【例1】计算$(a^2)^3$结果正确的是()

A.$a^5$
B.$-a^5$
C.$-a^6$
D.$a^6$
$(a^m)^n=a^{mn}$
$a^{mn}=(a^n)^m$

D

【分析】
解这道题首先要回忆幂的乘方的相关运算法则，解题思路十分清晰：第一步先确定运算类型属于幂的乘方，第二步套用对应的运算法则进行计算，第三步将计算结果和选项对比选出正确答案。解题时需要注意不要混淆幂的乘方和同底数幂的乘法法则，幂的乘方是指数相乘，同底数幂乘法是指数相加，同时要留意底数的符号，本题底数a没有负号，结果符号为正。
【解析】
根据幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，公式为$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n均为正整数）。
将题目中的数值代入公式，本题底数为$a$，$m=2$，$n=3$，可得：
$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$
因此正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查幂的乘方法则的直接应用，只要准确识记法则，区分开幂的乘方与同底数幂乘法的运算规则，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

练习1.下列计算结果不为$a^{48}$的是()

A.$(a^{8})^{6}$
B.$(a^{24})^{24}$
C.$(a^{6})^{8}$
D.$(a^{4})^{12}$

B

【分析】
本题考查幂的乘方的运算，解题核心是牢记幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。解题时只需对每个选项分别运用幂的乘方法则计算出结果，再和$a^{48}$对比，找出结果不一致的选项即可。
【解析】
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$均为正整数），逐一计算各选项：
A. $(a^8)^6=a^{8×6}=a^{48}$，结果为$a^{48}$，不符合题意；
B. $(a^{24})^{24}=a^{24×24}=a^{576}$，结果不为$a^{48}$，符合题意；
C. $(a^6)^8=a^{6×8}=a^{48}$，结果为$a^{48}$，不符合题意；
D. $(a^4)^{12}=a^{4×12}=a^{48}$，结果为$a^{48}$，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考察对幂的乘方法则的应用，计算时注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的运算规则，避免出现指数相加的错误，逐一验证选项即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

练习2.计算:
(1)$(a^m)^2 =$ ;
(2)$-(x^4)^3 =$ ;
(3)$[(-a)^3]^5 =$ ;
(4)$(-a^3)^4 =$ .

(1)$a^{2m}$ (2)$-x^{12}$ (3)$-a^{15}$ (4)$a^{12}$

【分析】
这组题目考查幂的乘方运算，解题思路如下：首先牢记幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；其次要重点处理符号问题：先区分负号是在括号外还是属于底数的一部分，再结合指数的奇偶性判断最终结果的符号，最后套用公式计算指数即可。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则，底数$a$保持不变，指数$m$与$2$相乘：
$(a^m)^2 = a^{m×2}=a^{2m}$
(2) 负号在括号外，先计算括号内的幂的乘方，底数$x$不变，指数$4$与$3$相乘，再保留负号：
$-(x^4)^3 = -x^{4×3}=-x^{12}$
(3) 底数为$(-a)$，先计算指数乘积$3×5=15$，由于指数15是奇数，$(-a)$的奇次幂为负，再计算$a$的指数：
$[(-a)^3]^5 = (-a)^{3×5}=(-a)^{15}=-a^{15}$
(4) 底数为$(-a^3)$，指数4是偶数，$(-a^3)$的偶次幂为正，再计算幂的乘方：
$(-a^3)^4=(a^3)^4=a^{3×4}=a^{12}$
【答案】
(1)$a^{2m}$ (2)$-x^{12}$ (3)$-a^{15}$ (4)$a^{12}$
【知识点】
幂的乘方运算、乘方符号法则
【点评】
本题是幂的乘方的基础练习题，主要考查对幂的乘方法则的应用能力，解题的易错点是符号判断，做题时要注意区分负号的位置，结合指数奇偶性判断结果符号，避免将幂的乘方法则与同底数幂乘法法则混淆。
【难度系数】
0.85

练习3.(教材P100例2改编)计算：
(1)$(-a^3)^2$；
(2)$(-a^2)^3$；
(3)$(a^2)^3 · (-a^3)^2$；
(4)$(x^2)^3 · (x^2)^4$；
(5)$(y^2)^3 + (y^3)^2$；
(6)$5(a^3)^4 - 3(a^3)^3 · a^2 · a$。

