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1. 分式$\frac{1}{ab}$与$\frac{1}{ac}$的最简公分母是().
A.$abc$
B.$ab$
C.$ac$
D.$a^{2}bc$
A.$abc$
B.$ab$
C.$ac$
D.$a^{2}bc$
答案
A
解析
确定最简公分母，先取各分母系数的最小公倍数（本题系数均为1，最小公倍数是1），再取各分母所有字母的最高次幂的积。分母$ab$和$ac$中，字母$a$的最高次幂是$a^1$，字母$b$的最高次幂是$b^1$，字母$c$的最高次幂是$c^1$，所以最简公分母是$abc$。
2. 下列分式是最简分式的是().
A.$\frac{1 - x}{x - 1}$
B.$\frac{x - 1}{x^{2} - 1}$
C.$\frac{x}{x^{2} + 1}$
D.$\frac{4}{2x}$
A.$\frac{1 - x}{x - 1}$
B.$\frac{x - 1}{x^{2} - 1}$
C.$\frac{x}{x^{2} + 1}$
D.$\frac{4}{2x}$
答案
C
解析
A. 考虑 $\frac{1 - x}{x - 1}$，分子分母都含有 $1-x$（或等同于 $x-1$ 的负数），因此可以简化为 -1，不是最简分式。
B. 考虑 $\frac{x - 1}{x^{2} - 1}$，分母 $x^{2} - 1$ 可以因式分解为 $(x - 1)(x + 1)$，与分子中的 $x - 1$ 相约，得到 $\frac{1}{x + 1}$，不是最简分式。
C. 考虑 $\frac{x}{x^{2} + 1}$，分子分母没有公因式，因此它是最简分式。
D. 考虑 $\frac{4}{2x}$，分子分母都含有公因数2，可以简化为 $\frac{2}{x}$，不是最简分式。
B. 考虑 $\frac{x - 1}{x^{2} - 1}$，分母 $x^{2} - 1$ 可以因式分解为 $(x - 1)(x + 1)$，与分子中的 $x - 1$ 相约，得到 $\frac{1}{x + 1}$，不是最简分式。
C. 考虑 $\frac{x}{x^{2} + 1}$，分子分母没有公因式，因此它是最简分式。
D. 考虑 $\frac{4}{2x}$，分子分母都含有公因数2，可以简化为 $\frac{2}{x}$，不是最简分式。
3. 约分$\frac{2xy}{-x^{2}y}$，结果是().
A.$-1$
B.$-2x$
C.$-\frac{2}{x}$
D.$\frac{2}{x}$
A.$-1$
B.$-2x$
C.$-\frac{2}{x}$
D.$\frac{2}{x}$
答案
C
解析
对分式$\frac{2xy}{-x^{2}y}$进行约分，分子分母的公因式为$xy$，分子分母同时除以公因式$xy$，即$\frac{2xy÷(xy)}{-x^{2}y÷(xy)}=-\frac{2}{x}$。
4. 将分式$\frac{x + 1}{x}$化成分母为$x(x - 2)$的分式：.
答案
$\frac{x^2 - x - 2}{x(x - 2)}$
解析
要将分式$\frac{x + 1}{x}$化成分母为$x(x - 2)$的分式，需给分子分母同乘$(x - 2)$，即$\frac{(x + 1)(x - 2)}{x(x - 2)} = \frac{x^2 - x - 2}{x(x - 2)}$
5. 约分：
(1) $\frac{-12x^{2}y^{4}}{18xy^{5}z}$；
(2) $\frac{x^{2} - 6x + 9}{x^{2} - 9}$.
(1) $\frac{-12x^{2}y^{4}}{18xy^{5}z}$；
(2) $\frac{x^{2} - 6x + 9}{x^{2} - 9}$.
