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1. [2025·广州中考]下列四个选项中,是负无理数的是 (
A.$-\sqrt{2}$
B.$-1$
C.$0$
D.$3$
A
)A.$-\sqrt{2}$
B.$-1$
C.$0$
D.$3$
答案
1.A
解析
【分析】
要判断哪个选项是负无理数，首先需明确负无理数的两个判断标准：①是小于0的负数；②是无限不循环的无理数。解题时可先排除非负数的选项，再判断剩余选项是否为无理数，最终选出符合要求的答案。
【解析】
首先明确相关概念：有理数是整数和分数的统称，包括有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等；负无理数需要同时满足是负数、是无理数两个条件。
对各选项逐一分析：
选项A：$-\sqrt{2}＜0$，属于负数，且$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，是无理数，因此$-\sqrt{2}$是负无理数，符合题意；
选项B：$-1$是负整数，属于有理数，不符合题意；
选项C：$0$既不是正数也不是负数，属于有理数，不符合题意；
选项D：$3$是正整数，属于有理数，不符合题意。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的识别；实数的分类；负数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是牢记负无理数的两个判定条件，注意区分有理数和无理数的常见类型，避免混淆概念即可正确作答。
【难度系数】
0.9
要判断哪个选项是负无理数，首先需明确负无理数的两个判断标准：①是小于0的负数；②是无限不循环的无理数。解题时可先排除非负数的选项，再判断剩余选项是否为无理数，最终选出符合要求的答案。
【解析】
首先明确相关概念：有理数是整数和分数的统称，包括有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等；负无理数需要同时满足是负数、是无理数两个条件。
对各选项逐一分析：
选项A：$-\sqrt{2}＜0$，属于负数，且$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，是无理数，因此$-\sqrt{2}$是负无理数，符合题意；
选项B：$-1$是负整数，属于有理数，不符合题意；
选项C：$0$既不是正数也不是负数，属于有理数，不符合题意；
选项D：$3$是正整数，属于有理数，不符合题意。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的识别；实数的分类；负数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是牢记负无理数的两个判定条件，注意区分有理数和无理数的常见类型，避免混淆概念即可正确作答。
【难度系数】
0.9
2. 如图,面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上,且表示的数为-1.若点E在数轴上(点E在点A的右侧),且AB=AE,则点E表示的数为
（
）
A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$\sqrt{5}+1$
D.$\sqrt{5}+2$
（
）A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$\sqrt{5}+1$
D.$\sqrt{5}+2$
答案
2.B
解析
【分析】解题思路分三步：第一步，根据正方形面积公式求出边长AB的长度；第二步，利用AB=AE的条件得到线段AE的长度；第三步，结合点A在数轴上的示数，以及点E在点A右侧的位置关系，计算点E对应的数。正方形面积等于边长的平方，已知面积可求边长，数轴上右侧点的数值等于左侧点的数值加上两点间的距离，按这个逻辑逐步推导即可。
【解析】
1. 求正方形边长：正方形ABCD的面积为5，根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}^2$，可得边长$AB=\sqrt{5}$。
2. 确定AE长度：由题设条件$AB=AE$，因此$AE=\sqrt{5}$。
3. 计算点E的示数：已知点A表示的数为-1，点E在点A右侧，数轴上向右移动对应数值相加，因此点E表示的数为$-1+\sqrt{5}=\sqrt{5}-1$。
【答案】B
【知识点】算术平方根的应用，数轴上的点与实数，正方形面积计算
【点评】本题是典型的数形结合基础题，将几何图形的边长计算和数轴上点的位置关系结合，解题核心是先求出正方形边长，再结合数轴的性质计算对应点的数值。
【难度系数】0.8
【解析】
1. 求正方形边长：正方形ABCD的面积为5，根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}^2$，可得边长$AB=\sqrt{5}$。
2. 确定AE长度：由题设条件$AB=AE$，因此$AE=\sqrt{5}$。
3. 计算点E的示数：已知点A表示的数为-1，点E在点A右侧，数轴上向右移动对应数值相加，因此点E表示的数为$-1+\sqrt{5}=\sqrt{5}-1$。
【答案】B
【知识点】算术平方根的应用，数轴上的点与实数，正方形面积计算
【点评】本题是典型的数形结合基础题，将几何图形的边长计算和数轴上点的位置关系结合，解题核心是先求出正方形边长，再结合数轴的性质计算对应点的数值。
【难度系数】0.8
3. 下列说法正确的是 （
A.除不尽的分数都是无理数
B.无限小数都是无理数
C.有根号的数都是无理数
