登录
1. 下列方程中,为二元一次方程的是 （）
A.$2a+1=0$
B.$3x+y=z$
C.$x=3y$
D.$xy=9$
A.$2a+1=0$
B.$3x+y=z$
C.$x=3y$
D.$xy=9$
答案
C
解析
根据二元一次方程的定义：需满足是整式方程，含有2个未知数，且含有未知数的项的次数都为1，逐一判断：
选项A：仅含1个未知数，属于一元一次方程，不符合要求；
选项B：含有3个未知数，不符合要求；
选项C：含有2个未知数，含未知数的项的次数都为1，是整式方程，符合二元一次方程定义；
选项D：xy项的次数为2，不符合要求。
综上可得出正确选项。
选项A：仅含1个未知数，属于一元一次方程，不符合要求；
选项B：含有3个未知数，不符合要求；
选项C：含有2个未知数，含未知数的项的次数都为1，是整式方程，符合二元一次方程定义；
选项D：xy项的次数为2，不符合要求。
综上可得出正确选项。
2.已知方程组$\begin{cases}27x + 63y = 59, \\63x + 27y = -13\end{cases}$的解满足$x - y = m - 1$，则$m$的值为（ ）
A.$-1$
B.$-2$
C.$1$
D.$2$
A.$-1$
B.$-2$
C.$1$
D.$2$
答案
A
解析
用方程组的第二个方程减去第一个方程，得：$(63x+27y)-(27x+63y) = -13 - 59$，化简得$36x - 36y = -72$，两边同时除以36，得$x - y = -2$。将$x-y=-2$代入$x - y = m - 1$，得$-2 = m - 1$，解得$m=-1$。
3.若$|3x-2y-1|+\sqrt{x+y-2}=0$,则$x,y$的值为 （）
A.$\begin{cases} x=1, \\ y=4 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2, \\ y=0 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=0, \\ y=2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=1, \\ y=1 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x=1, \\ y=4 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2, \\ y=0 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=0, \\ y=2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=1, \\ y=1 \end{cases}$
答案
D
解析
根据绝对值和算术平方根的非负性：两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，可得方程组：
$\begin{cases}3x-2y-1=0 \\ x+y-2=0 \end{cases}$
将第二个方程变形为$x+y=2$，两边同乘2得$2x+2y=4$，与第一个方程相加得$5x=5$，解得$x=1$，把$x=1$代入$x+y=2$，得$y=1$，因此$\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}$。
$\begin{cases}3x-2y-1=0 \\ x+y-2=0 \end{cases}$
将第二个方程变形为$x+y=2$，两边同乘2得$2x+2y=4$，与第一个方程相加得$5x=5$，解得$x=1$，把$x=1$代入$x+y=2$，得$y=1$，因此$\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}$。
4.佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下：
则12:00时看到的两位数是 （）
A.16
B.25
C.34
D.52
则12:00时看到的两位数是 （）
A.16
B.25
C.34
D.52
答案
A
解析
设12:00看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y。
1. 根据12:00看到的数的数字和为7，得方程：$x + y = 7$
2. 13:00看到的颠倒后的两位数为$10y+x$，14:00看到的中间多0的三位数为$100x+y$。
3. 车匀速行驶，12:00-13:00和13:00-14:00这1小时内行驶的路程相等，因此：
$(10y+x)-(10x+y)=(100x+y)-(10y+x)$
化简得：$y=6x$
4. 把$y=6x$代入$x+y=7$，解得$x=1$，$y=6$，因此12:00看到的两位数是16。
1. 根据12:00看到的数的数字和为7，得方程：$x + y = 7$
2. 13:00看到的颠倒后的两位数为$10y+x$，14:00看到的中间多0的三位数为$100x+y$。