答案
(1)
首先，找出分子$-12x^{2}y^{4}$和分母$18xy^{5}z$的公因式，公因式为$6xy^{4}$。
然后，将分子和分母同时除以公因式：
$\frac{-12x^{2}y^{4}}{18xy^{5}z} = \frac{-12x^{2}y^{4} ÷ 6xy^{4}}{18xy^{5}z ÷ 6xy^{4}} = -\frac{2x}{3yz}$
(2)
先对分子$x^{2} - 6x + 9$进行因式分解，根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得$x^{2} - 6x + 9=(x - 3)^{2}$。
再对分母$x^{2} - 9$进行因式分解，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$x^{2} - 9=(x + 3)(x - 3)$。
然后进行约分：
$\frac{x^{2} - 6x + 9}{x^{2} - 9}=\frac{(x - 3)^{2}}{(x + 3)(x - 3)}=\frac{x - 3}{x + 3}$
综上，答案依次为$-\frac{2x}{3yz}$；$\frac{x - 3}{x + 3}$。
首先，找出分子$-12x^{2}y^{4}$和分母$18xy^{5}z$的公因式，公因式为$6xy^{4}$。
然后，将分子和分母同时除以公因式：
$\frac{-12x^{2}y^{4}}{18xy^{5}z} = \frac{-12x^{2}y^{4} ÷ 6xy^{4}}{18xy^{5}z ÷ 6xy^{4}} = -\frac{2x}{3yz}$
(2)
先对分子$x^{2} - 6x + 9$进行因式分解，根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得$x^{2} - 6x + 9=(x - 3)^{2}$。
再对分母$x^{2} - 9$进行因式分解，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$x^{2} - 9=(x + 3)(x - 3)$。
然后进行约分：
$\frac{x^{2} - 6x + 9}{x^{2} - 9}=\frac{(x - 3)^{2}}{(x + 3)(x - 3)}=\frac{x - 3}{x + 3}$
综上，答案依次为$-\frac{2x}{3yz}$；$\frac{x - 3}{x + 3}$。
1. 下列分式约分正确的是().
A.$\frac{x + 1}{y + 1} = \frac{x}{y}$
B.$\frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{y}{x}$
C.$\frac{x^{2}}{xy} = \frac{x}{y}$
D.$\frac{2x}{x + 2} = \frac{x}{x + 1}$
A.$\frac{x + 1}{y + 1} = \frac{x}{y}$
B.$\frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{y}{x}$
C.$\frac{x^{2}}{xy} = \frac{x}{y}$
D.$\frac{2x}{x + 2} = \frac{x}{x + 1}$
答案
C
解析
A. 对于 $\frac{x + 1}{y + 1}$，分子和分母之间没有公因式，因此不能约分为 $\frac{x}{y}$，所以A选项错误。
B. 对于 $\frac{y^{2}}{x^{2}}$，分子和分母都是平方项，但它们之间没有公因式可以约分，因此不能约分为 $\frac{y}{x}$，所以B选项错误。
C. 对于 $\frac{x^{2}}{xy}$，分子和分母都含有公因式 $x$，约去公因式后得到 $\frac{x}{y}$，所以C选项正确。
D. 对于 $\frac{2x}{x + 2}$，分子和分母之间没有公因式，因此不能约分为 $\frac{x}{x + 1}$，所以D选项错误。
B. 对于 $\frac{y^{2}}{x^{2}}$，分子和分母都是平方项，但它们之间没有公因式可以约分，因此不能约分为 $\frac{y}{x}$，所以B选项错误。
C. 对于 $\frac{x^{2}}{xy}$，分子和分母都含有公因式 $x$，约去公因式后得到 $\frac{x}{y}$，所以C选项正确。
D. 对于 $\frac{2x}{x + 2}$，分子和分母之间没有公因式，因此不能约分为 $\frac{x}{x + 1}$，所以D选项错误。
2. (2025文山期末)下列分式中，属于最简分式的是().
A.$\frac{1}{2x}$
B.$\frac{x - y}{x^{2} - y^{2}}$
C.$\frac{a}{ab}$
D.$\frac{2x^{2}}{4m - 2n}$
A.$\frac{1}{2x}$
B.$\frac{x - y}{x^{2} - y^{2}}$
C.$\frac{a}{ab}$
D.$\frac{2x^{2}}{4m - 2n}$
答案
A
解析
A. 对于分式 $\frac{1}{2x}$，分子和分母没有公因式，所以它是最简分式。
B. 对于分式 $\frac{x - y}{x^{2} - y^{2}}$，可以分解分母为 $(x + y)(x - y)$，与分子有公因式 $x - y$，所以它不是最简分式。
C. 对于分式 $\frac{a}{ab}$，分子和分母有公因式 $a$，所以它不是最简分式。
D. 对于分式 $\frac{2x^{2}}{4m - 2n}$，分子和分母都可以被2整除，所以它不是最简分式。
综上所述，只有A选项是最简分式。
B. 对于分式 $\frac{x - y}{x^{2} - y^{2}}$，可以分解分母为 $(x + y)(x - y)$，与分子有公因式 $x - y$，所以它不是最简分式。
C. 对于分式 $\frac{a}{ab}$，分子和分母有公因式 $a$，所以它不是最简分式。
D. 对于分式 $\frac{2x^{2}}{4m - 2n}$，分子和分母都可以被2整除，所以它不是最简分式。
综上所述，只有A选项是最简分式。
3. 约分：$\frac{4xy}{4x^{2}y^{2}} =$；$\frac{m + 1}{m^{2} - 1} =$.
