10. (★★)如图,已知线段 $a,b,c$,用圆规和无刻度的直尺作线段,使它等于 $2a + b - c$,并比较 $a$ 与 $b + c$ 的大小.(只需画图,不要求写画法)

解:AE即为所求作的线段
a＜b+c

11. (★★)已知线段 $AB = 10\ cm$,直线 $AB$ 上有一点 $C$,且 $BC = 4\ cm$,点 $M$ 是线段 $AC$ 的中点,求 $AM$ 的长.

解:如图①，当点C在线段AB上时
因为$AB=10\ \mathrm {cm}，$$BC=4\ \mathrm {cm}，$
所以$AC=AB-BC=10-4=6(\ \mathrm {cm}).$
因为M是AC的中点，
所以$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3(\ \mathrm {cm}).$
如图②，当点C在线段AB的延长线上时
因为$AB=10\ \mathrm {cm}，$$BC=4\ \mathrm {cm}，$
所以$AC=AB+BC=10+4=14(\ \mathrm {cm}).$
因为M是AC的中点，
所以$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×14=7(\ \mathrm {cm}).$
综上所述，AM的长为$3\ \mathrm {cm}$或$7\ \mathrm {cm}.$

12. (★)在线段 $MN$ 上,分别以点 $M,N$ 为圆心,$c$ 为半径画弧,交线段 $MN$ 于点 $E,F$,如图,则线段 $MF$ 与 $NE$ 的大小关系是【】

A.$MF ＞ NE$
B.$MF ＜ NE$
C.$MF = NE$
D.不能确定

C

13. (★)如图,$C$ 是线段 $AB$ 的中点,$D$ 是线段 $BC$ 的中点,下列等式正确的个数是【 】

①$CD = AC - DB$;②$CD = AD - BC$;③$CD = \frac{1}{2}AB - BD$;④$CD = \frac{1}{4}AB$.

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

D
解:(1)因为M为AC的中点，N为BC的中点,
所以$MC=\frac {1}{2}AC，$$NC=\frac {1}{2}BC.$
所以$MN=MC+CN=\frac {1}{2}AC+\frac {1}{2}BC$
$=\frac {1}{2}(AC+BC)=7\ \mathrm {cm}$
(2)因为M为AC的中点，N为BC的中点,
所以$MC=\frac {1}{2}AC，$$NC=\frac {1}{2}BC.$
所以$MN=MC+CN=\frac {1}{2}AC+\frac {1}{2}BC$
$=\frac {1}{2}(AC+BC)=\frac {1}{2}a\ \mathrm {cm}.$
结论: 当 C 在线段 A B 上时, M N 的长度为 A B 的一半
(3)如图所示，
因为点M、N分别是AC、BC的中点，
所以$MC=\frac {1}{2}AC，$$NC=\frac {1}{2}BC，$
所以$MN=MC-NC=\frac {1}{2}AC-\frac {1}{2}BC$
$=\frac {1}{2}(AC-BC)=\frac {1}{2}b(\ \mathrm {cm}).$

14. (★★★)如图,点 $C$ 在线段 $AB$ 上,$AC = 8\ cm$,$CB = 6\ cm$,点 $M,N$ 分别是 $AC,CB$ 的中点.

(1)求线段 $MN$ 的长.
(2)若 $C$ 为线段 $AB$ 上任意一点,且满足 $AC + CB = a\ cm$,其他条件不变,你能猜想出 $MN$ 的长度吗?请你用一句简洁的话描述你发现的结论.
(3)若点 $C$ 在线段 $AB$ 的延长线上,且满足 $AC - CB = b\ cm$,$M,N$ 分别为 $AC,CB$ 的中点,你能猜想出 $MN$ 的长度吗?请画出图形并写出你的结论.

(1)
因为$AC = 8cm$，点$M$是$AC$中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC = 4cm$。
因为$CB = 6cm$，点$N$是$CB$中点，所以$CN=\frac{1}{2}CB = 3cm$。
则$MN=MC + CN=4 + 3=7cm$。
(2)
因为点$M$是$AC$中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$。
因为点$N$是$CB$中点，所以$CN=\frac{1}{2}CB$。
$MN=MC + CN=\frac{1}{2}(AC + CB)=\frac{1}{2}a cm$。
结论：若$C$为线段$AB$上一点，$M$，$N$分别是$AC$，$CB$的中点，则$MN=\frac{1}{2}AB$。
(3)
图形：画一条线段$AB$，点$C$在$AB$延长线上，$M$在$AC$上且为$AC$中点，$N$在$BC$上且为$BC$中点。
因为点$M$是$AC$中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$。
因为点$N$是$CB$中点，所以$CN=\frac{1}{2}CB$。
$MN=MC - CN=\frac{1}{2}(AC - CB)=\frac{1}{2}b cm$。