弓形（扇形ABC减去△ABC）的面积为：$\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$，
4个这样的弓形面积为：$4×(\frac{2π}{3}-\sqrt{3})=\frac{8π}{3}-4\sqrt{3}$，
2个△ABC的面积为：$2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
中间⊙O的半径为$\frac{AB}{2}=1$，面积为：$π×1^2=π$，
∴ 阴影部分面积 = 4个弓形面积 + 2个△ABC面积 - ⊙O面积
= $(\frac{8π}{3}-4\sqrt{3}) + 2\sqrt{3} - π$
= $\frac{5π}{3}-2\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
扇形面积计算、等边三角形性质、圆的面积计算
【点评】
本题采用割补法转化阴影面积，关键是确定等边三角形边长和扇形圆心角，需熟练掌握各图形面积公式，理清图形间的面积关系，属于中等难度的几何面积计算题型。
【难度系数】
0.5

2. 小明在学了尺规作图后，通过“三弧法”作了一个$△ ACD$，其作法步骤是：
①作线段$AB$，分别以点$A$，$B$为圆心，$AB$长为半径画弧，两弧的交点为$C$；②以点$B$为圆心，$AB$长为半径画弧交$AB$的延长线于点$D$；③连接$AC$，$BC$，$CD$. 下列说法不正确的是（）

A.$∠ A=60°$
B.$△ ACD$是直角三角形
C.$BC=\dfrac{\sqrt{3}}{2}CD$
D.点$B$是$△ ACD$的外心

2. C 提示: 由作图, 可知 $AB = BC = AC$, 所以 $△ ABC$ 是等边三角形, 所以 $∠ A = 60°$, 因为 $BA = BC=BD$,所以 $△ ACD$ 是直角三角形,所以点 $B$ 是 $△ ACD$ 的外心.

【分析】
要判断各选项的正确性，需先根据尺规作图步骤推导线段间的关系：步骤①中，以A、B为圆心，AB长为半径画弧交于C，可得AC=AB=BC，△ABC为等边三角形；步骤②中，以B为圆心，AB长为半径画弧交AB延长线于D，可得BD=AB，即AB=BC=BD。再结合等边三角形、直角三角形、三角形外心的性质逐一分析选项。
【解析】
1. 由作图步骤①：AC=AB=BC，故△ABC是等边三角形，因此∠A=60°，选项A正确；
2. 由作图步骤②：BD=AB，结合AB=BC，得AB=BC=BD，即点B是AD的中点，且BC=½AD。根据“若三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形为直角三角形”，可知△ACD是直角三角形，选项B正确；
3. 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。因BA=BC=BD，故点B到A、C、D的距离相等，即点B是△ACD的外心，选项D正确；
4. 设AB=1，则BC=1，AD=AB+BD=2。在Rt△ACD中，AC=1，AD=2，由勾股定理得CD=√(AD²-AC²)=√(2²-1²)=√3。此时√3/2 CD=√3/2 ×√3= 3/2≠1=BC，故选项C错误。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形性质、直角三角形判定、三角形外心
【点评】
本题结合尺规作图考查三角形核心性质，需先从作图中提取线段等量关系，再逐一验证选项，是初中几何的典型基础题型，注重性质的灵活应用。
【难度系数】
0.6

3. 如图,已知$∠ OAB$,进行如下作图:
步骤1:在$OB$上任取点$M$,以点$M$为圆心,$MO$长为半径画半圆,分别交$OA$,$OB$于点$P$,$Q$.
步骤 2:过点$M$作$PQ$的垂线交$\overset{\frown}{PQ}$于点$C$.
步骤 3:画射线$OC$.
给出下列结论:①$\overset{\frown}{PC}=\overset{\frown}{CQ}$;②$MC// OA$;③$OP=PQ$;④$OC$平分$∠ AOB$.其中正确的个数为（）

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

3. C 提示: 因为 $OQ$ 为直径, 所以 $∠ OPQ = 90°$,即 $OA ⊥ PQ$. 因为 $MC ⊥ PQ$, 所以 $OA // MC$, 故②正确; 因为 $OA // MC$, 所以 $∠ POQ = ∠ CMQ$. 可知 $∠ CMQ = 2∠ COQ$, 所以 $∠ COQ = \dfrac{1}{2} ∠ POQ = ∠ POC$, 所以 $PC=CQ$,$OC$ 平分 $∠ AOB$,故①④正确; 因为 $∠ AOB$ 的度数未知,$∠ POQ$ 和 $∠ PQO$ 互余,所以 $∠ POQ$ 不一定等于 $∠ PQO$,所以 $OP$ 不一定等于 $PQ$,故③错误. 综上所述,正确的结论有①②④.

