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2. (2024秋金沙县期末)方程 $3x - 5 = 4x + 8$
经移项得 $3x - 4x = 8 + 5$，这实际上是在方程两边都加上 $\quad (\quad)$
A.$4x - 5$
B.$4x + 5$
C.$-4x - 5$
D.$-4x + 5$
经移项得 $3x - 4x = 8 + 5$，这实际上是在方程两边都加上 $\quad (\quad)$
A.$4x - 5$
B.$4x + 5$
C.$-4x - 5$
D.$-4x + 5$
答案
D
解析
【分析】
本题考查移项的本质依据，解题思路如下：首先回忆等式的性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立，移项的本质就是利用这个性质对等式变形。我们可以通过两种思路推导：一是正向推导，要将原方程中右边的$4x$移到左边、左边的$-5$移到右边，需要消去右边的$4x$和左边的$-5$，即两边同时加$4x$的相反数$-4x$，同时加$-5$的相反数$5$，合并这两个要加的整式即可得到结果；二是反向验证，将选项中的整式分别代入原方程两边同时相加，看是否能得到移项后的式子。
【解析】
根据等式的性质1，对原方程$3x - 5 = 4x + 8$进行变形：
1. 若要消去等式右侧的$4x$，需在等式两边同时加$-4x$，得：
$3x - 5 - 4x = 4x + 8 - 4x$，化简为$3x - 4x - 5 = 8$；
2. 若要消去等式左侧的$-5$，需在等式两边同时加$5$，得：
$3x - 4x - 5 + 5 = 8 + 5$，化简为$3x - 4x = 8 + 5$。
将两次添加的整式合并，即等式两边同时加上了$-4x + 5$，对应选项D。
也可代入验证：将选项D的整式同时加在原方程两边，左边为$3x - 5 + (-4x + 5) = 3x - 4x$，右边为$4x + 8 + (-4x + 5) = 8 + 5$，恰好是移项后的结果，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质；移项法则
【点评】
本题考查对一元一次方程移项本质的理解，不是机械记忆移项变号的规则，而是回归等式性质理解变形的逻辑，能帮助学生夯实方程变形的基础，是典型的基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
本题考查移项的本质依据，解题思路如下：首先回忆等式的性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立，移项的本质就是利用这个性质对等式变形。我们可以通过两种思路推导：一是正向推导，要将原方程中右边的$4x$移到左边、左边的$-5$移到右边，需要消去右边的$4x$和左边的$-5$，即两边同时加$4x$的相反数$-4x$，同时加$-5$的相反数$5$，合并这两个要加的整式即可得到结果；二是反向验证，将选项中的整式分别代入原方程两边同时相加，看是否能得到移项后的式子。
【解析】
根据等式的性质1，对原方程$3x - 5 = 4x + 8$进行变形：
1. 若要消去等式右侧的$4x$，需在等式两边同时加$-4x$，得：
$3x - 5 - 4x = 4x + 8 - 4x$，化简为$3x - 4x - 5 = 8$；
2. 若要消去等式左侧的$-5$，需在等式两边同时加$5$，得：
$3x - 4x - 5 + 5 = 8 + 5$，化简为$3x - 4x = 8 + 5$。
将两次添加的整式合并，即等式两边同时加上了$-4x + 5$，对应选项D。
也可代入验证：将选项D的整式同时加在原方程两边，左边为$3x - 5 + (-4x + 5) = 3x - 4x$，右边为$4x + 8 + (-4x + 5) = 8 + 5$，恰好是移项后的结果，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质；移项法则
【点评】
本题考查对一元一次方程移项本质的理解，不是机械记忆移项变号的规则，而是回归等式性质理解变形的逻辑，能帮助学生夯实方程变形的基础，是典型的基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
3. (2024秋合江县期末)方程$3x+4=2x-5$移项后，正确的是（
A.$3x+2x=4-5$
B.$3x-2x=4-5$
C.$3x-2x=-5-4$
D.$3x+2x=-5-4$
C
）A.$3x+2x=4-5$
B.$3x-2x=4-5$
C.$3x-2x=-5-4$
D.$3x+2x=-5-4$
答案
C
解析
【分析】
这道题考查一元一次方程移项的规则，解题思路如下：首先明确移项的核心要求：把方程中的项从等号的一边移到另一边时，必须改变该项的符号。我们的目标是将含未知数x的项统一移到等号左侧，常数项统一移到等号右侧。原方程中右侧的2x是含x的项，需要移到左侧，符号要从正变负；左侧的常数项4需要移到右侧，符号要从正变负，据此得到移项后的式子，再对应选项判断即可。
【解析】
根据移项法则：移项要变号，对原方程$3x+4=2x-5$进行变形：
1. 将等号右侧的$2x$移到左侧，变为$-2x$；
2. 将等号左侧的$+4$移到右侧，变为$-4$；
因此移项后得到：$3x-2x=-5-4$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
移项法则，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查移项的操作规则，易错点为移项时忘记改变符号，要注意：只有从等号一侧移到另一侧的项才需要变号，在等号同侧交换项的位置不需要变号。
