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1.下列实数是无理数的是 （
A.$\frac{2}{3}$
B.$3.14$
C.$\sqrt{15}$
D.$\sqrt[3]{64}$
C
）A.$\frac{2}{3}$
B.$3.14$
C.$\sqrt{15}$
D.$\sqrt[3]{64}$
答案
1.C
解析
【分析】
解题前首先要明确有理数和无理数的定义：有理数是整数和分数的统称，包括有限小数、无限循环小数，所有有理数都可以写成分数形式；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含$π$的数等。解题时只需逐个判断每个选项所属类别，就能选出符合要求的答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. $\frac{2}{3}$是分数，属于有理数，不符合题意；
B. $3.14$是有限小数，可转化为分数形式，属于有理数，不符合题意；
C. $\sqrt{15}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合题意；
D. $\sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{4^3}=4$，4是整数，属于有理数，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
无理数的识别，实数的分类，立方根的计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查无理数的判断，只要牢记常见无理数的类型，就可以快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题前首先要明确有理数和无理数的定义：有理数是整数和分数的统称，包括有限小数、无限循环小数，所有有理数都可以写成分数形式；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含$π$的数等。解题时只需逐个判断每个选项所属类别，就能选出符合要求的答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. $\frac{2}{3}$是分数，属于有理数，不符合题意；
B. $3.14$是有限小数，可转化为分数形式，属于有理数，不符合题意；
C. $\sqrt{15}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合题意；
D. $\sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{4^3}=4$，4是整数，属于有理数，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
无理数的识别，实数的分类，立方根的计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查无理数的判断，只要牢记常见无理数的类型，就可以快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2. $\sqrt{10}$的相反数是 （
A.$-\sqrt{10}$
B.$\sqrt{10}$
C.$-10$
D.$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
A
）A.$-\sqrt{10}$
B.$\sqrt{10}$
C.$-10$
D.$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，求一个数的相反数，只需在这个数的前面添加负号即可。我们按照这个规则求出√10的相反数，再匹配对应选项就能得到答案。
【解析】
根据相反数的定义，任意实数a的相反数为-a，因此√10的相反数是-√10，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
相反数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对相反数概念的掌握，牢记相关定义就能快速得分，是各类考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，求一个数的相反数，只需在这个数的前面添加负号即可。我们按照这个规则求出√10的相反数，再匹配对应选项就能得到答案。
【解析】
根据相反数的定义，任意实数a的相反数为-a，因此√10的相反数是-√10，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
相反数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对相反数概念的掌握，牢记相关定义就能快速得分，是各类考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.9
3.下列计算正确的是 （
A.$\sqrt{(-1)^2}=-1$
B.$\sqrt{0.25}=\pm0.5$
C.$\sqrt{3^2}=9$
D.$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{8}}=-\dfrac{1}{2}$
D
）A.$\sqrt{(-1)^2}=-1$
B.$\sqrt{0.25}=\pm0.5$
C.$\sqrt{3^2}=9$
D.$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{8}}=-\dfrac{1}{2}$
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查算术平方根和立方根的运算规则，解题思路如下：首先明确核心概念：算术平方根是指一个非负数的非负平方根，因此算术平方根的运算结果一定是非负数；立方根的符号与被开方数的符号保持一致，负数的立方根为负数，正数的立方根为正数。接下来只需逐个计算每个选项的运算结果，和选项给出的结果对比，即可选出正确答案。
【解析】
我们依次计算每个选项：
