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1. 在高速公路的建设中,通常要从大山中开挖隧道穿过,把道路取直,以缩短路程.这样做蕴含的数学道理是(
A.两点之间,线段最短
B.两点之间线段的长度,叫作这两点之间的距离
C.两点确定一条直线
D.平面内经过一点有无数条直线
A
)A.两点之间,线段最短
B.两点之间线段的长度,叫作这两点之间的距离
C.两点确定一条直线
D.平面内经过一点有无数条直线
答案
【解析】：
本题考察的是对数学基本概念和原理的理解。题目描述了在高速公路建设中，为了缩短路程，通常选择从大山中开挖隧道穿过，使道路取直。这实际上是在寻求两点之间的最短路径。
A选项“两点之间，线段最短”恰好描述了这一数学原理，即两点之间的线段是这两点间所有路径中最短的。
B选项“两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离”描述的是两点间距离的定义，与题目描述的数学道理不符。
C选项“两点确定一条直线”描述的是两点确定直线的性质，并不涉及路径的长短。
D选项“平面内经过一点有无数条直线”描述的是平面内经过一点的直线数量，与题目描述的数学道理无关。
【答案】：
A
本题考察的是对数学基本概念和原理的理解。题目描述了在高速公路建设中，为了缩短路程，通常选择从大山中开挖隧道穿过，使道路取直。这实际上是在寻求两点之间的最短路径。
A选项“两点之间，线段最短”恰好描述了这一数学原理，即两点之间的线段是这两点间所有路径中最短的。
B选项“两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离”描述的是两点间距离的定义，与题目描述的数学道理不符。
C选项“两点确定一条直线”描述的是两点确定直线的性质，并不涉及路径的长短。
D选项“平面内经过一点有无数条直线”描述的是平面内经过一点的直线数量，与题目描述的数学道理无关。
【答案】：
A
2. 如图,$\angle AOB$是平角,$\angle AOC = 30^\circ$,$\angle BOD= 60^\circ$,$OM$,$ON分别是\angle AOC$,$\angle BOD$的平分线,则$\angle MON$等于(
A.$90^\circ$
B.$135^\circ$
C.$150^\circ$
D.$120^\circ$
B
)A.$90^\circ$
B.$135^\circ$
C.$150^\circ$
D.$120^\circ$
答案
解：
∵∠AOB是平角，
∴∠AOB=180°。
∵∠AOC=30°，∠BOD=60°，
∴∠COD=∠AOB-∠AOC-∠BOD=180°-30°-60°=90°。
∵OM是∠AOC的平分线，
∴∠COM=1/2∠AOC=1/2×30°=15°。
∵ON是∠BOD的平分线，
∴∠DON=1/2∠BOD=1/2×60°=30°。
∴∠MON=∠COM+∠COD+∠DON=15°+90°+30°=135°。
答案：B。
∵∠AOB是平角，
∴∠AOB=180°。
∵∠AOC=30°，∠BOD=60°，
∴∠COD=∠AOB-∠AOC-∠BOD=180°-30°-60°=90°。
∵OM是∠AOC的平分线，
∴∠COM=1/2∠AOC=1/2×30°=15°。
∵ON是∠BOD的平分线，
∴∠DON=1/2∠BOD=1/2×60°=30°。
∴∠MON=∠COM+∠COD+∠DON=15°+90°+30°=135°。
答案：B。
3. 有下列说法：① 一个角的补角一定大于这个角；② 如果两个角是同一个角的余角,那么它们相等；③ 锐角和钝角互补；④ 一个锐角的补角比这个角的余角大$90^\circ$.其中,正确的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
【解析】：
本题主要考察角的补角、余角的概念及性质。
① 对于一个角的补角，它不一定大于这个角。例如，若这个角为钝角，则它的补角为锐角，显然小于这个角。因此，①错误。
② 如果两个角是同一个角的余角，根据余角的定义，两个角的和为$90^\circ$，则它们必然相等。因此，②正确。
③ 锐角和钝角的和不一定为$180^\circ$，所以它们不一定互补。例如，$30^\circ$的锐角和$120^\circ$的钝角并不互补。因此，③错误。
④ 对于一个锐角$\alpha$，它的补角为$180^\circ - \alpha$，它的余角为$90^\circ - \alpha$。补角与余角的差为：
$(180^\circ - \alpha) - (90^\circ - \alpha) = 90^\circ$
因此，一个锐角的补角比这个角的余角大$90^\circ$，④正确。