【难度系数】
0.8
这道题考查一元一次方程移项的规则，解题思路如下：首先明确移项的核心要求：把方程中的项从等号的一边移到另一边时，必须改变该项的符号。我们的目标是将含未知数x的项统一移到等号左侧，常数项统一移到等号右侧。原方程中右侧的2x是含x的项，需要移到左侧，符号要从正变负；左侧的常数项4需要移到右侧，符号要从正变负，据此得到移项后的式子，再对应选项判断即可。
【解析】
根据移项法则：移项要变号，对原方程$3x+4=2x-5$进行变形：
1. 将等号右侧的$2x$移到左侧，变为$-2x$；
2. 将等号左侧的$+4$移到右侧，变为$-4$；
因此移项后得到：$3x-2x=-5-4$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
移项法则，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查移项的操作规则，易错点为移项时忘记改变符号，要注意：只有从等号一侧移到另一侧的项才需要变号，在等号同侧交换项的位置不需要变号。
【难度系数】
0.8
4. (2024秋天河区期末)方程$8y - 9 = 9 - y$的解是（
A.$y = -2$
B.$y = \frac{18}{7}$
C.$y = 0$
D.$y = 2$
D
）A.$y = -2$
B.$y = \frac{18}{7}$
C.$y = 0$
D.$y = 2$
答案
D
解析
【分析】
这是一道求解一元一次方程的基础题，解题遵循常规步骤：第一步移项，将含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，注意移项要变号；第二步合并同类项，将方程左右两边的同类项分别合并；第三步系数化为1，求出未知数的值后对应选项判断即可。
【解析】
解：对方程$8y - 9 = 9 - y$进行求解：
1. 移项：将含$y$的项移到左边，常数项移到右边，移项变号得 $8y + y = 9 + 9$
2. 合并同类项：计算左右两边得 $9y = 18$
3. 系数化为1：两边同时除以9得 $y = 2$
因此方程的解为$y=2$。
【答案】
D
【知识点】
移项法则，解一元一次方程，合并同类项
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用移项解一元一次方程的掌握程度，解题时需注意移项要改变符号，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.9
这是一道求解一元一次方程的基础题，解题遵循常规步骤：第一步移项，将含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，注意移项要变号；第二步合并同类项，将方程左右两边的同类项分别合并；第三步系数化为1，求出未知数的值后对应选项判断即可。
【解析】
解：对方程$8y - 9 = 9 - y$进行求解：
1. 移项：将含$y$的项移到左边，常数项移到右边，移项变号得 $8y + y = 9 + 9$
2. 合并同类项：计算左右两边得 $9y = 18$
3. 系数化为1：两边同时除以9得 $y = 2$
因此方程的解为$y=2$。
【答案】
D
【知识点】
移项法则，解一元一次方程，合并同类项
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用移项解一元一次方程的掌握程度，解题时需注意移项要改变符号，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.9
5. 把方程$9y - 3 = 4y + 1$变形为$9y - 4y = 1 + 3$，这种变形称为
移项
，移项要注意变号
，移项的依据是等式的性质1
。答案
移项 变号 等式的性质1
解析
【分析】
本题考查解一元一次方程中移项的相关基础概念，解题思路如下：首先回忆移项的定义，判断题目中的变形属于哪种方程变形；再结合变形前后项的符号变化，总结移项的注意事项；最后根据等式的基本性质，推导移项的理论依据。
【解析】
观察方程的变形：原方程为$9y - 3 = 4y + 1$，变形后右侧的$4y$改变符号后移到了左侧，左侧的$-3$改变符号后移到了右侧，符合“把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边”的变形特征，这种变形称为移项；
对比变形前后移动的项的符号，可知移项要注意变号；
移项的本质是等式两边同时加上或减去同一个整式，该操作的依据是等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
【答案】
移项 变号 等式的性质1
【知识点】
移项的概念；等式的性质1；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，重点考查移项的相关规则，是后续熟练解一元一次方程的必备基础。
【难度系数】
0.9
本题考查解一元一次方程中移项的相关基础概念，解题思路如下：首先回忆移项的定义，判断题目中的变形属于哪种方程变形；再结合变形前后项的符号变化，总结移项的注意事项；最后根据等式的基本性质，推导移项的理论依据。
【解析】
观察方程的变形：原方程为$9y - 3 = 4y + 1$，变形后右侧的$4y$改变符号后移到了左侧，左侧的$-3$改变符号后移到了右侧，符合“把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边”的变形特征，这种变形称为移项；
对比变形前后移动的项的符号，可知移项要注意变号；