A选项：先计算被开方数$(-1)^2=1$，因此$\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1≠-1$，A错误；
B选项：$\sqrt{0.25}$是求0.25的算术平方根，结果只能是正数0.5，$\pm0.5$是0.25的平方根，不符合算术平方根的定义，B错误；
C选项：先计算被开方数$3^2=9$，因此$\sqrt{3^2}=\sqrt{9}=3≠9$，C错误；
D选项：根据立方根的性质，因为$(-\frac{1}{2})^3=-\frac{1}{8}$，所以$\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}=-\frac{1}{2}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.算术平方根的性质 2.立方根的性质
【点评】
本题属于基础运算题，核心易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，做题时要牢记算术平方根的非负性，同时掌握立方根的符号规律，就能快速判断出正确选项。
【难度系数】
0.8
本题考查算术平方根和立方根的运算规则，解题思路如下：首先明确核心概念：算术平方根是指一个非负数的非负平方根，因此算术平方根的运算结果一定是非负数；立方根的符号与被开方数的符号保持一致，负数的立方根为负数，正数的立方根为正数。接下来只需逐个计算每个选项的运算结果，和选项给出的结果对比，即可选出正确答案。
【解析】
我们依次计算每个选项：
A选项：先计算被开方数$(-1)^2=1$，因此$\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1≠-1$，A错误；
B选项：$\sqrt{0.25}$是求0.25的算术平方根，结果只能是正数0.5，$\pm0.5$是0.25的平方根，不符合算术平方根的定义，B错误；
C选项：先计算被开方数$3^2=9$，因此$\sqrt{3^2}=\sqrt{9}=3≠9$，C错误；
D选项：根据立方根的性质，因为$(-\frac{1}{2})^3=-\frac{1}{8}$，所以$\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}=-\frac{1}{2}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.算术平方根的性质 2.立方根的性质
【点评】
本题属于基础运算题，核心易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，做题时要牢记算术平方根的非负性，同时掌握立方根的符号规律，就能快速判断出正确选项。
【难度系数】
0.8
4.若$m$是$\sqrt{16}$的算术平方根，则$m$的值为
2
。答案
4.2
解析
【分析】
解题时需分两步思考：第一步先计算出$\sqrt{16}$的具体数值，第二步再求该数值的算术平方根即可得到$m$的值。注意不要直接将$\sqrt{16}$等同于16来求算术平方根，避免得出错误结果。
【解析】
1. 先化简$\sqrt{16}$：
因为$4^2=16$，所以$\sqrt{16}=4$。
2. 求4的算术平方根：
根据算术平方根的定义，一个非负数的正的平方根叫做它的算术平方根。因为$2^2=4$，且2是正数，所以4的算术平方根是2，即$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
算术平方根的定义，二次根式化简
【点评】
本题属于易错题，易错点是未先计算$\sqrt{16}$的结果，直接求16的算术平方根得到错误答案4。解题时要认真审题，明确所求算术平方根的对应底数，牢记算术平方根为非负数的性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.6
解题时需分两步思考：第一步先计算出$\sqrt{16}$的具体数值，第二步再求该数值的算术平方根即可得到$m$的值。注意不要直接将$\sqrt{16}$等同于16来求算术平方根，避免得出错误结果。
【解析】
1. 先化简$\sqrt{16}$：
因为$4^2=16$，所以$\sqrt{16}=4$。
2. 求4的算术平方根：
根据算术平方根的定义，一个非负数的正的平方根叫做它的算术平方根。因为$2^2=4$，且2是正数，所以4的算术平方根是2，即$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
算术平方根的定义，二次根式化简
【点评】
本题属于易错题，易错点是未先计算$\sqrt{16}$的结果，直接求16的算术平方根得到错误答案4。解题时要认真审题，明确所求算术平方根的对应底数，牢记算术平方根为非负数的性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.6
5.黎平香禾糯是贵州省黎平县特产，也是中国国家地理标志产品.它具有米粒大、色泽洁白、糯性强、口感好、香味特浓等特点.小明家用这种糯米制作了一块体积为1000 cm³的正方体糕粑，他决定将该糕粑切成27块同样大小的小糕粑，则每块小糕粑的棱长为
$\dfrac{10}{3}$
cm.答案
5.$\dfrac{10}{3}$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：①先明确正方体体积和棱长的关系为“正方体体积=棱长的立方”；②可以先算出大正方体的棱长，再结合“分成27块相同小正方体”的条件，推导大正方体每条棱被平均分成的份数，进而求出小糕粑的棱长；也可以先算出每块小糕粑的体积，再通过求立方根得到小糕粑的棱长。
【解析】
方法1：
1. 求大正方体糕粑的棱长
设大正方体的棱长为$A$ cm，根据正方体体积公式得：
$A^3=1000$
开立方得$A=\sqrt[3]{1000}=10$ cm。
2. 分析分割规律求小棱长
要得到27块完全相同的小正方体，因为$3^3=27$，说明大正方体的长、宽、高各被平均分成3份，因此每块小糕粑的棱长为：
$10÷3=\frac{10}{3}$ cm。
方法2：
1. 求每块小糕粑的体积
大糕粑体积为1000 cm³，切成27块相同的小糕粑，因此每块小糕粑的体积为：
$V=\frac{1000}{27}$ cm³。
2. 求小糕粑的棱长