D.无限不循环小数都是无理数
D
）A.除不尽的分数都是无理数
B.无限小数都是无理数
C.有根号的数都是无理数
D.无限不循环小数都是无理数
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查无理数的概念辨析，解题思路如下：首先明确无理数的核心判定标准是“无限不循环小数”，其次回忆有理数的定义（整数和分数统称有理数，分数可化为有限小数或无限循环小数），最后逐个分析选项，通过举反例排除错误选项，即可得出正确答案。
【解析】
首先明确概念：无限不循环小数叫做无理数；整数和分数统称有理数，有理数都可以化为有限小数或无限循环小数。
对各选项逐一分析：
A. 分数属于有理数，即使除不尽得到的也是无限循环小数，例如$\frac{1}{3}=0.\dot{3}$，是有理数，因此A错误；
B. 无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数属于有理数，因此无限小数不都是无理数，B错误；
C. 带根号的数如果能开得尽方，就属于有理数，例如$\sqrt{4}=2$，是有理数，因此有根号的数不都是无理数，C错误；
D. “无限不循环小数都是无理数”是无理数的定义，表述正确。
【答案】
D
【知识点】
无理数的定义、有理数的定义、实数的分类
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是掌握无理数的本质特征，要注意规避“带根号的数都是无理数”“无限小数都是无理数”这类常见的概念误区，牢记典型反例即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查无理数的概念辨析，解题思路如下：首先明确无理数的核心判定标准是“无限不循环小数”，其次回忆有理数的定义（整数和分数统称有理数，分数可化为有限小数或无限循环小数），最后逐个分析选项，通过举反例排除错误选项，即可得出正确答案。
【解析】
首先明确概念：无限不循环小数叫做无理数；整数和分数统称有理数，有理数都可以化为有限小数或无限循环小数。
对各选项逐一分析：
A. 分数属于有理数，即使除不尽得到的也是无限循环小数，例如$\frac{1}{3}=0.\dot{3}$，是有理数，因此A错误；
B. 无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数属于有理数，因此无限小数不都是无理数，B错误；
C. 带根号的数如果能开得尽方，就属于有理数，例如$\sqrt{4}=2$，是有理数，因此有根号的数不都是无理数，C错误；
D. “无限不循环小数都是无理数”是无理数的定义，表述正确。
【答案】
D
【知识点】
无理数的定义、有理数的定义、实数的分类
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是掌握无理数的本质特征，要注意规避“带根号的数都是无理数”“无限小数都是无理数”这类常见的概念误区，牢记典型反例即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. [2025·广安中考]公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数$\sqrt{2}$.他的发现在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上“第一次数学危机”.请估计$\sqrt{2}$的值在 （
A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
A
）A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
答案
4.A
解析
【分析】
要估计$\sqrt{2}$的取值范围，我们可以用平方法：先找到和被开方数2相邻的两个正整数的完全平方数，再根据算术平方根的性质，对三个数同时开算术平方根，就能推导得到$\sqrt{2}$的大小范围。
【解析】
首先计算相邻正整数的平方：
$1^2=1$，$2^2=4$
因为$1＜2＜4$，根据算术平方根的性质：当$a＞0,b＞0$时，若$a＜b$，则$\sqrt{a}＜\sqrt{b}$，可得：
$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$
化简后为$1＜\sqrt{2}＜2$
因此$\sqrt{2}$的值在1和2之间。
【答案】
A
【知识点】
1. 无理数大小估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是无理数相关的基础常考题，解题核心是用平方法找到和被开方数相邻的两个完全平方数，再结合算术平方根的性质判断范围，该方法通用性强，掌握后可快速解决同类估算问题。
【难度系数】
0.9
要估计$\sqrt{2}$的取值范围，我们可以用平方法：先找到和被开方数2相邻的两个正整数的完全平方数，再根据算术平方根的性质，对三个数同时开算术平方根，就能推导得到$\sqrt{2}$的大小范围。
【解析】
首先计算相邻正整数的平方：
$1^2=1$，$2^2=4$
因为$1＜2＜4$，根据算术平方根的性质：当$a＞0,b＞0$时，若$a＜b$，则$\sqrt{a}＜\sqrt{b}$，可得：
$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$
化简后为$1＜\sqrt{2}＜2$
因此$\sqrt{2}$的值在1和2之间。
【答案】
A
【知识点】
1. 无理数大小估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是无理数相关的基础常考题，解题核心是用平方法找到和被开方数相邻的两个完全平方数，再结合算术平方根的性质判断范围，该方法通用性强，掌握后可快速解决同类估算问题。
