9. 若函数$y=(m+1)x^{m^{2}-3}$是正比例函数，且图象经过第二、四象限，则$m$的值是.

9.$-2$

10. 已知关于$x$的函数$y=(2m+1)x+m-3$，且该函数是正比例函数. 若点$(a,y_1),(a-1,y_2)$在该函数的图象上，则$y_1,y_2$的大小关系为$y_1$$y_2$.（填“$＞$”“$＜$”或“$=$”）

10.$＞$

11. 已知正比例函数 $y=kx$ 的图象经过点 $A$, 点 $A$ 在第四象限, 过点 $A$ 作 $AH ⊥ x$ 轴, 垂足为 $H$,点 $A$ 的横坐标为 3 , 且 $△ AOH$ 的面积为 3 .
(1)求正比例函数的表达式.
(2) 在 $x$ 轴上是否存在点 $P$, 使 $△ AOP$ 的面积是 $△ AOH$ 的面积的 2 倍? 若存在, 求点 $P$ 的坐标;若不存在,请说明理由.

11.解:(1)如答图,设$A(3,m)$,由$AH⊥ x$轴于点$H$,
$△ AOH$的面积为3,得$OH=3,AH=-m$,且
$\frac{1}{2}×3×(-m)=3$,解得$m=-2$,故$A(3,-2)$.
$\because$正比例函数$y=kx$的图象经过点$A$,
$\therefore 3k=-2$,解得$k=-\frac{2}{3}$,
$\therefore$正比例函数的表达式为$y=-\frac{2}{3}x$.

(2)存在.如答图,设$P(t,0)$,则$OP=|t|$,由$△ AOP$的面积是$△ AOH$的面积的2倍,得$OP=2OH=6$,
$\therefore |t|=6$,解得$t=\pm6$,
$\therefore$存在满足条件的点$P$,其坐标为$(-6,0)$和$(6,0)$.

12. (2024·涟水县期末) 如图, $A(4,m)$ 为正比例函数 $y=\dfrac{3}{4}x$ 的图象上一点, $AB ⊥ x$ 轴, 垂足为 $B$.
(1)求 $m$ 的值.
(2)点 $P$ 从点 $O$ 出发, 以每秒 2 个单位长度的速度沿射线 $OA$ 方向运动. 设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒.
①过点 $P$ 作 $PQ ⊥ OA$ 交直线 $AB$ 于点 $Q$, 若 $△ APQ ≌ △ ABO$, 求 $t$ 的值.
②在点 $P$ 的运动过程中, 是否存在这样的 $t$, 使得 $△ POB$ 为等腰三角形? 若存在, 请求出所有符合题意的 $t$ 的值; 若不存在, 请说明理由.

12.解:(1)$\because A(4,m)$为正比例函数$y=\frac{3}{4}x$的图象上一点,
$\therefore m=\frac{3}{4}×4=3$.
(2)①$\because A(4,3)$,
$\therefore AB=3,OB=4$,
$\therefore OA=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
要使$△ APQ≌△ ABO$,
则必须有$AP=AB=3$,
如答图①,当点$P$在线段$OA$上时,
$OP=OA-AP=5-3=2$,
$\therefore t=\frac{2}{2}=1$;
当点$P$在$OA$的延长线上时,如答图②,
$OP=OA+AP=5+3=8$,
$\therefore t=\frac{8}{2}=4$.
综上,当$t$的值为4或1时,$△ APQ≌△ ABO$.

②存在.当$PB=OP$时,如答图③,
$\because ∠ POB=∠ PBO,∠ POB+∠ PAB=90°,∠ PBO+∠ PBA=90°$,
$\therefore ∠ PAB=∠ PBA,\therefore PB=PA,\therefore OP=PA$,
$\therefore P$是$OA$的中点,$\therefore OP=\frac{1}{2}AO=2.5$.
由$2t=2.5$,解得$t=1.25$;
当$OP=OB=4$时,如答图④,此时由$2t=4$,解得$t=2$;
当$BP=BO$时,过点$B$作$BH⊥ OA$于点$H$,如答图⑤.
$\because S_{△ ABO}=\frac{1}{2}OA· BH=\frac{1}{2}AB· OB,AB=3,OB=4$,
$OA=5,\therefore 5BH=12,\therefore BH=\frac{12}{5}$,
$\therefore OH=\sqrt{4^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{16}{5}$,
$\therefore OP=2OH=\frac{32}{5}$,
$\therefore t=\frac{32}{5}÷2=3.2$.
综上,$t$的值为1.25或2或3.2.