解:(1)原式=$a^6$;(2)原式=$-a^6$;
(3)原式=$a^{12}$;(4)原式=$x^{14}$;
(5)原式=$y^6+y^6=2y^6$;(6)原式=$2a^{12}$。

【分析】
解决这类幂的运算题，需牢记三个核心规则：1. 幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），底数不变，指数相乘；2. 同底数幂乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$（m、n为正整数），底数不变，指数相加；3. 负数乘方的符号规律：偶次幂为正，奇次幂为负。运算顺序为：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同类项需合并。
逐题思路：
(1) 先判断符号：指数2是偶数，负号消去，再用幂的乘方法则计算；
(2) 指数3是奇数，保留负号，再用幂的乘方法则计算；
(3) 先分别计算两个幂的乘方，再用同底数幂乘法法则计算；
(4) 先算两个幂的乘方，再用同底数幂乘法法则计算；
(5) 先算两个幂的乘方，得到同类项后合并；
(6) 先分别计算两项的乘方、乘法运算，得到同类项后合并。
【解析】
(1) 指数2为偶数，结果为正，按幂的乘方法则计算：
$(-a^3)^2=(a^3)^2=a^{3×2}=a^6$
(2) 指数3为奇数，结果为负，按幂的乘方法则计算：
$(-a^2)^3=-(a^2)^3=-a^{2×3}=-a^6$
(3) 先分别计算乘方，再计算同底数幂乘法：
$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$，$(-a^3)^2=(a^3)^2=a^{3×2}=a^6$
原式$=a^6·a^6=a^{6+6}=a^{12}$
(4) 先分别计算乘方，再计算同底数幂乘法：
$(x^2)^3=x^{2×3}=x^6$，$(x^2)^4=x^{2×4}=x^8$
原式$=x^6·x^8=x^{6+8}=x^{14}$
(5) 先分别计算乘方，再合并同类项：
$(y^2)^3=y^{2×3}=y^6$，$(y^3)^2=y^{3×2}=y^6$
原式$=y^6+y^6=2y^6$
(6) 先分别计算两项的运算，再合并同类项：
第一项：$5(a^3)^4=5a^{3×4}=5a^{12}$
第二项：先算幂的乘方$(a^3)^3=a^{3×3}=a^9$，再算同底数幂乘法$a^9·a^2·a=a^{9+2+1}=a^{12}$，故第二项为$3a^{12}$
原式$=5a^{12}-3a^{12}=2a^{12}$
【答案】
(1)$a^6$；(2)$-a^6$；(3)$a^{12}$；(4)$x^{14}$；(5)$2y^6$；(6)$2a^{12}$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的乘法，合并同类项
【点评】
本题是幂的运算的基础训练题，重点考查对幂的运算法则的掌握程度，做题时需注意先判断运算顺序和符号，再按法则逐步计算，避免因符号判断错误或指数运算混淆失分。
【难度系数】
0.8

【例2】若$a^m=2,a^n=4$，则$a^{3m+2n}$的值为 。

128

【分析】
要计算指数为和的形式的幂的值，首先回忆幂的相关运算法则：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加，逆用这个法则可以把$a^{3m+2n}$拆成两个幂相乘的形式，即$a^{3m}·a^{2n}$；②幂的乘方，底数不变，指数相乘，逆用这个法则可以把$a^{3m}$转化为$(a^m)^3$，$a^{2n}$转化为$(a^n)^2$，最后将已知的$a^m=2$、$a^n=4$代入变形后的式子计算即可。
【解析】
根据幂的运算性质的逆用对原式变形：
1. 逆用同底数幂的乘法法则：
$a^{3m+2n}=a^{3m} · a^{2n}$
2. 逆用幂的乘方法则：
$a^{3m}=(a^m)^3$，$a^{2n}=(a^n)^2$
3. 代入已知条件$a^m=2$，$a^n=4$计算：
$(a^m)^3 × (a^n)^2 = 2^3 × 4^2 = 8 × 16 = 128$
【答案】
128
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算的基础常考题，解题核心是熟练掌握幂的相关运算法则，能灵活逆用运算性质对待求式变形，将待求式转化为含已知条件的形式后代入求值即可。
【难度系数】
0.8

练习1.若$a^{2n}=3$，则$(a^{3n})^2=$.
练习2.若$2×8^x·16^x=2^{22}$，则$x=$.