综上，正确的说法有2个。
【答案】：B
本题主要考察角的补角、余角的概念及性质。
① 对于一个角的补角，它不一定大于这个角。例如，若这个角为钝角，则它的补角为锐角，显然小于这个角。因此，①错误。
② 如果两个角是同一个角的余角，根据余角的定义，两个角的和为$90^\circ$，则它们必然相等。因此，②正确。
③ 锐角和钝角的和不一定为$180^\circ$，所以它们不一定互补。例如，$30^\circ$的锐角和$120^\circ$的钝角并不互补。因此，③错误。
④ 对于一个锐角$\alpha$，它的补角为$180^\circ - \alpha$，它的余角为$90^\circ - \alpha$。补角与余角的差为：
$(180^\circ - \alpha) - (90^\circ - \alpha) = 90^\circ$
因此，一个锐角的补角比这个角的余角大$90^\circ$，④正确。
综上，正确的说法有2个。
【答案】：B
4. 如图所示,由下列条件能判定$AB// CD$的是(
A.$\angle BAC= \angle DAC$
B.$\angle DAC= \angle ACB$
C.$\angle BAC= \angle DCA$
D.$\angle D+\angle DCB= 180^\circ$
C
)A.$\angle BAC= \angle DAC$
B.$\angle DAC= \angle ACB$
C.$\angle BAC= \angle DCA$
D.$\angle D+\angle DCB= 180^\circ$
答案
【解析】：
本题考查平行线的判定条件，需要逐一分析各选项是否符合平行线的判定定理。
选项A：$\angle BAC = \angle DAC$，这两个角是同一条直线$AC$所截的同位角或内错角等，但它们相等并不能直接判定$AB// CD$，因为这两个角相等只能说明$AC$是$\angle BAD$的角平分线，与$AB$和$CD$是否平行无关，所以A选项错误。
选项B：$\angle DAC = \angle ACB$，这两个角是直线$AC$所截的内错角，但它们相等只能判定$AD// BC$，不能判定$AB// CD$，所以B选项错误。
选项C：$\angle BAC = \angle DCA$，这两个角是直线$AC$所截的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可以判定$AB// CD$，所以C选项正确。
选项D：$\angle D + \angle DCB = 180^{\circ}$，这两个角是同旁内角，同旁内角互补只能判定$AD// BC$，不能判定$AB// CD$，所以D选项错误。
【答案】：C。
本题考查平行线的判定条件，需要逐一分析各选项是否符合平行线的判定定理。
选项A：$\angle BAC = \angle DAC$，这两个角是同一条直线$AC$所截的同位角或内错角等，但它们相等并不能直接判定$AB// CD$，因为这两个角相等只能说明$AC$是$\angle BAD$的角平分线，与$AB$和$CD$是否平行无关，所以A选项错误。
选项B：$\angle DAC = \angle ACB$，这两个角是直线$AC$所截的内错角，但它们相等只能判定$AD// BC$，不能判定$AB// CD$，所以B选项错误。
选项C：$\angle BAC = \angle DCA$，这两个角是直线$AC$所截的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可以判定$AB// CD$，所以C选项正确。
选项D：$\angle D + \angle DCB = 180^{\circ}$，这两个角是同旁内角，同旁内角互补只能判定$AD// BC$，不能判定$AB// CD$，所以D选项错误。
【答案】：C。
5. 若$AB\perp a$,$AC\perp a$,则$A$,$B$,$C$三点共线,理由是
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
.答案
【解析】：
本题考察的是几何中垂直线的性质以及三点共线的条件。
根据题目条件，有$AB\perp a$和$AC\perp a$，即线段$AB$和$AC$都与直线$a$垂直。
在平面几何中，两条都与同一条直线垂直的线段，它们之间是平行的或者重合的（在同一直线上）。但考虑到$A$是$AB$和$AC$的公共点，所以$B$、$A$、$C$三点必然共线。
这里应用的理由是“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”。
