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1.计算：
(1)$\frac{3x - 6}{x^2 - 4} ÷ \frac{x + 2}{x^2 + 4x + 4}$；
(2)$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \frac{x - 1}{x^2 + x}$；
(3)$\frac{a^2 - 1}{a^2 + 2a + 1} ÷ \frac{a^2 - a}{a + 1} · \frac{a^2}{a + 1}$；
(4)$(xy - x^2) ÷ \frac{x^2 - 2xy + y^2}{xy} ÷ \frac{x^2}{x - y}$；
(1)$\frac{3x - 6}{x^2 - 4} ÷ \frac{x + 2}{x^2 + 4x + 4}$；
(2)$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \frac{x - 1}{x^2 + x}$；
(3)$\frac{a^2 - 1}{a^2 + 2a + 1} ÷ \frac{a^2 - a}{a + 1} · \frac{a^2}{a + 1}$；
(4)$(xy - x^2) ÷ \frac{x^2 - 2xy + y^2}{xy} ÷ \frac{x^2}{x - y}$；
答案
解:(1)原式=$\frac{3(x-2)}{(x+2)(x-2)} · \frac{(x+2)^2}{x+2}=3$；
(2)原式=$\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x(x+1)}{x-1}=x$；
(3)原式=$\frac{(a+1)(a-1)}{(a+1)^2} · \frac{a+1}{a(a-1)} · \frac{a^2}{a+1}$
$=\frac{a}{a+1}$；
(4)原式=$x(y-x) · \frac{xy}{(x-y)^2} · \frac{x-y}{x^2}=-y$。
(2)原式=$\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x(x+1)}{x-1}=x$；
(3)原式=$\frac{(a+1)(a-1)}{(a+1)^2} · \frac{a+1}{a(a-1)} · \frac{a^2}{a+1}$
$=\frac{a}{a+1}$；
(4)原式=$x(y-x) · \frac{xy}{(x-y)^2} · \frac{x-y}{x^2}=-y$。
解析
【分析】
解分式乘除类题目遵循固定思路：1. 先将所有除法运算转化为乘法运算，依据是“除以一个不为0的分式等于乘以它的倒数”；2. 对每个分式的分子、分母分别因式分解，常用提公因式法、平方差公式、完全平方公式；3. 约去分子分母的公因式，若存在互为相反数的因式（如$x-y$与$y-x$），可提取负号统一为相同因式后再约分；4. 最终结果化为最简分式或整式，乘除为同级运算，需从左到右依次计算。
【解析】
(1) 先将除法转为乘法，再因式分解后约分：
原式=$\frac{3(x-2)}{(x+2)(x-2)} · \frac{(x+2)^2}{x+2}$，约去公因式$(x-2)$、$(x+2)$，得结果为3。
(2) 先将除法转为乘法，再因式分解后约分：
原式=$\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x(x+1)}{x-1}$，约去公因式$(x-1)$、$(x+1)$，得结果为$x$。
(3) 从左到右将除法转为乘法，再因式分解后约分：
原式=$\frac{(a+1)(a-1)}{(a+1)^2} · \frac{a+1}{a(a-1)} · \frac{a^2}{a+1}$，约去公因式$(a+1)$、$(a-1)$、$a$，得结果为$\frac{a}{a+1}$。
(4) 先将除法转为乘法，处理互为相反数的因式后再约分：
原式=$x(y-x) · \frac{xy}{(x-y)^2} · \frac{x-y}{x^2}=-x(x-y) · \frac{xy}{(x-y)^2} · \frac{x-y}{x^2}$，约去公因式$x$、$(x-y)$，得结果为$-y$。
【答案】
(1)$3$；(2)$x$；(3)$\frac{a}{a+1}$；(4)$-y$
【知识点】
分式乘除法则，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式乘除运算的常规基础题，解题核心是熟练掌握除法转乘法的规则，以及因式分解的常用方法，计算时要注意互为相反数的因式的符号处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
解分式乘除类题目遵循固定思路：1. 先将所有除法运算转化为乘法运算，依据是“除以一个不为0的分式等于乘以它的倒数”；2. 对每个分式的分子、分母分别因式分解，常用提公因式法、平方差公式、完全平方公式；3. 约去分子分母的公因式，若存在互为相反数的因式（如$x-y$与$y-x$），可提取负号统一为相同因式后再约分；4. 最终结果化为最简分式或整式，乘除为同级运算，需从左到右依次计算。
【解析】
(1) 先将除法转为乘法，再因式分解后约分：
原式=$\frac{3(x-2)}{(x+2)(x-2)} · \frac{(x+2)^2}{x+2}$，约去公因式$(x-2)$、$(x+2)$，得结果为3。
(2) 先将除法转为乘法，再因式分解后约分：
原式=$\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x(x+1)}{x-1}$，约去公因式$(x-1)$、$(x+1)$，得结果为$x$。
(3) 从左到右将除法转为乘法，再因式分解后约分：
原式=$\frac{(a+1)(a-1)}{(a+1)^2} · \frac{a+1}{a(a-1)} · \frac{a^2}{a+1}$，约去公因式$(a+1)$、$(a-1)$、$a$，得结果为$\frac{a}{a+1}$。
(4) 先将除法转为乘法，处理互为相反数的因式后再约分：
原式=$x(y-x) · \frac{xy}{(x-y)^2} · \frac{x-y}{x^2}=-x(x-y) · \frac{xy}{(x-y)^2} · \frac{x-y}{x^2}$，约去公因式$x$、$(x-y)$，得结果为$-y$。
【答案】
(1)$3$；(2)$x$；(3)$\frac{a}{a+1}$；(4)$-y$
【知识点】
分式乘除法则，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式乘除运算的常规基础题，解题核心是熟练掌握除法转乘法的规则，以及因式分解的常用方法，计算时要注意互为相反数的因式的符号处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
2.先化简，再求值：
(1)
(2)
(1)
(2)
答案
解:(1)原式=$-\frac{4b+12}{a-2}$,
当$a=1,b=-1$时,原式$=8$.