练习1.27
解:$a^{2n}=3$,
原式=$(a^{2n})^3=3^3=27$.
练习2.3
解:$2×2^{3x}·(2^4)^x=2^{22}$,
$\therefore 1+3x+4x=22,\therefore x=3$.

【分析】
练习1解题思路：首先回忆幂的乘方法则，即幂的乘方，底数不变，指数相乘。先对所求式子$(a^{3n})^2$运用幂的乘方法则化简，得到指数为$6n$，再观察已知条件$a^{2n}=3$，将$6n$变形为$2n×3$，逆用幂的乘方法则，把式子转化为含$a^{2n}$的形式，最后代入已知值计算即可。
练习2解题思路：首先观察等式两边的底数，右边底数是2，因此需要把左边的$8^x$、$16^x$都转化为底数为2的幂的形式，再分别运用幂的乘方法则化简，之后根据同底数幂相乘，底数不变指数相加的法则，将左边合并为底数为2的单个幂，最后根据同底数幂相等则指数相等的性质，列一元一次方程求解x即可。
【解析】
练习1：
已知$a^{2n}=3$，
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，
得$(a^{3n})^2=a^{3n×2}=a^{6n}$，
逆用幂的乘方法则可得$a^{6n}=(a^{2n})^3$，
将$a^{2n}=3$代入得：$3^3=27$。
练习2：
先将等式左边的底数统一为2：$8=2^3$，$16=2^4$，
则原式左边$=2×(2^3)^x·(2^4)^x$，
根据幂的乘方法则计算得：$2×2^{3x}·2^{4x}$，
根据同底数幂的乘法法则：$a^m· a^n=a^{m+n}$，
左边合并为：$2^{1+3x+4x}=2^{1+7x}$，
已知$2^{1+7x}=2^{22}$，根据同底数幂相等则指数相等，得：
$1+7x=22$，
解得：$7x=21$，$x=3$。
【答案】
练习1：$\boxed{27}$；练习2：$\boxed{3}$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的乘法，一元一次方程求解
【点评】
这两道题是幂的运算板块的经典基础题，重点考察幂的运算法则的正用与逆用，解题的关键是灵活转化底数或者指数，将所求式子与已知条件建立关联，熟练掌握各类幂的运算法则是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.85

练习3.若$4^x=2^{x+3}$，求$x$的值.
练习4.已知$4^x=32,8^y=128$，求$6xy$的值.

练习3.解:$2^{2x}=2^{x+3}$,
$2x=x+3,x=3$.
练习4.解:$2^{2x}=2^5,2^{3y}=2^7$,
$\therefore 2x=5,3y=7$,
$\therefore 6xy=35$.

【分析】
练习3：先观察等式两边底数的关联，4是2的平方，可利用幂的乘方法则把左边的$4^x$转化为以2为底的幂，再根据“同底数幂相等时指数相等”的性质，列出关于x的一元一次方程，求解即可得到x的值。
练习4：先将等式中所有幂的底数统一为2，利用幂的乘方法则变形后，根据同底数幂相等的性质得到2x和3y的值，观察所求$6xy$的结构，可直接将2x与3y相乘得到结果，无需单独计算x、y，简化计算过程。
【解析】
练习3
解：由幂的乘方法则对左边变形得：
$4^x=(2^2)^x=2^{2x}$
原等式可化为：$2^{2x}=2^{x+3}$
根据同底数幂相等则指数相等，得：
$2x=x+3$
移项解得：$x=3$
练习4
解：统一底数为2，对已知等式变形：
$4^x=(2^2)^x=2^{2x}=32=2^5$，$8^y=(2^3)^y=2^{3y}=128=2^7$
根据同底数幂相等则指数相等，得：
$2x=5$，$3y=7$
将两式左右分别相乘：
$2x·3y=5×7$
即$6xy=35$
【答案】
练习3：$\boldsymbol{x=3}$；练习4：$\boldsymbol{6xy=35}$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的性质；代数式求值
【点评】
这两道题是幂的乘方的基础应用题型，解题核心是把不同底数的幂转化为同底数幂，再利用指数相等的关系建立等式求解，第4题用整体代入的思路可避免分数运算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8

1.$a^{2m+3n}=108,a^m=2$,
则$a^n$的值为.
2.已知$2^m=a,32^n=b$,
则$2^{3m+10n}$的值为.