【分析】
要判断各结论是否正确，需结合圆的核心性质、平行线判定、角平分线定义逐一推导：先利用直径的性质得OA⊥PQ，结合MC⊥PQ判断②；再用垂径定理判断①；接着通过平行线和等腰三角形性质推导OC平分∠AOB，判断④；最后分析直角三角形中边的关系判断③。
【解析】
1. 判断结论②：
因为OQ是半圆的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，得∠OPQ=90°，即OA⊥PQ。又MC⊥PQ，根据“垂直于同一直线的两条直线平行”，可得OA//MC，故②正确。
2. 判断结论①：
因为MC⊥PQ，且M是半圆的圆心，根据“垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的弧”，可知MC平分$\overset{\frown}{PQ}$，即$\overset{\frown}{PC}=\overset{\frown}{CQ}$，故①正确。
3. 判断结论④：
由OA//MC，得∠POQ=∠CMQ（同位角相等）。又OM=MC（均为半圆半径），故△OMC是等腰三角形，∠MOC=∠OCM。结合$\overset{\frown}{PC}=\overset{\frown}{CQ}$，对应圆心角∠POC=∠QOC，即∠AOC=∠MOC，所以OC平分∠AOB，故④正确。
4. 判断结论③：
在Rt△OPQ中，∠OPQ=90°，∠POQ的度数未知，因此∠POQ不一定等于∠PQO，故OP与PQ不一定相等，③错误。
综上，正确结论为①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，平行线的判定，角平分线的定义
【点评】
本题结合圆的基本性质与平行线、角平分线知识，考查几何定理的综合应用，需学生逐步推导判断，难度适中。
【难度系数】
0.6

4. 尺规作图是初中数学学习中一项非常重要的内容.小明按以下步骤进行尺规作图：
①将半径为$r$的$\odot O$六等分，依次得到$A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$六个等分点；②分别以点$A$，$D$为圆心，$AC$长为半径画弧，两弧交于点$G$；③连接$OG$.则$OG$的长是（）

A.$(1+\dfrac{\sqrt{2}}{2})r$
B.$(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2})r$
C.$\sqrt{2}r$
D.$\sqrt{3}r$

4. C 提示:如图,连接 $CD$,$AC$,$DG$,$AG$. 可知 $AD$ 是 $\odot O$ 的直径,所以 $∠ ACD = 90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$AD=2r$,$∠ DAC=30°$,所以 $AC=\sqrt{3}r$. 因为 $DG=AG=CA$,$OD=OA$,所以 $OG ⊥ AD$,所以 $∠ GOA=90°$. 所以 $OG=\sqrt{AG^2 - AO^2}=\sqrt{(\sqrt{3}r)^2 - r^2}=\sqrt{2}r.$

【分析】首先，⊙O被六等分后，A、D是直径的两个端点，AD=2r；连接AC，利用“直径所对圆周角为直角”得到直角三角形ACD，结合六等分的角度关系求出AC的长度；根据作图可知AG=DG=AC，O是AD中点，由等腰三角形三线合一得OG⊥AD，最后用勾股定理计算OG的长度。
【解析】
1. 确定AD的长度：因为⊙O六等分后，A、D为相对的等分点，所以AD是⊙O的直径，故AD=2r，O为AD中点，AO=r。
2. 计算AC的长度：连接CD，由直径所对圆周角为直角，得∠ACD=90°；六等分圆时，弧CD对应的圆心角为60°，故圆周角∠DAC=30°。在Rt△ACD中，$AC=AD·\cos30°=2r·\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}r$。
3. 计算OG的长度：由作图知AG=DG=AC=√3 r；因为O是AD中点，AG=DG，所以OG⊥AD（等腰三角形三线合一），即∠GOA=90°。在Rt△AGO中，根据勾股定理：$OG=\sqrt{AG^2 - AO^2}=\sqrt{(\sqrt{3}r)^2 - r^2}=\sqrt{2}r$。
【答案】C
【知识点】圆的性质、勾股定理、尺规作图
【点评】本题结合圆的六等分性质，利用直角三角形性质、等腰三角形三线合一及勾股定理求解，关键是先求出AC的长度，再确定△AGO为直角三角形，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.5

5. 如图,$OM$ 为圆的直径,观察图中的尺规作图痕迹,若$∠ FMO=50°$,则$∠ COF$ 的度数为.

5. $20°$

【分析】
首先，根据尺规作图的痕迹，可判断OC是∠FOM的角平分线；其次，OM是圆的直径，依据直径所对的圆周角为直角，能得到∠OFM=90°；在△FMO中，利用三角形内角和定理算出∠FOM的度数，再结合角平分线的性质，即可求出∠COF的度数。
【解析】
因为OM为圆的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，可得∠OFM=90°。在△FMO中，由三角形内角和为180°，已知∠FMO=50°，则∠FOM=180°−∠OFM−∠FMO=180°−90°−50°=40°。由图中的尺规作图痕迹可知，OC平分∠FOM，因此∠COF=∠FOM÷2=40°÷2=20°。
【答案】
20°
【知识点】
圆周角定理、角平分线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题结合尺规作图考查圆的性质，需要掌握直径所对圆周角为直角的性质，能从尺规作图中识别角平分线，再通过三角形内角和计算角度，属于基础几何综合题。
【难度系数】
0.5