设小糕粑棱长为$a$ cm，根据正方体体积公式得：
$a^3=\frac{1000}{27}$
开立方得$a=\sqrt[3]{\frac{1000}{27}}=\frac{10}{3}$ cm。
【答案】
$\dfrac{10}{3}$
【知识点】
正方体体积计算，立方根运算，立体图形等分
【点评】
本题结合生活场景考查几何与实数的基础应用，解题核心是掌握正方体体积和棱长的关系，理解$n^3$等分正方体时每条棱被分为$n$等份的规律，属于基础应用题，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：①先明确正方体体积和棱长的关系为“正方体体积=棱长的立方”；②可以先算出大正方体的棱长，再结合“分成27块相同小正方体”的条件，推导大正方体每条棱被平均分成的份数，进而求出小糕粑的棱长；也可以先算出每块小糕粑的体积，再通过求立方根得到小糕粑的棱长。
【解析】
方法1：
1. 求大正方体糕粑的棱长
设大正方体的棱长为$A$ cm，根据正方体体积公式得：
$A^3=1000$
开立方得$A=\sqrt[3]{1000}=10$ cm。
2. 分析分割规律求小棱长
要得到27块完全相同的小正方体，因为$3^3=27$，说明大正方体的长、宽、高各被平均分成3份，因此每块小糕粑的棱长为：
$10÷3=\frac{10}{3}$ cm。
方法2：
1. 求每块小糕粑的体积
大糕粑体积为1000 cm³，切成27块相同的小糕粑，因此每块小糕粑的体积为：
$V=\frac{1000}{27}$ cm³。
2. 求小糕粑的棱长
设小糕粑棱长为$a$ cm，根据正方体体积公式得：
$a^3=\frac{1000}{27}$
开立方得$a=\sqrt[3]{\frac{1000}{27}}=\frac{10}{3}$ cm。
【答案】
$\dfrac{10}{3}$
【知识点】
正方体体积计算，立方根运算，立体图形等分
【点评】
本题结合生活场景考查几何与实数的基础应用，解题核心是掌握正方体体积和棱长的关系，理解$n^3$等分正方体时每条棱被分为$n$等份的规律，属于基础应用题，计算量小。
【难度系数】
0.8
6.写出一个比$\sqrt{11}$大且比4小的无理数：
$\sqrt{13}$（答案不唯一）
.答案
6.$\sqrt{13}$（答案不唯一）
解析
【分析】
解题时先明确两个要求：一是所求的数是无理数，二是数的大小介于√11和4之间。首先把整数4转化为算术平方根的形式，方便和√11做比较，4的平方是16，因此4=√16，此时问题就转化为找比√11大、比√16小的无理数。根据算术平方根的性质，被开方数越大，对应的算术平方根越大，所以只要找被开方数在11到16之间，且开方开不尽的数，就能得到符合要求的无理数。
【解析】
1. 先将4改写为算术平方根形式：
因为4²=16，所以4=√16。
2. 确定所求数的范围：
设所求无理数为x，则x需要满足√11 ＜ x ＜ √16。
3. 选取符合要求的数：
根据算术平方根和被开方数的大小关系，只要被开方数a满足11 ＜ a ＜ 16，且a不是完全平方数，√a就是符合要求的无理数。例如取a=13，13在11和16之间，且13不是完全平方数，因此√13满足条件。（选取a=12、14、15时，对应的√12、√14、√15也都符合要求）
【答案】
√13（答案不唯一）
【知识点】
无理数的定义；实数大小比较；算术平方根的性质
【点评】
本题为开放性题目，答案不唯一，核心考查对无理数概念的理解和实数大小比较方法的运用，解题的关键是将整数转化为对应的算术平方根形式，简化大小比较的过程。
【难度系数】
0.8
解题时先明确两个要求：一是所求的数是无理数，二是数的大小介于√11和4之间。首先把整数4转化为算术平方根的形式，方便和√11做比较，4的平方是16，因此4=√16，此时问题就转化为找比√11大、比√16小的无理数。根据算术平方根的性质，被开方数越大，对应的算术平方根越大，所以只要找被开方数在11到16之间，且开方开不尽的数，就能得到符合要求的无理数。
【解析】
1. 先将4改写为算术平方根形式：
因为4²=16，所以4=√16。
2. 确定所求数的范围：
设所求无理数为x，则x需要满足√11 ＜ x ＜ √16。
3. 选取符合要求的数：
根据算术平方根和被开方数的大小关系，只要被开方数a满足11 ＜ a ＜ 16，且a不是完全平方数，√a就是符合要求的无理数。例如取a=13，13在11和16之间，且13不是完全平方数，因此√13满足条件。（选取a=12、14、15时，对应的√12、√14、√15也都符合要求）
【答案】
√13（答案不唯一）
【知识点】
无理数的定义；实数大小比较；算术平方根的性质
【点评】
本题为开放性题目，答案不唯一，核心考查对无理数概念的理解和实数大小比较方法的运用，解题的关键是将整数转化为对应的算术平方根形式，简化大小比较的过程。
【难度系数】
0.8
7.计算：
(1)$2\sqrt{6}+3\sqrt{6}$；
(2)$2\sqrt{3}-(3\sqrt{2}+\sqrt{3})$；
(3)$|\sqrt{2}-\sqrt{5}|-2\sqrt{5}$；
(4)$\sqrt[3]{27}+\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+1)$。
月日 星期 天气
(1)$2\sqrt{6}+3\sqrt{6}$；
(2)$2\sqrt{3}-(3\sqrt{2}+\sqrt{3})$；
(3)$|\sqrt{2}-\sqrt{5}|-2\sqrt{5}$；
(4)$\sqrt[3]{27}+\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+1)$。
月日 星期 天气
答案
7.解:(1)原式$=(2+3)\sqrt{6}$
$=5\sqrt{6}$；
(2)原式$=2\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{3}$
$=\sqrt{3}-3\sqrt{2}$；
(3)原式$=\sqrt{5}-\sqrt{2}-2\sqrt{5}$
$=-\sqrt{5}-\sqrt{2}$；
(4)原式$=3+\sqrt{2}× \dfrac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}$
$=3+1+\sqrt{2}$
$=4+\sqrt{2}$.
