1.已知$\underbrace{3 × 3 × 3 × \dots × 3}_{m个3} = \underbrace{3 + 3 + 3 + \dots + 3}_{n个3}$，若$m=2028$，则$n$的值为()

A.2027
B.2026
C.$3^{2027}$
D.$3^{2028}$

C
解:$3^m=3n,m=2028,∴n=3^{2027}$。

【分析】
解题首先要明确乘方和乘法的定义：左边是m个3相乘，根据乘方的意义可表示为3的m次方；右边是n个3相加，根据乘法（求几个相同加数和的简便运算）的意义可表示为3乘n。题目已给出m的取值，将m代入化简后的等式，结合同底数幂的运算规则就能求出n的值。
【解析】
解：先分别化简等式两边的运算：
1. 左边$\underbrace{3 × 3 × 3 × \dots × 3}_{m个3}$是m个3相乘，根据乘方的定义可得：$\underbrace{3 × 3 × 3 × \dots × 3}_{m个3}=3^m$；
2. 右边$\underbrace{3 + 3 + 3 + \dots + 3}_{n个3}$是n个3相加，根据乘法的定义可得：$\underbrace{3 + 3 + 3 + \dots + 3}_{n个3}=3n$；
因此原等式可化简为$3^m=3n$。
把$m=2028$代入上式得$3^{2028}=3n$，根据同底数幂的乘法规则$3^{2028}=3×3^{2027}$，代入得：
$3×3^{2027}=3n$，两边同时除以3，解得$n=3^{2027}$。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义；乘法的意义；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是区分多个相同数相乘（乘方）和多个相同数相加（乘法）的代数式表示，掌握基础概念后就能快速求解。
【难度系数】
0.8

2.计算$2^9 - 2^8$的结果为（）

A.$2^8$
B.$2^7$
C.$2^6$
D.2

A

【分析】
本题是同底数幂的减法运算，解题时可先利用同底数幂乘法的逆用，把次数较高的幂拆成与次数较低的幂有相同公因式的形式，再提取公因式进行简化计算，就能快速得到结果。观察到两个项的底数都是2，次数分别为9和8，因此可以把$2^9$转化为$2 × 2^8$，这样两项都含有公因式$2^8$，提取后计算即可。
【解析】
解：先逆用同底数幂的乘法法则将$2^9$变形：
$2^9 = 2 × 2^8$
代入原式计算：
$\begin{aligned}2^9 - 2^8 &= 2 × 2^8 - 1 × 2^8 \\&= 2^8 × (2 - 1) \\&= 2^8 × 1 \\&= 2^8\end{aligned}$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法；提取公因式法
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查同底数幂乘法的逆用以及提取公因式简化运算的方法，解题关键是将高次同底数幂拆分为含低次同底数幂的乘积形式，熟练掌握相关法则就能快速求解。
【难度系数】
0.9

3.已知$a^m=2,a^n=5$，则$a^{m+n}$的值为（）

A.4
B.25
C.10
D.32

C

【分析】
首先观察所求式子$a^{m+n}$，其指数为两个数相加的形式，可联想到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^x· a^y=a^{x+y}$，该法则可以逆用，即$a^{x+y}=a^x· a^y$。我们已知$a^m$和$a^n$的取值，代入逆用后的公式即可计算出结果。
【解析】
解：根据同底数幂乘法法则的逆运算可得：
$a^{m+n}=a^m· a^n$
将$a^m=2$，$a^n=5$代入上式：
$a^{m+n}=2×5=10$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题属于幂的运算模块的基础常考题，主要考查对同底数幂乘法法则的灵活运用，解题的关键是熟练掌握法则的正用和逆用形式。
【难度系数】
0.9

4.已知$a^{m+n}=8,a^{m}=3$,则$a^{n}$的值为()

A.24
B.$\frac{8}{3}$
C.$8^3$
D.$3^8$

B

【分析】
解题时首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$。本题可逆用该公式，将$a^{m+n}$变形为$a^m · a^n$，再把已知的$a^{m+n}$和$a^m$的值代入，即可求出$a^n$的值。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则可得：$a^{m+n} = a^m · a^n$
已知$a^{m+n}=8$，$a^m=3$，将其代入上式得：
$3 · a^n = 8$
解得：$a^n = \frac{8}{3}$
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的运算逆用
【点评】
本题侧重考查幂的运算性质的灵活运用，解题核心是熟练掌握同底数幂乘法公式的正向和逆向变形，熟悉公式结构就能快速求解。
【难度系数】
0.8

5. $7^{m-1} × 7^{2m+1}=7^9$,则$m=$,若$x^{m-5} · x^n - x^6=0$,则$m+n$的值为.

