15. (★★★)如图,已知数轴上三点 $A,O,B$ 表示的数分别为 $6,0,-4$,动点 $P$ 从点 $A$ 出发,以每秒 $6$ 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.

(1)当点 $P$ 到点 $A$ 的距离与点 $P$ 到点 $B$ 的距离相等时,点 $P$ 在数轴上表示的数是.
(2)另一动点 $R$ 从点 $B$ 出发,以每秒 $4$ 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点 $P,R$ 同时出发,问:点 $P$ 运动多长时间时追上点 $R$?

(3)若 $M$ 为 $AP$ 的中点,$N$ 为 $PB$ 的中点,点 $P$ 在运动过程中,线段 $MN$ 的长度是否发生变化?若发生变化,请你说明理由;若不变,请你画出图形,并求出线段 $MN$ 的长度.

1
解:(2)设点P运动x秒时，在点C处追上点R,
则AC=6x，BC=4x，AB=10.
因为AC-BC=AB，
所以6x-4x=10.
解得x=5.
所以点P运动5秒时，追上点R.
(3)线段MN的长度不发生变化.理由如下:
分两种情况
①当点P在A,B之间运动时(如图①),
$MN=MP+NP=\frac{1}{2}AP+\frac{1}{2}BP$
$=\frac{1}{2}(AP+BP)=\frac{1}{2} =5.$
②当点P运动到点B左侧时(如图②),
$MN=PM-PN=\frac{1}{2} -\frac{1}{2}BP$
$=\frac{1}{2}(AP-BP)=\frac{1}{2} =5.$
综上所述，线段MN的长度不发生变化，
其长度为5.

16. (★★★)(1)如图①,已知 $A,B$ 在直线 $l$ 的两侧,在 $l$ 上求作一点 $P$,使 $PA + PB$ 最小.
(2)如图②,有一个正方体盒子 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$,在盒子内的顶点 $A$ 处有一只蜘蛛,而在对角的顶点 $C_1$ 处有一只苍蝇.蜘蛛应沿着什么路径爬行,才能在最短的时间内捕捉到苍蝇?(假设苍蝇在 $C_1$ 处不动)

解:(1)如图①，连接AB，AB与l的交点
即为所求作的点P.
(2)把盒面展开,使包含点A和点$C_{1}$的两个
盒面在同一平面内，
如图②是其中的一种情况，根据“两点
之间，线段最短”，只要连接$AC_{1},AC_{1}$
与$BB_{1}$交于点B',则$AB'+B'C_{1}$就是最短路径.