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7. (★)用计算器计算：$ 3 \sin 38^{\circ} - \sqrt{2} \approx $
0.433
(精确到 $ 0.001 $)。答案
$0.433$
解析
首先使用计算器求出 $ \sin 38° $ 的近似值，$\sin 38° \approx 0.6157$，
然后计算 $ 3 \sin 38° $，$3 × 0.6157 \approx 1.8471$，
接着计算 $ \sqrt{2} $ 的近似值，$\sqrt{2} \approx 1.4142$，
最后进行减法运算，$3 \sin 38° - \sqrt{2} \approx 1.8471 - 1.4142 = 0.4329 \approx 0.433$，
根据题目要求，结果精确到 $ 0.001 $，所以 $ 3 \sin 38° - \sqrt{2} \approx 0.433 $。
然后计算 $ 3 \sin 38° $，$3 × 0.6157 \approx 1.8471$，
接着计算 $ \sqrt{2} $ 的近似值，$\sqrt{2} \approx 1.4142$，
最后进行减法运算，$3 \sin 38° - \sqrt{2} \approx 1.8471 - 1.4142 = 0.4329 \approx 0.433$，
根据题目要求，结果精确到 $ 0.001 $，所以 $ 3 \sin 38° - \sqrt{2} \approx 0.433 $。
8. (★)$ 8 \cos 31^{\circ} $
＞
(填“$ ＞ $”“$ = $”或“$ ＜ $”)$ \sqrt{35} $。答案
1. 估算$cos31^{\circ}$的值：$cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866$，余弦函数在$0^{\circ}-90^{\circ}$随角度增大而减小，故$cos31^{\circ}\approx0.857$（比$cos30^{\circ}$略小）。
2. 计算$8cos31^{\circ}$：$8×0.857\approx6.856$。
3. 估算$\sqrt{35}$的值：$5^2=25$，$6^2=36$，则$\sqrt{35}\approx5.916$（$5.916^2\approx35$）。
4. 比较大小：$6.856＞5.916$，故$8cos31^{\circ}＞\sqrt{35}$。
＞
$\gt$
2. 计算$8cos31^{\circ}$：$8×0.857\approx6.856$。
3. 估算$\sqrt{35}$的值：$5^2=25$，$6^2=36$，则$\sqrt{35}\approx5.916$（$5.916^2\approx35$）。
4. 比较大小：$6.856＞5.916$，故$8cos31^{\circ}＞\sqrt{35}$。
＞
$\gt$
9. (★★)如图 $ 28.1 - 34 $,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle B = 26^{\circ} $,$ BC = 5 $。若用科学计算器求边 $ AC $ 的长,则下列按键顺序正确的是【
D
】答案
D
解析
在直角三角形$ \triangle ABC $中，$ \angle C = 90° $，$ \angle B = 26° $，$ BC = 5 $。
根据正切函数的定义，$ \tan B = \frac{AC}{BC} $。
所以$ AC = BC × \tan B = 5 × \tan 26° $。
因此，用科学计算器求$ AC $的长，按键顺序为$ \boxed{5} × \boxed{\tan} \boxed{2} \boxed{6} \boxed{=} $。
根据正切函数的定义，$ \tan B = \frac{AC}{BC} $。
所以$ AC = BC × \tan B = 5 × \tan 26° $。
因此，用科学计算器求$ AC $的长，按键顺序为$ \boxed{5} × \boxed{\tan} \boxed{2} \boxed{6} \boxed{=} $。
10. (★)已知 $ \beta $ 为锐角,且 $ \tan \beta = 3.387 $,下列度数与 $ \beta $ 度数最接近的是【
A.$ 73^{\circ}33' $
B.$ 73^{\circ}35' $
C.$ 16^{\circ}33' $
D.$ 16^{\circ}34' $
B
】A.$ 73^{\circ}33' $
B.$ 73^{\circ}35' $
C.$ 16^{\circ}33' $
D.$ 16^{\circ}34' $
答案
B
解析