答案
$\frac{1}{xy}$；$\frac{1}{m - 1}$
解析
对于$\frac{4xy}{4x^{2}y^{2}}$：
分子分母同时约去公因式$4xy$，得到$\frac{4xy}{4x^{2}y^{2}}=\frac{1}{xy}$。
对于$\frac{m + 1}{m^{2} - 1}$：
先对分母$m^{2}-1$利用平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$进行因式分解，$m^{2}-1=(m + 1)(m - 1)$，再约去公因式$m + 1$，得到$\frac{m + 1}{m^{2} - 1}=\frac{1}{m - 1}$。
分子分母同时约去公因式$4xy$，得到$\frac{4xy}{4x^{2}y^{2}}=\frac{1}{xy}$。
对于$\frac{m + 1}{m^{2} - 1}$：
先对分母$m^{2}-1$利用平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$进行因式分解，$m^{2}-1=(m + 1)(m - 1)$，再约去公因式$m + 1$，得到$\frac{m + 1}{m^{2} - 1}=\frac{1}{m - 1}$。
4. 约分：
(1) $\frac{3a^{3}b^{3}c}{12ac^{2}}$；(2) $\frac{(x + y)y}{xy^{2}}$.
(1) $\frac{3a^{3}b^{3}c}{12ac^{2}}$；(2) $\frac{(x + y)y}{xy^{2}}$.
答案
(1) $\frac{3a^{3}b^{3}c}{12ac^{2}}=\frac{3ac· a^{2}b^{3}}{3ac· 4c}=\frac{a^{2}b^{3}}{4c}$
(2) $\frac{(x + y)y}{xy^{2}}=\frac{y(x + y)}{y· xy}=\frac{x + y}{xy}$
(2) $\frac{(x + y)y}{xy^{2}}=\frac{y(x + y)}{y· xy}=\frac{x + y}{xy}$
5. 分式$\frac{1}{2x^{2}y}$，$\frac{1}{6xy^{3}}$的最简公分母是.
答案
$6x^2y^3$
解析
确定最简公分母，先取各分母系数的最小公倍数，2和6的最小公倍数是6；再取各分母中所有字母的最高次幂，x的最高次幂是$x^2$，y的最高次幂是$y^3$，所以最简公分母是$6x^2y^3$。
6. (2025昭通期末)分式$\frac{1}{2ab + 2b^{2}}$与$\frac{2a}{a^{2} - b^{2}}$的最简公分母是.
答案
$2b(a + b)(a - b)$
解析
先对两个分式的分母进行因式分解。
第一个分母：$2ab + 2b^2 = 2b(a + b)$；
第二个分母：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积，所以最简公分母为$2b(a + b)(a - b)$。
第一个分母：$2ab + 2b^2 = 2b(a + b)$；
第二个分母：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积，所以最简公分母为$2b(a + b)(a - b)$。
7. 通分：
(1) $\frac{x}{2y}$与$\frac{2}{3xy^{2}}$；
(2) $\frac{2n}{n - 2}$与$\frac{3n}{n + 3}$.
(1) $\frac{x}{2y}$与$\frac{2}{3xy^{2}}$；
(2) $\frac{2n}{n - 2}$与$\frac{3n}{n + 3}$.
答案
(1) 最简公分母为 $6xy^{2}$。
$\frac{x}{2y} = \frac{x · 3xy}{2y · 3xy} = \frac{3x^{2}y}{6xy^{2}}$；
$\frac{2}{3xy^{2}} = \frac{2 × 2}{3xy^{2} × 2} = \frac{4}{6xy^{2}}$。
(2) 最简公分母为 $(n - 2)(n + 3)$。
$\frac{2n}{n - 2} = \frac{2n(n + 3)}{(n - 2)(n + 3)} = \frac{2n^{2} + 6n}{(n - 2)(n + 3)}$；
$\frac{3n}{n + 3} = \frac{3n(n - 2)}{(n + 3)(n - 2)} = \frac{3n^{2} - 6n}{(n - 2)(n + 3)}$。
$\frac{x}{2y} = \frac{x · 3xy}{2y · 3xy} = \frac{3x^{2}y}{6xy^{2}}$；
$\frac{2}{3xy^{2}} = \frac{2 × 2}{3xy^{2} × 2} = \frac{4}{6xy^{2}}$。
(2) 最简公分母为 $(n - 2)(n + 3)$。
$\frac{2n}{n - 2} = \frac{2n(n + 3)}{(n - 2)(n + 3)} = \frac{2n^{2} + 6n}{(n - 2)(n + 3)}$；
$\frac{3n}{n + 3} = \frac{3n(n - 2)}{(n + 3)(n - 2)} = \frac{3n^{2} - 6n}{(n - 2)(n + 3)}$。
