1. (★)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C所对的边分别为a$,$b$,$c$,则：
(1)三边之间的关系为(即勾股定理)；
(2)两个锐角之间的关系为；
(3)边角之间的关系为$\sin A = $,$\cos A = $,$\tan A = $。

(1)$a^{2}+b^{2}=c^{2}$；(2)$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$；(3)$\frac{a}{c}$，$\frac{b}{c}$，$\frac{a}{b}$

(1) 在直角三角形中，三边满足勾股定理，即两直角边的平方和等于斜边的平方，所以三边之间的关系为$a^{2}+b^{2}=c^{2}$；
(2) 因为三角形内角和为$180^{\circ}$，直角为$90^{\circ}$，所以两个锐角之和为$90^{\circ}$，即$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$；
(3) 根据锐角三角函数的定义，$\sin A$是$\angle A$的对边与斜边的比，所以$\sin A=\frac{a}{c}$；$\cos A$是$\angle A$的邻边与斜边的比，所以$\cos A = \frac{b}{c}$；$\tan A$是$\angle A$的对边与邻边的比，所以$\tan A=\frac{a}{b}$。

2. (★)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,$AC = 5$,则$BC = $。

$5\sqrt{3}$

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle B=30^{\circ}$，$AC=5$。
$\because \tan B=\frac{AC}{BC}$，$\angle B=30^{\circ}$，
$\therefore \tan 30^{\circ}=\frac{5}{BC}$，
$\because \tan 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore BC=\frac{5}{\tan 30^{\circ}}=5\sqrt{3}$。

3. (★)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 10\ cm$,$\sin A = \frac{4}{5}$,则$BC$的长为$cm$。

8

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，$AB=10\ cm$，则$\frac{BC}{10}=\frac{4}{5}$，解得$BC=8\ cm$。

4. (★★)在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C所对的边分别为a$,$b$,$c$。
(1)已知$a = 10$,$b = 10\sqrt{3}$,求$\angle A$,$\angle B$,$c$；
(2)已知$a = 3\sqrt{6}$,$\angle A = 30^{\circ}$,求$\angle B$,$b$,$c$。

(1)
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$a=10$，$b=10\sqrt{3}$
$\tan A=\frac{a}{b}=\frac{10}{10\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\angle A=30^{\circ}$
$\angle B=90^{\circ}-\angle A=60^{\circ}$
$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{10^{2}+(10\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{100 + 300}=\sqrt{400}=20$
(2)
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$a=3\sqrt{6}$，$\angle A=30^{\circ}$
$\angle B=90^{\circ}-\angle A=60^{\circ}$
$\sin A=\frac{a}{c}$，$c=\frac{a}{\sin A}=\frac{3\sqrt{6}}{\sin 30^{\circ}}=\frac{3\sqrt{6}}{\frac{1}{2}}=6\sqrt{6}$
$\tan A=\frac{a}{b}$，$b=\frac{a}{\tan A}=\frac{3\sqrt{6}}{\tan 30^{\circ}}=\frac{3\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\sqrt{6}×\sqrt{3}=3\sqrt{18}=9\sqrt{2}$

(1)在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$a=10$，$b=10\sqrt{3}$
$\tan A=\frac{a}{b}=\frac{10}{10\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$\angle A=30^{\circ}$
$\angle B=90^{\circ}-\angle A=60^{\circ}$
$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{10^{2}+(10\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{100 + 300}=\sqrt{400}=20$
(2)在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle A=30^{\circ}$，$a=3\sqrt{6}$
$\angle B=90^{\circ}-\angle A=60^{\circ}$
$\sin A=\frac{a}{c}$，即$\sin 30^{\circ}=\frac{3\sqrt{6}}{c}$，$\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{6}}{c}$，解得$c=6\sqrt{6}$
$\tan A=\frac{a}{b}$，即$\tan 30^{\circ}=\frac{3\sqrt{6}}{b}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3\sqrt{6}}{b}$，解得$b=9\sqrt{2}$

5. (★)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,已知$BC = 2\sqrt{6}$,$AC = 6\sqrt{2}$,解此直角三角形。

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90°$，$BC=2\sqrt{6}$，$AC=6\sqrt{2}$。
1. 求斜边$AB$：
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(6\sqrt{2})^2+(2\sqrt{6})^2}=\sqrt{72+24}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$。
2. 求$\angle A$：
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{2\sqrt{6}}{6\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore \angle A=30°$。
3. 求$\angle B$：
$\angle B=90°-\angle A=90°-30°=60°$。
结论：$AB=4\sqrt{6}$，$\angle A=30°$，$\angle B=60°$。

6. (★)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$a$,$b$,$c分别是\angle A$,$\angle B$,$\angle C$的对边,$c = 8\sqrt{2}$,$\angle A = 45^{\circ}$,解这个直角三角形。

在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90{°}$，
$\angle A = 45{°}$，
所以$\angle B = 90{°} - \angle A = 45{°}$。
由于$\angle A = \angle B$，根据等腰直角三角形的性质，得到$a = b$。
已知$c = 8\sqrt{2}$，根据勾股定理，有$a^{2} + b^{2} = c^{2}$。
将$a = b$和$c = 8\sqrt{2}$代入，得到：
$2a^{2} = (8\sqrt{2})^{2} = 128$
$a^{2} = 64$
从中得出，$a = b = 8$。
综上，这个直角三角形的各方解为：
$\angle A = 45{°}$，
$\angle B = 45{°}$，
$a = 8$，
$b = 8$，
$c = 8\sqrt{2}$。