移项的本质是等式两边同时加上或减去同一个整式，该操作的依据是等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
【答案】
移项 变号 等式的性质1
【知识点】
移项的概念；等式的性质1；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，重点考查移项的相关规则，是后续熟练解一元一次方程的必备基础。
【难度系数】
0.9
6.若代数式$3x - 4$与$x + 2$的值相等，则$x=$
3
.答案
3
解析
【分析】
首先根据题目中“两个代数式的值相等”这一核心等量关系，可以列出对应的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤求解即可：第一步移项，注意移项要改变符号，将含未知数的项统一移到方程左侧，常数项统一移到方程右侧；第二步合并同类项；第三步将未知数的系数化为1，即可得到x的取值。
【解析】
解：由题意得，两个代数式值相等，可列方程：
$3x - 4 = x + 2$
移项，得：$3x - x = 2 + 4$
合并同类项，得：$2x = 6$
系数化为1，得：$x = 3$
【答案】
3
【知识点】
列一元一次方程；移项解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，考查根据等量关系列方程的能力，以及移项法解一元一次方程的掌握程度，解题时注意牢记移项要变号的规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
首先根据题目中“两个代数式的值相等”这一核心等量关系，可以列出对应的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤求解即可：第一步移项，注意移项要改变符号，将含未知数的项统一移到方程左侧，常数项统一移到方程右侧；第二步合并同类项；第三步将未知数的系数化为1，即可得到x的取值。
【解析】
解：由题意得，两个代数式值相等，可列方程：
$3x - 4 = x + 2$
移项，得：$3x - x = 2 + 4$
合并同类项，得：$2x = 6$
系数化为1，得：$x = 3$
【答案】
3
【知识点】
列一元一次方程；移项解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，考查根据等量关系列方程的能力，以及移项法解一元一次方程的掌握程度，解题时注意牢记移项要变号的规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
7. 解下列方程：
(1)$2x - 4 = 5x + 5$；
(2)$7.9x + 1.58 + x = 7.9x - 8.42$；
(3)$2x - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}x + 2$。
(1)$2x - 4 = 5x + 5$；
(2)$7.9x + 1.58 + x = 7.9x - 8.42$；
(3)$2x - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}x + 2$。
答案
解:(1)移项,得$2x-5x=5+4$.
合并同类项,得$-3x=9$.
系数化为1,得$x=-3$.
(2)移项,得$7.9x+x-7.9x=-8.42-1.58$.
合并同类项,得$x=-10$.
(3)移项,得$2x+\frac{1}{2}x=2+\frac{1}{2}$.
合并同类项,得$\frac{5}{2}x=\frac{5}{2}$.
系数化为1,得$x=1$.
合并同类项,得$-3x=9$.
系数化为1,得$x=-3$.
(2)移项,得$7.9x+x-7.9x=-8.42-1.58$.
合并同类项,得$x=-10$.
(3)移项,得$2x+\frac{1}{2}x=2+\frac{1}{2}$.
合并同类项,得$\frac{5}{2}x=\frac{5}{2}$.
系数化为1,得$x=1$.
解析
【分析】
这三道题均为一元一次方程，可按照移项解一元一次方程的标准步骤求解：第一步移项，将含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，注意移项需要改变符号；第二步合并同类项，分别对方程左右两边的同类项进行合并化简；第三步系数化为1，方程两边同时除以未知数的系数，即可得到方程的解。
【解析】
(1)移项,得$2x-5x=5+4$.
合并同类项,得$-3x=9$.
系数化为1,得$x=-3$.
(2)移项,得$7.9x+x-7.9x=-8.42-1.58$.
合并同类项,得$x=-10$.
(3)移项,得$2x+\frac{1}{2}x=2+\frac{1}{2}$.
合并同类项,得$\frac{5}{2}x=\frac{5}{2}$.
系数化为1,得$x=1$.
【答案】
(1)$x=-3$；(2)$x=-10$；(3)$x=1$
【知识点】
一元一次方程解法、移项法则、合并同类项
【点评】
这三道题是利用移项解一元一次方程的基础题型，核心考查移项要变号的运算规则，熟练掌握移项、合并同类项、系数化为1的步骤即可快速求解，是巩固一元一次方程解法的典型习题。
【难度系数】
0.85
这三道题均为一元一次方程，可按照移项解一元一次方程的标准步骤求解：第一步移项，将含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，注意移项需要改变符号；第二步合并同类项，分别对方程左右两边的同类项进行合并化简；第三步系数化为1，方程两边同时除以未知数的系数，即可得到方程的解。
【解析】
(1)移项,得$2x-5x=5+4$.