3 11

【分析】
解题前先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。对于第一问，先将等式左边按照法则合并成同底数幂，再根据“底数相同的两个幂相等，则指数相等”列出关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值；对于第二问，同样先将左边的乘法运算按同底数幂乘法法则合并，移项后可知两个幂相等，因此指数也相等，整理后即可求出m+n的值。
【解析】
1. 求第一个空的m值：
根据同底数幂的乘法法则$a^m · a^n = a^{m+n}$（$a≠0$，m、n为正整数），可得：
$7^{m-1} × 7^{2m+1} = 7^{(m-1)+(2m+1)} = 7^{3m}$
已知等式右边为$7^9$，底数相同的幂相等则指数相等，因此列方程：
$3m = 9$
解得$m=3$
2. 求第二个空的$m+n$值：
先化简等式左侧的乘法运算：
$x^{m-5} · x^n = x^{(m-5)+n} = x^{m+n-5}$
代入原式得$x^{m+n-5} - x^6 = 0$，即$x^{m+n-5} = x^6$
同理底数相同的幂相等则指数相等，因此：
$m+n-5 = 6$
整理得$m+n=11$
【答案】
3；11
【知识点】
同底数幂的乘法；一元一次方程的解法
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握同底数幂的运算规则，结合同底数幂相等时指数相等的性质列方程求解，计算时要注意指数相加的运算不要出错。
【难度系数】
0.85

6.计算:
(1)$(-n^3) · (-n)^2 - (-n)^4 · n$;
(2)$(-x)^6 · (-x)^2 + x^3 · x^2 · (-x)^3$.

解:(1)原式$=-n^3 · n^2 -n^4 · n =-n^5 -n^5=-2n^5$；
(2)原式$=(-x)^8 -x^{3+2+3}=x^8 -x^8=0$。

【分析】
这两道题是幂的运算与整式加减的混合基础题，解题思路可分三步：第一步先处理幂的符号，根据“负数的偶次幂为正、奇次幂为负”的规则，先化简带负号的幂，确定每一项的正负；第二步运用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算每一项的结果；第三步合并同类项得到最终答案。
【解析】
(1) 先化简幂的符号：$(-n)^2 = n^2$，$(-n)^4 = n^4$，代入原式得：
原式$=-n^3 · n^2 -n^4 · n$
根据同底数幂乘法法则计算：
$=-n^{3+2} -n^{4+1}$
$=-n^5 -n^5$
合并同类项得：
$=-2n^5$
(2) 先计算同底数幂乘法，再化简符号：
前半部分：$(-x)^6 · (-x)^2 = (-x)^{6+2} = (-x)^8 = x^8$
后半部分：$x^3 · x^2 · (-x)^3 = x^3 · x^2 · (-x^3) = -x^{3+2+3} = -x^8$
代入原式得：
原式$=x^8 -x^8 = 0$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2n^5}$；(2) $\boldsymbol{0}$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的符号化简，合并同类项
【点评】
本题考查幂运算的基础应用，解题关键是准确区分幂的符号，避免将底数带负号和单项式本身带负号的情况混淆，符号判断是这类题的高频易错点，计算时需重点关注。
【难度系数】
0.7

7.规定$a※b=2^a · 2^b$.
(1)直接写出$3※4$的值为________;
(2)若$2※(x+1)=32$,求$x$的值.