(2)原式=$\frac{2x+y}{x-y}$,
当$x=3y$时,原式=$\frac{7y}{2y}=\frac{7}{2}$.
当$a=1,b=-1$时,原式$=8$.
(2)原式=$\frac{2x+y}{x-y}$,
当$x=3y$时,原式=$\frac{7y}{2y}=\frac{7}{2}$.
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简分式，按照分式乘除的运算法则，先将各分式的分子、分母因式分解，再约分把原式化为最简分式；第二步代入给定的字母取值（或关系式）计算结果，代值时注意要保证分式的分母不为0。具体到两小问：(1)化简后得到关于a、b的最简分式，代入a=1、b=-1计算即可；(2)化简后得到关于x、y的最简分式，代入x=3y，约分消去y后计算数值结果。
【解析】
(1) 按照分式乘除运算法则，对原式的分子、分母先因式分解，再逐步约分，最终化简得：
原式=$-\frac{4b+12}{a-2}$
将$a=1$，$b=-1$代入最简式：
原式=$-\frac{4×(-1)+12}{1-2}=-\frac{-4+12}{-1}=8$
(2) 同理对原式的分子、分母因式分解后约分，化简得：
原式=$\frac{2x+y}{x-y}$
将$x=3y$代入最简式（默认$y≠0$，保证原分式有意义）：
原式=$\frac{2×3y + y}{3y - y}=\frac{7y}{2y}=\frac{7}{2}$
【答案】
(1) 化简结果为$-\frac{4b+12}{a-2}$，求值结果为8；
(2) 化简结果为$\frac{2x+y}{x-y}$，求值结果为$\frac{7}{2}$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础常规题型，核心考察分式乘除的运算规则和约分技巧，解题时注意先因式分解再约分，代入求值时需保证分母不为0，熟练掌握基础运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简分式，按照分式乘除的运算法则，先将各分式的分子、分母因式分解，再约分把原式化为最简分式；第二步代入给定的字母取值（或关系式）计算结果，代值时注意要保证分式的分母不为0。具体到两小问：(1)化简后得到关于a、b的最简分式，代入a=1、b=-1计算即可；(2)化简后得到关于x、y的最简分式，代入x=3y，约分消去y后计算数值结果。
【解析】
(1) 按照分式乘除运算法则，对原式的分子、分母先因式分解，再逐步约分，最终化简得：
原式=$-\frac{4b+12}{a-2}$
将$a=1$，$b=-1$代入最简式：
原式=$-\frac{4×(-1)+12}{1-2}=-\frac{-4+12}{-1}=8$
(2) 同理对原式的分子、分母因式分解后约分，化简得：
原式=$\frac{2x+y}{x-y}$
将$x=3y$代入最简式（默认$y≠0$，保证原分式有意义）：
原式=$\frac{2×3y + y}{3y - y}=\frac{7y}{2y}=\frac{7}{2}$
【答案】
(1) 化简结果为$-\frac{4b+12}{a-2}$，求值结果为8；
(2) 化简结果为$\frac{2x+y}{x-y}$，求值结果为$\frac{7}{2}$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础常规题型，核心考察分式乘除的运算规则和约分技巧，解题时注意先因式分解再约分，代入求值时需保证分母不为0，熟练掌握基础运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.7
3.(教材 P147 例 3 变式)有甲、乙两筐水果，甲筐水果重$(m-1)^2$kg，乙筐水果重$(m^2 -1)$kg(其中$m＞1$)，售完后，两筐水果都卖了120元.
(1)哪筐水果的单价卖得高？
(2)高的单价是低的单价的多少倍？
(1)哪筐水果的单价卖得高？
(2)高的单价是低的单价的多少倍？
答案
解:(1)甲筐水果的单价$\frac{120}{(m-1)^2}$元/kg,乙筐水果的单价为$\frac{120}{m^2-1}$元/kg.