【难度系数】
0.9
5. 将实数$0,-π,-2,-3$按从小到大的顺序排列是________.(用“＜”连接)
答案
5.$-π＜-3＜-2＜0$
解析
【分析】
要比较这几个实数的大小，首先明确实数比较大小的基本规则：正数大于0，0大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。首先可以确定0是四个数中最大的，再处理三个负数：先回忆π的近似值约为3.14，分别计算三个负数的绝对值，再根据负数比较大小的规则判断三个负数的大小，最后按从小到大排列即可。
【解析】
解：①根据“0大于所有负数”，可知0是四个数中最大的，排在最后；
②计算三个负数的绝对值：$\vert -π\vert=π\approx3.14$，$\vert -3\vert=3$，$\vert -2\vert=2$；
③根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，因为$3.14＞3＞2$，所以$-π ＜ -3 ＜ -2$；
④综合可得从小到大的顺序为：$-π ＜ -3 ＜ -2 ＜ 0$。
【答案】
$-π＜-3＜-2＜0$
【知识点】
实数大小比较；负数比较法则；无理数估算
【点评】
本题考查实数大小比较的基础应用，解题的核心是熟练掌握负数比较大小的规则，同时熟记π的近似值，是对基础概念和基本运算规则的考查。
【难度系数】
0.9
要比较这几个实数的大小，首先明确实数比较大小的基本规则：正数大于0，0大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。首先可以确定0是四个数中最大的，再处理三个负数：先回忆π的近似值约为3.14，分别计算三个负数的绝对值，再根据负数比较大小的规则判断三个负数的大小，最后按从小到大排列即可。
【解析】
解：①根据“0大于所有负数”，可知0是四个数中最大的，排在最后；
②计算三个负数的绝对值：$\vert -π\vert=π\approx3.14$，$\vert -3\vert=3$，$\vert -2\vert=2$；
③根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，因为$3.14＞3＞2$，所以$-π ＜ -3 ＜ -2$；
④综合可得从小到大的顺序为：$-π ＜ -3 ＜ -2 ＜ 0$。
【答案】
$-π＜-3＜-2＜0$
【知识点】
实数大小比较；负数比较法则；无理数估算
【点评】
本题考查实数大小比较的基础应用，解题的核心是熟练掌握负数比较大小的规则，同时熟记π的近似值，是对基础概念和基本运算规则的考查。
【难度系数】
0.9
6. 对于任意不相等的两个实数$a$，$b$，定义运算：$a※b=\sqrt{a+b}-|a-b|$，则$16※20=$
2
.答案
6.2
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题思路如下：第一步先准确理解新运算“※”的运算规则，明确$a※b$的计算方法是先算$a$与$b$的和的算术平方根，再减去$a$与$b$差的绝对值；第二步确定本题中对应$a、b$的取值，$a=16$，$b=20$，将数值代入运算式；第三步分别计算算术平方根和绝对值部分，再做减法得到结果，计算时要注意绝对值的化简规则：负数的绝对值是它的相反数。
【解析】
根据新定义的运算规则$a※b=\sqrt{a+b}-|a-b|$，将$a=16$，$b=20$代入得：
$\begin{aligned}16※20&=\sqrt{16+20}-|16-20|\\&=\sqrt{36}-|-4|\\&=6-4\\&=2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
新定义运算、二次根式化简、绝对值运算
【点评】
本题考查对新运算规则的理解和基础运算能力，只要准确代入数值，按照算术平方根、绝对值的运算法则逐步计算即可，需注意不要搞反$a、b$的对应取值。
【难度系数】
0.9
这是一道新定义运算类题目，解题思路如下：第一步先准确理解新运算“※”的运算规则，明确$a※b$的计算方法是先算$a$与$b$的和的算术平方根，再减去$a$与$b$差的绝对值；第二步确定本题中对应$a、b$的取值，$a=16$，$b=20$，将数值代入运算式；第三步分别计算算术平方根和绝对值部分，再做减法得到结果，计算时要注意绝对值的化简规则：负数的绝对值是它的相反数。
【解析】
根据新定义的运算规则$a※b=\sqrt{a+b}-|a-b|$，将$a=16$，$b=20$代入得：
$\begin{aligned}16※20&=\sqrt{16+20}-|16-20|\\&=\sqrt{36}-|-4|\\&=6-4\\&=2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
新定义运算、二次根式化简、绝对值运算
【点评】
本题考查对新运算规则的理解和基础运算能力，只要准确代入数值，按照算术平方根、绝对值的运算法则逐步计算即可，需注意不要搞反$a、b$的对应取值。
【难度系数】
0.9
7. 把下列各数分别填在相应的括号内：
$-3.14,-100.01,12.\dot{1}\dot{3},-\dfrac{π}{2},π,2.020\,020\,002,5.050\,050\,005···$（每相邻两个5之间0的个数逐次加1）.
(1)无理数：$\{\underline{\hspace{15cm}}\}$；
(2)正有理数：$\{\underline{\hspace{15cm}}\}$；
(3)负实数：$\{\underline{\hspace{15cm}}\}$.