1.3
解:$a^{2m+3n}$
$=a^{2m}·a^{3n}$
$=(a^m)^2·(a^n)^3=108$,
$\therefore a^n=3$.
2.$a^3b^2$
解:$2^{3m+10n}$
$=(2^m)^3·(32^n)^2$
$=a^3b^2$.

【分析】
两道题均考查幂的运算性质的逆用，解题思路如下：
第1题：首先利用同底数幂乘法的逆运算，将指数和的形式$a^{2m+3n}$拆分为$a^{2m}·a^{3n}$，再利用幂的乘方的逆运算，将$a^{2m}$转化为$(a^m)^2$、$a^{3n}$转化为$(a^n)^3$，代入已知$a^m=2$，即可求出$(a^n)^3$的值，进而得到$a^n$的结果。
第2题：同样先将$2^{3m+10n}$拆分为$2^{3m}·2^{10n}$，再将$2^{3m}$转化为$(2^m)^3$，结合$32=2^5$，可将$2^{10n}$转化为$(2^{5n})^2=(32^n)^2$，最后代入已知的$2^m=a$、$32^n=b$即可得到结果。
【解析】
1. 对$a^{2m+3n}$利用幂的运算性质逆用变形：
$\begin{aligned}a^{2m+3n}&=a^{2m}·a^{3n}\\&=(a^m)^2·(a^n)^3\end{aligned}$
将$a^m=2$代入得：$2^2·(a^n)^3=108$，即$4·(a^n)^3=108$，
计算得$(a^n)^3=27$，因此$a^n=3$。
2. 对$2^{3m+10n}$变形：
$\begin{aligned}2^{3m+10n}&=2^{3m}·2^{10n}\\&=(2^m)^3·(2^{5n})^2\end{aligned}$
因为$32^n=(2^5)^n=2^{5n}=b$，$2^m=a$，代入得：
原式$=a^3·b^2=a^3b^2$。
【答案】
1. $\boxed{3}$
2. $\boxed{a^3b^2}$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、幂的运算逆用
【点评】
这类题是幂运算的典型基础题型，解题核心是熟练掌握幂的运算公式的正向和逆向变形，能够根据所求式子的指数特征，灵活拆分转化为含已知条件的形式，代入计算即可。
【难度系数】
0.8

3.已知$x+2y-7=0$，
求$2^x · 4^y$的值.
4.已知$a^x=8,a^y=4,a^z=32$，
求$x+z-4y$的值.

3.解:$2^x · 4^y=2^x · 2^{2y}=2^{x+2y}=2^7=128$.
4.解:$a^x · a^z=a^{x+z}=2^3×2^5=2^8$,
$\therefore (a^y)^4=4^4=2^8$,
$\therefore a^{x+z}=a^{4y}$,
$\therefore x+z=4y,即 x+z-4y=0$.

【分析】
第3题：首先观察所求式子的底数，4可以转化为2的平方，先利用幂的乘方法则将$4^y$改写为$2^{2y}$，再根据同底数幂相乘底数不变、指数相加的法则，将原式合并为$2^{x+2y}$，最后根据已知条件得到$x+2y=7$，整体代入计算即可。
第4题：要求$x+z-4y$的值，可先通过同底数幂的乘法法则求出$a^{x+z}$的值，再通过幂的乘方法则求出$a^{4y}$的值，发现二者相等，根据同底数幂相等则指数相等（底数不为0且不为1），即可推出$x+z=4y$，进而得到代数式的值。
【解析】
3. 解：
已知$x+2y-7=0$，可得$x+2y=7$，
则$2^x · 4^y=2^x · (2^2)^y=2^x · 2^{2y}=2^{x+2y}=2^7=128$。
4. 解：
根据同底数幂乘法法则：$a^{x+z}=a^x · a^z=8×32=2^3×2^5=2^8$，
根据幂的乘方法则：$a^{4y}=(a^y)^4=4^4=(2^2)^4=2^8$，
因此$a^{x+z}=a^{4y}$，可得$x+z=4y$，
即$x+z-4y=0$。
【答案】
3. $\boxed{128}$；4. $\boxed{0}$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、整体代入求值
【点评】
这两道题是幂的运算的典型应用，解题核心是将不同底数的幂统一为同底数幂，结合幂的运算性质推导指数的关系，同时用到整体代入思想，熟练掌握幂的运算法则是快速解题的关键。
【难度系数】
0.75