解:(1)$3※4=2^3 · 2^4=2^7=128$；
(2)$2※(x+1)=32,2^2 · 2^{x+1}=2^5$,
$∴2^{x+3}=2^5$,
$∴x+3=5,x=2$。

【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：①首先准确理解新运算“※”的规则：两个数进行※运算，结果是底数为2、指数分别为这两个数的幂的乘积；②第(1)问直接将a=3、b=4代入新运算公式，结合同底数幂乘法法则计算即可；③第(2)问先按新运算规则将等式左边转化为同底数幂的乘法形式，再将右边的32转化为以2为底的幂，根据“底数相同的幂相等时，指数也相等”列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1)根据题中给出的新定义$a※b=2^a · 2^b$，可得：
$3※4=2^3 · 2^4=2^{3+4}=2^7=128$
(2)先根据新定义化简等式左边：
$2※(x+1)=2^2 · 2^{x+1}=2^{2+x+1}=2^{x+3}$
又因为$32=2^5$，所以原等式可转化为：
$2^{x+3}=2^5$
根据同底数幂相等的性质，底数相同则指数相等，可得：
$x+3=5$
解得：$x=2$
【答案】
(1)$128$；(2)$x=2$
【知识点】
新定义运算，同底数幂的乘法，解一元一次方程
【点评】
本题结合新运算形式考查同底数幂乘法的应用，解题核心是将陌生的新运算转化为已学的幂运算知识，只要准确掌握同底数幂乘法法则和幂相等的性质就能顺利求解，属于基础运算题。
【难度系数】
0.85

8.(1)若$2^{x+2}=32$，求$x$的值；(2)若$3^{x+2}=243$，求$x$的值。

解:(1)$2^{x+2}=2^5,x+2=5,x=3$；
(2)$3^{x+2}=3^5,x+2=5,x=3$。

【分析】
要解决这两个求x值的问题，可按如下思路思考：首先观察等式左侧幂的底数，分别为2和3，先将等式右侧的常数转化为和左侧底数相同的幂的形式；再根据“当两个同底数（底数不为0且不为1）的幂相等时，它们的指数也相等”的性质，得到关于x的一元一次方程，最后解方程即可求出x的值。
【解析】
(1) 先将32转化为以2为底的幂：$\because 2^5=32$，$\therefore$原等式可化为$2^{x+2}=2^5$。
根据同底数幂相等则指数相等的性质，得$x+2=5$，解得$x=5-2=3$。
(2) 先将243转化为以3为底的幂：$\because 3^5=243$，$\therefore$原等式可化为$3^{x+2}=3^5$。
根据同底数幂相等则指数相等的性质，得$x+2=5$，解得$x=5-2=3$。
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=3$
【知识点】
同底数幂的性质，有理数乘方运算，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查同底数幂相等的性质的应用，解题关键是熟练掌握常见整数的乘方结果，将等式两边转化为同底数幂的形式后列方程求解，计算量小，掌握基础性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.9

9.(1)若$x^{a+1} · x^{3-2a}=x^2$，求$a$的值；(2)已知$a^{m+n} · a^{m-3n} · a^6=a^{2m}$，求$n$的值。

解:(1)$∵x^{a+1} · x^{3-2a}=x^{a+1+3-2a}=x^{4-a}=x^2$,
$∴4-a=2,∴a=2$；
(2)$∵a^{m+n} · a^{m-3n} · a^6$
$=a^{m+n+m-3n+6}$
$=a^{2m-2n+6}$
$=a^{2m}$,
$∴2m-2n+6=2m,∴n=3$。

【分析】
这两道小题均为同底数幂乘法法则的应用类题目，解题思路统一：首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，先计算等式左边的乘积，将等式两边化为底数相同的幂的形式；由于题目给出等式成立，默认底数不为0且不等于1，此时若两个同底数幂相等，则对应指数相等，据此列出关于未知数的一元一次方程，求解方程即可得到答案。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则计算左边：
$x^{a+1} · x^{3-2a}=x^{a+1+3-2a}=x^{4-a}$
已知$x^{4-a}=x^2$，可得指数相等：
$4-a=2$
解得：$a=2$
(2) 根据同底数幂的乘法法则计算左边：
$a^{m+n} · a^{m-3n} · a^6=a^{m+n+m-3n+6}=a^{2m-2n+6}$
已知$a^{2m-2n+6}=a^{2m}$，可得指数相等：
$2m-2n+6=2m$
移项化简得：$-2n=-6$
解得：$n=3$
【答案】
(1)$a=2$；(2)$n=3$
【知识点】
同底数幂的乘法、解一元一次方程
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础应用题型，核心考查对同底数幂乘法法则的掌握程度，解题的关键是正确运用法则合并指数，再根据同底数幂相等的条件列方程求解，计算量小，只要熟记法则就能顺利解答。
【难度系数】
0.9