已知$\tan\beta = 3.387$，使用计算器求$\beta$的度数。先按计算器的“$\tan^{-1}$”键，再输入“$3.387$”，得到$\beta\approx73.58^{\circ}$。因为$1^{\circ}=60'$，$0.58^{\circ}×60\approx35'$，所以$\beta\approx73^{\circ}35'$。
11. (★★)在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,已知 $ \sin A = 0.7396 $,则 $ \cos B = $
0.7396
。答案
0.7396
解析
在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，所以∠B=90°-∠A。根据三角函数诱导公式，cosB=cos(90°-∠A)=sinA。已知sinA=0.7396，故cosB=0.7396。
12. (★★)已知 $ \alpha $,$ \beta $ 为任意锐角,若 $ \cos \alpha ＞ \cos \beta $,则 $ \alpha $
＜
(填“$ ＞ $”“$ = $”或“$ ＜ $”)$ \beta $。答案
答题卡：
由题意知$\alpha$，$\beta$为任意锐角，
余弦函数$y = \cos x$在$(0,\frac{\pi}{2})$上单调递减，
因为$\cos\alpha＞\cos\beta$，
所以$\alpha＜\beta$，
本题应填：$ ＜$。
由题意知$\alpha$，$\beta$为任意锐角，
余弦函数$y = \cos x$在$(0,\frac{\pi}{2})$上单调递减，
因为$\cos\alpha＞\cos\beta$，
所以$\alpha＜\beta$，
本题应填：$ ＜$。
13. (★★)如图 $ 28.1 - 35 $,在 $ \odot O $ 中,直径 $ AB \perp $ 弦 $ CD $ 于点 $ E $。若 $ BE = \dfrac{1}{4}CD = 4 $,求 $ \angle COD $的度数。(结果精确到 $ 1^{\circ} $)
答案
设 $ \odot O $ 的半径为 $ R $，则 $ OE = R - BE = R - 4 $，$ CD = 4 × 4 = 16 $ 的 $ \dfrac{1}{4} $ 倍关系已知为 $ BE = \dfrac{1}{4}CD = 4 $，所以 $ CD = 16 $，$ CE = \dfrac{1}{2}CD = 8 $。
在直角三角形 $ OCE $ 中，由勾股定理有：
$ OC^2 = OE^2 + CE^2 $，
即：
$ R^2 = (R - 4)^2 + 8^2 $，
解得：
$ R^2 = (R - 4)^2 + 64 $，
$ R^2 = R^2 - 8R + 16 + 64 $，
$ 8R = 80 $，
$ R = 10 $。
$ \cos \angle COE = \frac{OE}{OC} = \frac{10 - 4}{10} = 0.6 $。
利用反余弦函数：
$ \angle COE \approx 53.13° $。
所以：
$ \angle COD = 2 × \angle COE = 2 × 53.13° \approx 106° $。
最终答案为 $ \angle COD $ 的度数为 $ 106° $。
在直角三角形 $ OCE $ 中，由勾股定理有：
$ OC^2 = OE^2 + CE^2 $，
即：
$ R^2 = (R - 4)^2 + 8^2 $，
解得：
$ R^2 = (R - 4)^2 + 64 $，
$ R^2 = R^2 - 8R + 16 + 64 $，
$ 8R = 80 $，
$ R = 10 $。
$ \cos \angle COE = \frac{OE}{OC} = \frac{10 - 4}{10} = 0.6 $。
利用反余弦函数：
$ \angle COE \approx 53.13° $。
所以：
$ \angle COD = 2 × \angle COE = 2 × 53.13° \approx 106° $。
最终答案为 $ \angle COD $ 的度数为 $ 106° $。
14. (★)(2023·威海)如图 $ 28.1 - 36 $,某商场有一自动扶梯,其倾斜角为 $ 28^{\circ} $,高为 $ 7 $ 米。用计算器求 $ AB $ 的长,下列按键顺序正确的是【
B
】答案
B
解析
根据题意，自动扶梯的倾斜角为 $28°$，高度为 $7$ 米，需要求斜边 $AB$ 的长度。
在直角三角形中，高度与斜边的关系为：
$\sin 28° = \frac{高度}{AB} = \frac{7}{AB}$，
因此，$AB = \frac{7}{\sin 28°}$。
所以正确的按键顺序是 $7 ÷ \sin 28°$。
在直角三角形中，高度与斜边的关系为：
$\sin 28° = \frac{高度}{AB} = \frac{7}{AB}$，
因此，$AB = \frac{7}{\sin 28°}$。
所以正确的按键顺序是 $7 ÷ \sin 28°$。