$\because m＞1,\therefore 0＜(m-1)^2＜m^2-1$,
$\therefore \frac{120}{(m-1)^2}＞\frac{120}{m^2-1}$.
答:甲筐水果的单价卖得高.
(2)$\frac{120}{(m-1)^2} ÷ \frac{120}{m^2-1}=\frac{m+1}{m-1}$.
答:高的单价是低的单价的$\frac{m+1}{m-1}$倍.
$\because m＞1,\therefore 0＜(m-1)^2＜m^2-1$,
$\therefore \frac{120}{(m-1)^2}＞\frac{120}{m^2-1}$.
答:甲筐水果的单价卖得高.
(2)$\frac{120}{(m-1)^2} ÷ \frac{120}{m^2-1}=\frac{m+1}{m-1}$.
答:高的单价是低的单价的$\frac{m+1}{m-1}$倍.
解析
【分析】
解题时先根据“单价=总价÷重量”分别表示出两筐水果的单价。第一问比较单价高低：因为两筐总价相同，所以只需比较重量大小，重量越小单价越高，先对乙筐重量因式分解，结合m＞1的条件即可判断两筐重量的大小关系，进而得到单价的高低。第二问求倍数关系：直接用高单价除以低单价，按照分式除法的运算法则，因式分解后约分就能得到结果。
【解析】
(1) 根据单价计算公式可得：
甲筐水果单价为$\frac{120}{(m-1)^2}$元/kg，乙筐水果单价为$\frac{120}{m^2-1}$元/kg。
对乙筐重量因式分解得$m^2-1=(m-1)(m+1)$，
已知$m＞1$，因此$m-1＞0$，$m+1＞0$，
可得$(m-1)^2=(m-1)(m-1)＜(m-1)(m+1)=m^2-1$，即$0＜(m-1)^2＜m^2-1$。
分子相同的正分数，分母越小分数值越大，因此$\frac{120}{(m-1)^2}＞\frac{120}{m^2-1}$。
(2) 求高单价是低单价的几倍，用高单价除以低单价：
$\frac{120}{(m-1)^2} ÷ \frac{120}{m^2-1} = \frac{120}{(m-1)^2} × \frac{m^2-1}{120}$
将$m^2-1$替换为$(m-1)(m+1)$，约分后得：
$\frac{(m-1)(m+1)}{(m-1)^2}=\frac{m+1}{m-1}$
【答案】
(1) 甲筐水果的单价卖得高；
(2) 高的单价是低的单价的$\frac{m+1}{m-1}$倍。
【知识点】
分式大小比较，分式除法运算，因式分解
【点评】
本题结合实际销售场景考查分式的应用，解题核心是先利用单价公式表示出两个单价，再通过比较重量判断单价高低，计算倍数时注意先因式分解再约分，可大幅简化运算。
【难度系数】
0.75
解题时先根据“单价=总价÷重量”分别表示出两筐水果的单价。第一问比较单价高低：因为两筐总价相同，所以只需比较重量大小，重量越小单价越高，先对乙筐重量因式分解，结合m＞1的条件即可判断两筐重量的大小关系，进而得到单价的高低。第二问求倍数关系：直接用高单价除以低单价，按照分式除法的运算法则，因式分解后约分就能得到结果。
【解析】
(1) 根据单价计算公式可得：
甲筐水果单价为$\frac{120}{(m-1)^2}$元/kg，乙筐水果单价为$\frac{120}{m^2-1}$元/kg。
对乙筐重量因式分解得$m^2-1=(m-1)(m+1)$，
已知$m＞1$，因此$m-1＞0$，$m+1＞0$，
可得$(m-1)^2=(m-1)(m-1)＜(m-1)(m+1)=m^2-1$，即$0＜(m-1)^2＜m^2-1$。
分子相同的正分数，分母越小分数值越大，因此$\frac{120}{(m-1)^2}＞\frac{120}{m^2-1}$。
(2) 求高单价是低单价的几倍，用高单价除以低单价：
$\frac{120}{(m-1)^2} ÷ \frac{120}{m^2-1} = \frac{120}{(m-1)^2} × \frac{m^2-1}{120}$
将$m^2-1$替换为$(m-1)(m+1)$，约分后得：
$\frac{(m-1)(m+1)}{(m-1)^2}=\frac{m+1}{m-1}$
【答案】
(1) 甲筐水果的单价卖得高；
(2) 高的单价是低的单价的$\frac{m+1}{m-1}$倍。
【知识点】
分式大小比较，分式除法运算，因式分解
【点评】
本题结合实际销售场景考查分式的应用，解题核心是先利用单价公式表示出两个单价，再通过比较重量判断单价高低，计算倍数时注意先因式分解再约分，可大幅简化运算。
【难度系数】
0.75