$=5\sqrt{6}$；
(2)原式$=2\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{3}$
$=\sqrt{3}-3\sqrt{2}$；
(3)原式$=\sqrt{5}-\sqrt{2}-2\sqrt{5}$
$=-\sqrt{5}-\sqrt{2}$；
(4)原式$=3+\sqrt{2}× \dfrac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}$
$=3+1+\sqrt{2}$
$=4+\sqrt{2}$.
解析
【分析】
这是一组二次根式的基础运算题，解题思路如下：
(1) 两个二次根式是同类二次根式，直接合并同类二次根式，把系数相加，根号部分不变即可；
(2) 先根据去括号法则去掉括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号，再合并同类二次根式；
(3) 先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，因为$\sqrt{5}＞\sqrt{2}$，所以$|\sqrt{2}-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-\sqrt{2}$，再合并同类二次根式；
(4) 先计算立方根，再用乘法分配律计算二次根式的乘法，最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 原式$=(2+3)\sqrt{6}$
$=5\sqrt{6}$；
(2) 原式$=2\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{3}$
$=\sqrt{3}-3\sqrt{2}$；
(3) 原式$=\sqrt{5}-\sqrt{2}-2\sqrt{5}$
$=-\sqrt{5}-\sqrt{2}$；
(4) 原式$=3+\sqrt{2}× \dfrac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}$
$=3+1+\sqrt{2}$
$=4+\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $5\sqrt{6}$；(2) $\sqrt{3}-3\sqrt{2}$；(3) $-\sqrt{5}-\sqrt{2}$；(4) $4+\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式加减运算，绝对值的性质，立方根运算
【点评】
本题属于二次根式相关的基础运算题，解题时要注意去括号、去绝对值时的符号变化，严格遵循运算顺序，合并同类二次根式时仅改变系数，根号及根号内的数保持不变，熟练掌握相关规则即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
这是一组二次根式的基础运算题，解题思路如下：
(1) 两个二次根式是同类二次根式，直接合并同类二次根式，把系数相加，根号部分不变即可；
(2) 先根据去括号法则去掉括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号，再合并同类二次根式；
(3) 先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，因为$\sqrt{5}＞\sqrt{2}$，所以$|\sqrt{2}-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-\sqrt{2}$，再合并同类二次根式；
(4) 先计算立方根，再用乘法分配律计算二次根式的乘法，最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 原式$=(2+3)\sqrt{6}$
$=5\sqrt{6}$；
(2) 原式$=2\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{3}$
$=\sqrt{3}-3\sqrt{2}$；
(3) 原式$=\sqrt{5}-\sqrt{2}-2\sqrt{5}$
$=-\sqrt{5}-\sqrt{2}$；
(4) 原式$=3+\sqrt{2}× \dfrac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}$
$=3+1+\sqrt{2}$
$=4+\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $5\sqrt{6}$；(2) $\sqrt{3}-3\sqrt{2}$；(3) $-\sqrt{5}-\sqrt{2}$；(4) $4+\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式加减运算，绝对值的性质，立方根运算
【点评】
本题属于二次根式相关的基础运算题，解题时要注意去括号、去绝对值时的符号变化，严格遵循运算顺序，合并同类二次根式时仅改变系数，根号及根号内的数保持不变，熟练掌握相关规则即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