【答案】：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
本题考察的是几何中垂直线的性质以及三点共线的条件。
根据题目条件，有$AB\perp a$和$AC\perp a$，即线段$AB$和$AC$都与直线$a$垂直。
在平面几何中，两条都与同一条直线垂直的线段，它们之间是平行的或者重合的（在同一直线上）。但考虑到$A$是$AB$和$AC$的公共点，所以$B$、$A$、$C$三点必然共线。
这里应用的理由是“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”。
【答案】：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
6. 如图,$AB// CD$,$\angle A= 37^\circ$,$\angle C= 63^\circ$,那么$\angle F= $
26
°.答案
解：因为 $AB // CD$，所以 $\angle FEB = \angle C = 63^\circ$（两直线平行，同位角相等）。
在 $\triangle AEF$ 中，$\angle FEB$ 是外角，所以 $\angle FEB = \angle A + \angle F$。
即 $63^\circ = 37^\circ + \angle F$，解得 $\angle F = 63^\circ - 37^\circ = 26^\circ$。
$26$
在 $\triangle AEF$ 中，$\angle FEB$ 是外角，所以 $\angle FEB = \angle A + \angle F$。
即 $63^\circ = 37^\circ + \angle F$，解得 $\angle F = 63^\circ - 37^\circ = 26^\circ$。
$26$
7. 过九边形的一个顶点作对角线,可以把这个九边形分成
7
个三角形.答案
【解析】：
对于一个$n$边形，从一个顶点出发，可以作的对角线数量为$(n-3)$，因为与该顶点相邻的两个顶点和该顶点自身不能作为对角线的终点。
这些对角线将$n$边形划分为$(n-2)$个三角形。
对于九边形，从一个顶点出发可以作的对角线数量为$(9-3)=6$，这些对角线将九边形划分为$(9-2)=7$个三角形。
【答案】：
7
对于一个$n$边形，从一个顶点出发，可以作的对角线数量为$(n-3)$，因为与该顶点相邻的两个顶点和该顶点自身不能作为对角线的终点。
这些对角线将$n$边形划分为$(n-2)$个三角形。
对于九边形，从一个顶点出发可以作的对角线数量为$(9-3)=6$，这些对角线将九边形划分为$(9-2)=7$个三角形。
【答案】：
7
8. 如图,将长方形纸条折叠,若$\angle 1= 58^\circ$,则$\angle 2= $
64
°.答案
解：因为长方形纸条对边平行，折叠后对应角相等。设折叠后与∠1重合的角为∠3，则∠3=∠1=58°。∠1与∠3的和与∠2互补，即∠1+∠3+∠2=180°，所以∠2=180°-58°-58°=64°。
64
64
9. 两条线段,一条长6,另一条长10,将它们一端重合且放在同一条直线上,则这两条线段的中点之间的距离是______
2或8
.答案
【解析】：
本题主要考查线段中点的性质及线段的和差关系。
首先，根据线段中点的定义，若M是线段AB的中点，则$AM = MB = \frac{1}{2}AB$。
对于长为6的线段，其中点到重合端的距离为$\frac{6}{2} = 3$；
对于长为10的线段，其中点到重合端的距离为$\frac{10}{2} = 5$。
接下来，我们考虑两种情况：
当两条线段在重合端的同侧时，两线段中点之间的距离为两中点到重合端的距离之差，即$5 - 3 = 2$。
当两条线段在重合端的两侧时，两线段中点之间的距离为两中点到重合端的距离之和，即$5 + 3 = 8$。
所以这两条线段的中点间的距离有两种可能，分别是2和8。
【答案】：
2或8。
本题主要考查线段中点的性质及线段的和差关系。
首先，根据线段中点的定义，若M是线段AB的中点，则$AM = MB = \frac{1}{2}AB$。
对于长为6的线段，其中点到重合端的距离为$\frac{6}{2} = 3$；
对于长为10的线段，其中点到重合端的距离为$\frac{10}{2} = 5$。
接下来，我们考虑两种情况：
当两条线段在重合端的同侧时，两线段中点之间的距离为两中点到重合端的距离之差，即$5 - 3 = 2$。
当两条线段在重合端的两侧时，两线段中点之间的距离为两中点到重合端的距离之和，即$5 + 3 = 8$。
所以这两条线段的中点间的距离有两种可能，分别是2和8。
【答案】：
2或8。
