1. 在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球,已知两个口袋中分别有红、白、黑球各1个,这些球除颜色外其他都相同. 小明从两个口袋中各随机取出1个球,取出的球是1个红球和1个白球的结果共有().
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种

解：甲口袋有红、白、黑球各1个，乙口袋有红、白、黑球各1个。从两个口袋中各取1个球，所有可能结果为：
（红甲，红乙）、（红甲，白乙）、（红甲，黑乙）、
（白甲，红乙）、（白甲，白乙）、（白甲，黑乙）、
（黑甲，红乙）、（黑甲，白乙）、（黑甲，黑乙）。
其中取出1个红球和1个白球的结果为（红甲，白乙）、（白甲，红乙），共2种。
答案：B

2. 一个质地均匀的正方体各面上分别标有数字1,2,3,4,6,8,其表面展开图如图所示. 抛掷这个正方体,则朝上一面上的数字恰好等于朝下一面上的数字的2倍的概率是(　　).

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{6}$

解：由正方体表面展开图可知，相对面的数字分别为：1与8，2与4，3与6。
抛掷正方体，朝上一面的数字有6种等可能结果。其中朝上数字是朝下数字2倍的情况有：(2,4)、(3,6)，共2种。
所以概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
答案：C

3. 如图,在一个不透明的纸箱中,装有四张标有数字的卡片,卡片除所标数字不同外其他无差别,现从中任取一张卡片,将其数字记为$k$,则使一元二次方程$kx^2 = 3x + 1$有实数根的概率是(　　).

A.$\frac{1}{4}$
B.1
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{1}{2}$

【解析】：本题可先根据一元二次方程的定义和根的判别式确定$k$的取值范围，再结合概率公式求解。
步骤一：根据一元二次方程的定义确定$k$的取值范围
一元二次方程的一般形式是$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），在方程$kx^2 = 3x + 1$中，移项可得$kx^2 - 3x - 1 = 0$，要使其为一元二次方程，则二次项系数$k\neq0$。
步骤二：根据根的判别式确定$k$的取值范围
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，当$\Delta\geq0$时，方程有实数根。
在方程$kx^2 - 3x - 1 = 0$中，$a = k$，$b = -3$，$c = -1$，所以$\Delta = (-3)^2 - 4× k× (-1)= 9 + 4k$。
因为方程$kx^2 - 3x - 1 = 0$有实数根，所以$\Delta\geq0$，即$9 + 4k\geq0$，解不等式可得$4k\geq -9$，$k\geq -\frac{9}{4}$。
结合步骤一$k\neq0$，所以$k$的取值范围是$k\geq -\frac{9}{4}$且$k\neq0$。
步骤三：确定满足条件的$k$的值
已知纸箱中四张卡片上的数字分别为$-5$，$-2$，$0$，$3$，结合$k$的取值范围$k\geq -\frac{9}{4}$且$k\neq0$，可知满足条件的$k$的值为$-2$，$3$，共$2$个。
步骤四：根据概率公式计算概率
概率的计算公式是$P(A)=\frac{m}{n}$，其中$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$m$表示事件$A$发生的总数，$n$是总事件发生的总数。
从四张卡片中任取一张，总共有$4$种等可能的结果，满足方程$kx^2 = 3x + 1$有实数根的$k$的值有$2$个，所以使一元二次方程$kx^2 = 3x + 1$有实数根的概率是$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】：D

4. 现有分别标有汉字“热”“爱”“劳”“动”的四张卡片,它们除汉字外无其他差别. 若把四张卡片背面朝上,洗匀放在桌子上,然后任意抽取一张卡片,不放回,再任意抽取一张,则两次抽取的卡片上的汉字能组成“劳动”的概率是______.

解：列表如下：
| 第一次 | 热 | 爱 | 劳 | 动 |
|--------|------|------|------|------|
| 热 | - | (热,爱) | (热,劳) | (热,动) |
| 爱 | (爱,热) | - | (爱,劳) | (爱,动) |
| 劳 | (劳,热) | (劳,爱) | - | (劳,动) |
| 动 | (动,热) | (动,爱) | (动,劳) | - |
共有12种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的汉字能组成“劳动”的结果有1种，即(劳,动)。
所以两次抽取的卡片上的汉字能组成“劳动”的概率是$\frac{1}{12}$。
$\frac{1}{12}$

5. 盒子里装有除颜色外,没有其他区别的2个红球和2个黑球,搅匀后从中取出1个球,放回并搅匀,再取出第2个球,则两次取出的球是1红1黑的概率为.

