1. 观察下面的等式：$3^2 - 1^2 = 8×1,5^2 - 3^2 = 8×2,7^2 - 5^2 = 8×3,9^2 - 7^2 = 8×4,…,$按上面的规律归纳出一个一般的结论是。

$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n$

观察给出的等式，可以发现每个等式左边的形式为 $(2n+1)^2 - (2n-1)^2$，其中 $n$ 为正整数。
展开左边的表达式：
$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = (4n^2 + 4n + 1) - (4n^2 - 4n + 1) = 8n$。
因此，一般的结论是：
$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n$。

2. 有一组单项式：a^2,$-\frac{1}{2}a^3$,$\frac{1}{3}a^4$,$-\frac{a^5}{4}$,…,则第 n 个单项式是。

$(-1)^{n + 1}\frac{1}{n}a^{n + 1}$

观察给出的单项式序列：
1. 第一个单项式：$a^2 = \frac{1}{1}a^{1+1}$，符号为正；
2. 第二个单项式：$-\frac{1}{2}a^3 = -\frac{1}{2}a^{2+1}$，符号为负；
3. 第三个单项式：$\frac{1}{3}a^4 = \frac{1}{3}a^{3+1}$，符号为正；
4. 第四个单项式：$-\frac{1}{4}a^5 = -\frac{1}{4}a^{4+1}$，符号为负。
根据以上观察，可以发现以下规律：
系数：第$n$个单项式的系数是$\frac{1}{n}$的带有$(-1)^{n+1}$的符号（因为第一个单项式为正，第二个为负，依此类推）。
指数：第$n$个单项式中$a$的指数是$n+1$。
综合以上两点，第$n$个单项式可以表示为$(-1)^{n+1}\frac{1}{n}a^{n+1}$。

3. 下列数表是由从 1 开始的连续自然数组成的,观察规律并完成各题的解答。
1第一行2 3第二行4 5 6第三行7 8 9 10第四行11 12 13 14 15第五行………

(1)表中第六行的最后一个数是,第 n 行的最后一个数是；
(2)若用(a,b)表示一个数在数表中的位置,如 9 的位置是(4,3),则 168 的位置是。

(1)$21$；$\frac{n(n + 1)}{2}$
(2)$(18,15)$

(1)
第六行有$6$个数，前五行数的个数为$1 + 2+3 + 4+5=\frac{5×(5 + 1)}{2}=15$个，所以第六行的最后一个数是$15 + 6=21$；
前$n - 1$行数的个数为$1+2+\cdots+(n - 1)=\frac{(n - 1)n}{2}$，第$n$行有$n$个数，所以第$n$行的最后一个数是$\frac{n(n + 1)}{2}$。
(2)
当$n = 18$时，$\frac{n(n + 1)}{2}=\frac{18×(18 + 1)}{2}=171$；
当$n = 17$时，$\frac{n(n + 1)}{2}=\frac{17×(17 + 1)}{2}=153$；
因为$153\lt168\lt171$，所以$168$在第$18$行，$168-153 = 15$，所以$168$的位置是$(18,15)$。

4. 下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的,照此规律排列下去,第 15 个图中小正方形的个数是()
[img]

A.31
B.210
C.225
D.255

D

观察图形，第1个图中小正方形个数为3=1×3，第2个图为8=2×4，第3个图为15=3×5，第4个图为24=4×6，规律为第n个图中小正方形个数是n(n+2)。当n=15时，15×(15+2)=15×17=255。

5. (1)观察图①中图形与等式的关系,并填空:
(2)根据(1)中结论,计算图②中黑球的个数,用含有 n 的式子表示为:
1 + 3 + 5 + … + (2n - 1)+ ()+(2n - 1)+…+5+3+1= 。

(1)4²；n²；
(2)2n+1；2n²+2n+1

(1)观察等式：1+3=2²（2项，和为2²），1+3+5=3²（3项，和为3²），则1+3+5+7为4项，和为4²；1+3+5+…+(2n-1)有n项，和为n²。
(2)图②中黑球个数等式前半部分1+3+…+(2n-1)和为n²，后半部分(2n-1)+…+1和也为n²，中间项为第(n+1)行黑球数，即2(n+1)-1=2n+1，总和为n²+(2n+1)+n²=2n²+2n+1。

6. 如图,利用黑白两种颜色的五边形组成的图案,根据图案组成的规律回答下列问题:
[img]
(1)图案$\boldsymbol{n}$中黑色五边形有个,白色五边形有____个(用含 n 的式子表示);
(2)图案$\boldsymbol{n}$中白色五边形可能有 2026 个吗?若可能,请求出 n 的值;若不可能,请说明理由。

(1) n；3n+1
(2) 可能，n=675。
理由：令3n+1=2026，解得n=675，n为正整数，故可能。