3. 车匀速行驶，12:00-13:00和13:00-14:00这1小时内行驶的路程相等，因此：
$(10y+x)-(10x+y)=(100x+y)-(10y+x)$
化简得：$y=6x$
4. 把$y=6x$代入$x+y=7$，解得$x=1$，$y=6$，因此12:00看到的两位数是16。
5. 方程$mx+ny=10$有两组解$\begin{cases}x=-1, \\ y=2\end{cases}$和$\begin{cases}x=2, \\ y=-1,\end{cases}$则$2m - n^2=$ ______ 。
答案
$-80$
解析
将两组解分别代入方程$mx+ny=10$，得到关于$m$、$n$的二元一次方程组：
$\begin{cases}-m + 2n = 10 \\2m -n =10 \end{cases}$
将第二个方程两边同时乘2，得$4m-2n=20$，和第一个方程相加，得$3m=30$，解得$m=10$。
把$m=10$代入$2m-n=10$，得$20-n=10$，解得$n=10$。
将$m=10$，$n=10$代入$2m -n^2$，计算得$2×10 - 10^2=20-100=-80$。
$\begin{cases}-m + 2n = 10 \\2m -n =10 \end{cases}$
将第二个方程两边同时乘2，得$4m-2n=20$，和第一个方程相加，得$3m=30$，解得$m=10$。
把$m=10$代入$2m-n=10$，得$20-n=10$，解得$n=10$。
将$m=10$，$n=10$代入$2m -n^2$，计算得$2×10 - 10^2=20-100=-80$。
6.已知方程组$\begin{cases}mx+3ny=1, \\ 5x-ny=n-2\end{cases}$与$\begin{cases}3x-y=6, \\ 4x+2y=8\end{cases}$有相同的解，则$m=$ ______ ，$n=$ ______ 。
答案
$\frac{1}{2}$；$12$
解析
因为两个方程组有相同的解，因此这个公共解同时满足不含参数$m$、$n$的方程组$\begin{cases}3x-y=6 \\4x+2y=8\end{cases}$。
1. 解方程组$\begin{cases}3x-y=6 ①\\4x+2y=8 ②\end{cases}$
将①×2 + ②，得：$6x-2y +4x+2y = 12+8$，化简得$10x=20$，解得$x=2$。
把$x=2$代入①，得$3×2 - y =6$，解得$y=0$。
2. 将$\begin{cases}x=2 \\y=0\end{cases}$代入$\begin{cases}mx+3ny=1 \\5x-ny=n-2\end{cases}$，可得新方程组：
$\begin{cases}2m =1 \\10 =n-2\end{cases}$
解得$m=\frac{1}{2}$，$n=12$。
1. 解方程组$\begin{cases}3x-y=6 ①\\4x+2y=8 ②\end{cases}$
将①×2 + ②，得：$6x-2y +4x+2y = 12+8$，化简得$10x=20$，解得$x=2$。
把$x=2$代入①，得$3×2 - y =6$，解得$y=0$。
2. 将$\begin{cases}x=2 \\y=0\end{cases}$代入$\begin{cases}mx+3ny=1 \\5x-ny=n-2\end{cases}$，可得新方程组：
$\begin{cases}2m =1 \\10 =n-2\end{cases}$
解得$m=\frac{1}{2}$，$n=12$。
7.若$\begin{cases}5x - 4y + 4z = 13,\\2x + 7y - 3z = 19,\\3x + 2y - z = 18,\end{cases}$则$5x - y - z - 1$的立方根是________。
答案
3
解析
我们用消元法解该三元一次方程组：
先给三个方程编号：
$\begin{cases}5x - 4y + 4z = 13&①\\2x + 7y - 3z = 19&②\\3x + 2y - z = 18&③\end{cases}$
1. 由方程③变形得：$z = 3x + 2y - 18$ ④
2. 将④代入①消去z：
$5x - 4y + 4(3x + 2y - 18) = 13$
化简得：$17x + 4y = 85$ ⑤
3. 将④代入②消去z：
$2x + 7y - 3(3x + 2y - 18) = 19$
化简得：$-7x + y = -35$ ⑥
4. 由⑥变形得$y=7x-35$，代入⑤：
$17x + 4(7x - 35) = 85$
解得$x=5$
5. 把$x=5$代入$y=7x-35$，得$y=0$
6. 把$x=5,y=0$代入④，得$z=-3$
7. 代入计算$5x - y - z -1 = 5×5 - 0 - (-3) -1 = 27$
8. 27的立方根为3。
先给三个方程编号：
$\begin{cases}5x - 4y + 4z = 13&①\\2x + 7y - 3z = 19&②\\3x + 2y - z = 18&③\end{cases}$
1. 由方程③变形得：$z = 3x + 2y - 18$ ④