$-3.14,-100.01,12.\dot{1}\dot{3},-\dfrac{π}{2},π,2.020\,020\,002,5.050\,050\,005···$（每相邻两个5之间0的个数逐次加1）.
(1)无理数：$\{\underline{\hspace{15cm}}\}$；
(2)正有理数：$\{\underline{\hspace{15cm}}\}$；
(3)负实数：$\{\underline{\hspace{15cm}}\}$.
答案
7. (1)$-\frac{π}{2},π,5.050\ 050\ 005···$(每相邻两个5之间0的个数逐次加1)
(2)$12.\dot{1}\dot{3},2.020\ 020\ 002$
(3)$-3.14,-100.01,-\frac{π}{2}$
(2)$12.\dot{1}\dot{3},2.020\ 020\ 002$
(3)$-3.14,-100.01,-\frac{π}{2}$
解析
【分析】
要解决这类实数分类题，首先得明确三类数的核心定义：①无理数是无限不循环小数，初中常见的有含π的数、有规律但不循环的无限小数两类；②正有理数是大于0的有理数，有理数包含整数、分数，所有有限小数、无限循环小数都属于有理数；③负实数是所有小于0的实数，包含负有理数和负无理数。接下来我们逐一判断给出的每个数的属性，再对应填入对应的集合即可，注意不要重复也不要遗漏。
【解析】
我们逐个分析各数的属性：
1. $-3.14$：是负的有限小数，属于负有理数，也是负实数；
2. $-100.01$：是负的有限小数，属于负有理数，也是负实数；
3. $12.\dot{1}\dot{3}$：是正的无限循环小数，属于有理数，也是正有理数；
4. $-\dfrac{π}{2}$：$π$是无理数，因此$-\dfrac{π}{2}$是负的无理数，属于无理数，也是负实数；
5. $π$：是正的无限不循环小数，属于无理数；
6. $2.020\,020\,002$：是正的有限小数，属于有理数，也是正有理数；
7. $5.050\,050\,005···$（每相邻两个5之间0的个数逐次加1）：是无限不循环小数，属于无理数。
按照要求分类填入即可。
【答案】
(1)$-\dfrac{π}{2},π,5.050\ 050\ 005···$(每相邻两个5之间0的个数逐次加1)
(2)$12.\dot{1}\dot{3},2.020\ 020\ 002$
(3)$-3.14,-100.01,-\dfrac{π}{2}$
【知识点】
无理数的识别，实数的分类，有理数的概念
【点评】
本题重点考查实数的分类标准，解题的核心是准确区分有理数和无理数的差异，尤其要注意：不带省略号的小数都是有限小数，属于有理数；带省略号且没有循环节、不循环的才是无理数；含$π$的数（除特殊构造消去$π$的情况外）都是无理数，避免混淆概念导致分类错误。
【难度系数】
0.8
要解决这类实数分类题，首先得明确三类数的核心定义：①无理数是无限不循环小数，初中常见的有含π的数、有规律但不循环的无限小数两类；②正有理数是大于0的有理数，有理数包含整数、分数，所有有限小数、无限循环小数都属于有理数；③负实数是所有小于0的实数，包含负有理数和负无理数。接下来我们逐一判断给出的每个数的属性，再对应填入对应的集合即可，注意不要重复也不要遗漏。
【解析】
我们逐个分析各数的属性：
1. $-3.14$：是负的有限小数，属于负有理数，也是负实数；
2. $-100.01$：是负的有限小数，属于负有理数，也是负实数；
3. $12.\dot{1}\dot{3}$：是正的无限循环小数，属于有理数，也是正有理数；
4. $-\dfrac{π}{2}$：$π$是无理数，因此$-\dfrac{π}{2}$是负的无理数，属于无理数，也是负实数；
5. $π$：是正的无限不循环小数，属于无理数；
6. $2.020\,020\,002$：是正的有限小数，属于有理数，也是正有理数；
7. $5.050\,050\,005···$（每相邻两个5之间0的个数逐次加1）：是无限不循环小数，属于无理数。
按照要求分类填入即可。
【答案】
(1)$-\dfrac{π}{2},π,5.050\ 050\ 005···$(每相邻两个5之间0的个数逐次加1)
(2)$12.\dot{1}\dot{3},2.020\ 020\ 002$
(3)$-3.14,-100.01,-\dfrac{π}{2}$
【知识点】
无理数的识别，实数的分类，有理数的概念
【点评】
本题重点考查实数的分类标准，解题的核心是准确区分有理数和无理数的差异，尤其要注意：不带省略号的小数都是有限小数，属于有理数；带省略号且没有循环节、不循环的才是无理数；含$π$的数（除特殊构造消去$π$的情况外）都是无理数，避免混淆概念导致分类错误。
【难度系数】
0.8
