8. (易错题)对于分式$\frac{1 - m^{2}}{1 - m}$的值，下列说法一定正确的是().

A.不可能为0
B.比1大
C.可能为2
D.比$m$大

D

首先对分式进行约分，$\frac{1 - m^{2}}{1 - m}=\frac{(1 - m)(1+m)}{1 - m}$，因为$m\neq1$（若$m = 1$，分式分母为$0$，分式无意义），所以$\frac{(1 - m)(1+m)}{1 - m}=1 + m$。
A选项，当$1 + m=0$，即$m=-1$时，分式的值为$0$，该选项错误。
B选项，当$m = 0$时，$1 + m=1$，并不比$1$大，该选项错误。
C选项，当$1 + m = 2$，即$m = 1$（分式无意义舍去），从化简后的式子看，当$m$取值使分式有意义时，不可能等于$2$，该选项错误。
D选项，$1 + m-m=1＞0$，所以$1 + m＞m$，该选项正确。

9. 若将分式$\frac{3x^{2}}{x^{2} - y^{2}}$与分式$\frac{x}{2(x - y)}$通分后，分式$\frac{x}{2(x - y)}$的分母变为$2(x - y)(x + y)$，则分式$\frac{3x^{2}}{x^{2} - y^{2}}$的分子应变为().

A.$6x^{2}$
B.$x(x + y)$
C.$x^{2}$
D.$3x^{2}(x + y)$

A

先对$\frac{3x^{2}}{x^{2} - y^{2}}$的分母因式分解，$x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)$，所以该分式分母为$(x-y)(x+y)$。通分后$\frac{x}{2(x - y)}$的分母变为$2(x - y)(x + y)$，即最简公分母为$2(x - y)(x + y)$。原分式$\frac{3x^{2}}{(x - y)(x + y)}$的分母需乘$2$才能变为最简公分母，根据分式基本性质，分子也应乘$2$，则分子变为$3x^{2}×2 = 6x^{2}$。

10. 先约分，再求值：$\frac{a^{3} - 4ab^{2}}{a^{3} - 4a^{2}b + 4ab^{2}}$，其中$a = 2$，$b = -\frac{1}{2}$.

解题步骤：
1. 分子因式分解：
$a^3 - 4ab^2 = a(a^2 - 4b^2) = a(a - 2b)(a + 2b)$
2. 分母因式分解：
$a^3 - 4a^2b + 4ab^2 = a(a^2 - 4ab + 4b^2) = a(a - 2b)^2$
3. 约分：
$\frac{a(a - 2b)(a + 2b)}{a(a - 2b)^2} = \frac{a + 2b}{a - 2b}$
4. 代入求值：
当 $a = 2$，$b = -\frac{1}{2}$ 时，
分子：$a + 2b = 2 + 2×(-\frac{1}{2}) = 1$，
分母：$a - 2b = 2 - 2×(-\frac{1}{2}) = 3$，
原式 $= \frac{1}{3}$
最终结论：$\frac{1}{3}$

11. 已知$a ＞ 3$，代数式$A = 2a^{2} - 8$，$B = 3a^{2} + 6a$，$C = a^{3} - 4a^{2} + 4a$.
在$A$，$B$，$C$中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式.

选A作为分子，B作为分母，分式为$\frac{2a^2 - 8}{3a^2 + 6a}$。
$\frac{2a^2 - 8}{3a^2 + 6a} = \frac{2(a^2 - 4)}{3a(a + 2)} = \frac{2(a - 2)(a + 2)}{3a(a + 2)} = \frac{2(a - 2)}{3a}$
结论：$\frac{2(a - 2)}{3a}$

12. (运算能力)我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”. 例如：$\frac{4x^{2} - 8x}{x - 2} = \frac{4x(x - 2)}{x - 2} = 4x$，则称分式$\frac{4x^{2} - 8x}{x - 2}$是“巧分式”，$4x$为它的“巧整式”. 根据上述定义，解决下列问题.
(1) 下列分式中是“巧分式”的有.(填序号)
①$\frac{(x - 1)(2x - 3)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)}$；
②$\frac{2x + 5}{x + 3}$；
③$\frac{x^{2} - y^{2}}{x + y}$.
(2) 若分式$\frac{x^{2} - 4x + m}{x + 3}$ ($m$为常数)是一个“巧分式”，它的“巧整式”为$x - 7$，求$m$的值.
(3) 若分式$\frac{-2x^{3} + 2x}{A}$的“巧整式”为$1 - x$.
①求整式$A$；
②$\frac{2x^{3} + 4x^{2} + 2x}{A}$是“巧分式”吗？

①③
@@$m = -21$
@@① $\because \frac{-2x^3 + 2x}{A} = 1 - x$， $\therefore A = \frac{-2x^3 + 2x}{1 - x}$。 分子因式分解：$-2x^3 + 2x = -2x(x^2 - 1) = -2x(x - 1)(x + 1) = 2x(1 - x)(x + 1)$。 $\therefore A = \frac{2x(1 - x)(x + 1)}{1 - x} = 2x(x + 1) = 2x^2 + 2x$。 ② 由①知$A = 2x^2 + 2x$，则分式为$\frac{2x^3 + 4x^2 + 2x}{2x^2 + 2x}$。 分子因式分解：$2x^3 + 4x^2 + 2x = 2x(x^2 + 2x + 1) = 2x(x + 1)^2$。 分母因式分解：$2x^2 + 2x = 2x(x + 1)$。 约分：$\frac{2x(x + 1)^2}{2x(x + 1)} = x + 1$（整式）。 $\because$约分结果为整式，$\therefore$不是“巧分式”。 答案 ① $A = 2x^2 + 2x$；② 不是。

（1）① 对于分式 $\frac{(x - 1)(2x - 3)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)}$，可以约去分子和分母中的公因式 $(x - 1)(x + 2)$，得到巧整式 $2x - 3$。因此，该分式是巧分式。
② 对于分式 $\frac{2x + 5}{x + 3}$，分子和分母没有公因式，因此不能约分为整式。所以，该分式不是巧分式。
③ 对于分式 $\frac{x^{2} - y^{2}}{x + y}$，可以因式分解分子为 $(x + y)(x - y)$，然后约去公因式 $x + y$，得到巧整式 $x - y$。因此，该分式是巧分式。
所以，是巧分式的有①③。