2. 将④代入①消去z：
$5x - 4y + 4(3x + 2y - 18) = 13$
化简得：$17x + 4y = 85$ ⑤
3. 将④代入②消去z：
$2x + 7y - 3(3x + 2y - 18) = 19$
化简得：$-7x + y = -35$ ⑥
4. 由⑥变形得$y=7x-35$，代入⑤：
$17x + 4(7x - 35) = 85$
解得$x=5$
5. 把$x=5$代入$y=7x-35$，得$y=0$
6. 把$x=5,y=0$代入④，得$z=-3$
7. 代入计算$5x - y - z -1 = 5×5 - 0 - (-3) -1 = 27$
8. 27的立方根为3。
8.超市中有A,B两种饮料,小洋买了4瓶A种饮料,3瓶B种饮料,一共花了16元,其中B种饮料比A种饮料贵0.2元。若设A种饮料的单价为x元,B种饮料的单价为y元,则可列方程组为$\begin{cases}4x + 3y = 16 \\ y - x = 0.2\end{cases}$。
答案
题目所列的$\begin{cases}4x + 3y = 16 \\ y - x = 0.2\end{cases}$是符合题意的正确方程组。
解析
我们先梳理题干中的两个等量关系：
1. 总花费等量关系：4瓶A种饮料的总费用 + 3瓶B种饮料的总费用 = 总共花费的16元，已知A种饮料单价为x元，B种饮料单价为y元，代入可得方程$4x + 3y = 16$；
2. 单价差等量关系：B种饮料的单价比A种饮料贵0.2元，代入可得方程$y - x = 0.2$。
将两个方程联立得到的方程组，和题目所给的方程组完全一致，该列式完全符合题意。
1. 总花费等量关系：4瓶A种饮料的总费用 + 3瓶B种饮料的总费用 = 总共花费的16元，已知A种饮料单价为x元，B种饮料单价为y元，代入可得方程$4x + 3y = 16$；
2. 单价差等量关系：B种饮料的单价比A种饮料贵0.2元，代入可得方程$y - x = 0.2$。
将两个方程联立得到的方程组，和题目所给的方程组完全一致，该列式完全符合题意。
9.对于$X,Y$定义一种新运算“$*$”：$X*Y=aX+bY$，其中$a,b$为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算。已知：$3*5=15,4*7=28$，那么$1*2=\_\_\_\_\_\_$。
答案
13
解析
首先根据新运算“*”的定义$X*Y=aX+bY$，将已知条件$3*5=15$、$4*7=28$代入，得到关于常数$a,b$的二元一次方程组：
$\begin{cases}3a + 5b = 15 \\4a + 7b = 28\end{cases}$
使用消元法解方程组：
1. 将第一个方程两边同乘4，得$12a + 20b = 60$
2. 将第二个方程两边同乘3，得$12a + 21b = 84$
3. 用第二步得到的式子减去第一步得到的式子，可得$b=24$
4. 把$b=24$代入$3a+5b=15$，解得$a=-35$
最后计算$1*2$：$1*2 = a×1 + b×2 = -35 + 2×24 = 13$
$\begin{cases}3a + 5b = 15 \\4a + 7b = 28\end{cases}$
使用消元法解方程组：
1. 将第一个方程两边同乘4，得$12a + 20b = 60$
2. 将第二个方程两边同乘3，得$12a + 21b = 84$
3. 用第二步得到的式子减去第一步得到的式子，可得$b=24$
4. 把$b=24$代入$3a+5b=15$，解得$a=-35$
最后计算$1*2$：$1*2 = a×1 + b×2 = -35 + 2×24 = 13$
10.如图,矩形ABCD中放置了9个形状、大小都相同的小矩形,相关数据如图所示,则图中阴影部分的面积为。
答案
$\boldsymbol{18}$
解析
设小矩形的长为$ x $，宽为$ y $，根据图形中的等量关系列方程组：
1. 水平方向大矩形总长为9：$ x + 4y = 9 $
2. 标注的竖直方向长度为4：$ x - y = 4 $
解二元一次方程组：
将两个方程相减，得$ 5y = 5 $，解得$ y=1 $，
把$ y=1 $代入$ x - y = 4 $，得$ x=5 $。
由此可得大矩形$ ABCD $的高为$ 3y + 4 = 3×1 + 4 =7 $，大矩形面积为$ 9×7=63 $。
9个小矩形的总面积为$ 9× x × y =9×5×1=45 $。
因此阴影部分的面积为大矩形面积减去9个小矩形的总面积：$ 63 - 45 =18 $。
1. 水平方向大矩形总长为9：$ x + 4y = 9 $
2. 标注的竖直方向长度为4：$ x - y = 4 $
解二元一次方程组：
将两个方程相减，得$ 5y = 5 $，解得$ y=1 $，
把$ y=1 $代入$ x - y = 4 $，得$ x=5 $。
由此可得大矩形$ ABCD $的高为$ 3y + 4 = 3×1 + 4 =7 $，大矩形面积为$ 9×7=63 $。
9个小矩形的总面积为$ 9× x × y =9×5×1=45 $。
因此阴影部分的面积为大矩形面积减去9个小矩形的总面积：$ 63 - 45 =18 $。