【解析】：
本题考查的是利用列举法求概率。
首先，我们考虑两次取球的所有可能情况。
因为每次取球都有4种可能（2红2黑），所以两次取球共有$4 × 4 = 16$种可能情况。
接着，我们列举出所有两次取球颜色为一红一黑的情况：
第一次取红球，第二次取黑球的情况有：红-黑1，红-黑2，共2种情况，
由于取球后放回，所以红球有两个选择（红1或红2），黑球也有两个选择（黑1或黑2），
因此实际为$2 × 2 = 4$种情况。
第一次取黑球，第二次取红球的情况也有：黑-红1，黑-红2，共2种情况，
同理，实际也为$2 × 2 = 4$种情况。
因此，两次取球颜色为一红一黑的总情况数为$4 + 4 = 8$种。
最后，我们计算所求的概率：
$P(一红一黑) = \frac{一红一黑的情况数}{所有可能的情况数} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
【答案】：
$\frac{1}{2}$

6. 袋子中装有3个白球和2个红球,它们除颜色外其他都相同,从袋子中任意摸出1个球.
(1)摸到白球的概率等于.
(2)摸到红球的概率等于.
(3)摸到绿球的概率等于.
(4)摸到白球或红球的概率等于.
(5)摸到红球的概率于摸到白球的概率.(填“大”或“小”)

【解析】：
本题主要考察概率的基本概念和计算。
概率是一种测量事件发生可能性的方法。
对于一个有限样本空间$S$，以及$S$中的一个事件$A$，事件$A$发生的概率$P(A)$定义为：
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$，
其中，$n(A)$是事件$A$中样本点的数量，$n(S)$是样本空间$S$中样本点的总数。
(1) 摸到白球的概率计算：
袋子中白球的数量是3，总球数是$3+2=5$，所以摸到白球的概率是：
$P(白球) = \frac{3}{5}$，
(2) 摸到红球的概率计算：
袋子中红球的数量是2，总球数是5，所以摸到红球的概率是：
$P(红球) = \frac{2}{5}$，
(3) 摸到绿球的概率计算：
袋子中没有绿球，所以摸到绿球的概率是0。
(4) 摸到白球或红球的概率计算：
因为白球和红球是互斥事件（即不能同时发生），所以摸到白球或红球的概率是两者概率之和：
$P(白球或红球) = P(白球) + P(红球) = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1$，
(5) 摸到红球的概率与摸到白球的概率的比较：
由于摸到红球的概率是$\frac{2}{5}$，摸到白球的概率是$\frac{3}{5}$，
显然，摸到红球的概率小于摸到白球的概率。
【答案】：
(1) $\frac{3}{5}$
(2) $\frac{2}{5}$
(3) $0$
(4) $1$
(5) 小

7. 在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球,其中白球2个,红球1个,黑球1个,它们除了颜色外其他都相同.
(1)从袋中随机摸出1个球,求摸出白球的概率.
(2)从袋中随机摸出1个球,求摸出黑球的概率.
(3)向袋中加几个黑球,可以使摸出红球的概率变为$\frac{1}{6}$？

【解析】：
本题主要考察的是概率的基本计算和概率公式的应用。
(1) 和 (2) 可以直接通过概率公式 $P(A) = \frac{m}{n}$ 来计算，其中 $m$ 是特定事件发生的次数，$n$ 是所有可能事件的总数。
(3) 需要通过设置方程来求解，首先确定新的总数 $n'$，然后通过概率公式设置方程求解。
【答案】：
(1) 解：
袋子中共有 $2+1+1=4$ 个球，其中白球有2个。
所以摸出白球的概率为 $P(白球) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
(2) 解：
袋子中共有4个球，其中黑球有1个。
所以摸出黑球的概率为 $P(黑球) = \frac{1}{4}$。
(3) 解：
设向袋中加了 $x$ 个黑球，则新的球的总数为 $4+x$。
此时摸出红球的概率为 $\frac{1}{4+x}$。
根据题意，我们有 $\frac{1}{4+x} = \frac{1}{6}$。
解这个方程，我们得到 $x = 2$。
所以需要向袋中加2个黑球，才能使摸出红球的概率变为 $\frac{1}{6}$。