合并同类项,得$-3x=9$.
系数化为1,得$x=-3$.
(2)移项,得$7.9x+x-7.9x=-8.42-1.58$.
合并同类项,得$x=-10$.
(3)移项,得$2x+\frac{1}{2}x=2+\frac{1}{2}$.
合并同类项,得$\frac{5}{2}x=\frac{5}{2}$.
系数化为1,得$x=1$.
【答案】
(1)$x=-3$；(2)$x=-10$；(3)$x=1$
【知识点】
一元一次方程解法、移项法则、合并同类项
【点评】
这三道题是利用移项解一元一次方程的基础题型，核心考查移项要变号的运算规则，熟练掌握移项、合并同类项、系数化为1的步骤即可快速求解，是巩固一元一次方程解法的典型习题。
【难度系数】
0.85
8.某班级劳动时,将全班同学分成x个小组,若每小组9人,则余下3人;若每小组10人,则有一组少4人.要使每组人数相同,可以将组数调整为（
A.4组
B.5组
C.6组
D.7组
C
）A.4组
B.5组
C.6组
D.7组
答案
C
解析
【分析】
解题时首先抓住“全班总人数不变”这一核心不变量，根据两种不同分组的人数表示方法列出一元一次方程，先求解得到原来的小组数和全班总人数，再判断总人数能被哪个选项的组数整除（即每组人数为整数），即可得到正确答案。
【解析】
解：由全班总人数不变，可列方程：
$9x + 3 = 10x - 4$
移项，得：$3 + 4 = 10x - 9x$
合并同类项，得：$x = 7$
则全班总人数为：$9×7 + 3 = 66$（人）
要使每组人数相同，即总人数能被组数整除：
A选项：$66÷4=16.5$，不是整数，不符合；
B选项：$66÷5=13.2$，不是整数，不符合；
C选项：$66÷6=11$，是整数，符合要求；
D选项：$66÷7$结果不是整数，不符合。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；移项解方程；整除判断
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是找到总人数不变的等量关系建立方程，再通过整除判断正确的分组方式，既考查了一元一次方程的解法，也考查了用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住“全班总人数不变”这一核心不变量，根据两种不同分组的人数表示方法列出一元一次方程，先求解得到原来的小组数和全班总人数，再判断总人数能被哪个选项的组数整除（即每组人数为整数），即可得到正确答案。
【解析】
解：由全班总人数不变，可列方程：
$9x + 3 = 10x - 4$
移项，得：$3 + 4 = 10x - 9x$
合并同类项，得：$x = 7$
则全班总人数为：$9×7 + 3 = 66$（人）
要使每组人数相同，即总人数能被组数整除：
A选项：$66÷4=16.5$，不是整数，不符合；
B选项：$66÷5=13.2$，不是整数，不符合；
C选项：$66÷6=11$，是整数，符合要求；
D选项：$66÷7$结果不是整数，不符合。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；移项解方程；整除判断
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是找到总人数不变的等量关系建立方程，再通过整除判断正确的分组方式，既考查了一元一次方程的解法，也考查了用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
9.《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,原文如下:今有人共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何? 大意为:现有一些人共同买一个物品,每人出8元,还盈余3元;每人出7元,则还差4元.问:共有多少人?这个物品的价格是多少?请解答上述问题.
答案
解:设共有x人.
由题意,得$8x-3=7x+4$,
解得$x=7$.
所以$8x-3=53$.
答:共有7人,这个物品的价格是53元.
由题意,得$8x-3=7x+4$,
解得$x=7$.
所以$8x-3=53$.
答:共有7人,这个物品的价格是53元.
解析
【分析】解决本题的核心是找到题目中的不变量——物品的价格，以此作为等量关系列方程。首先设人数为未知数x，分别用两种出钱方式表示物品价格：每人出8元时总钱数比物价多3元，因此物价为$8x-3$；每人出7元时总钱数比物价少4元，因此物价为$7x+4$，两个式子均表示同一物品的价格，据此列一元一次方程求解，得到人数后代入任意一个物价表达式即可算出物品价格。
【解析】解：设共有x人。
由题意，物品价格固定，可得方程：
$8x-3=7x+4$
移项得：$8x-7x=4+3$
合并同类项得：$x=7$
将$x=7$代入$8x-3$，计算物品价格为：$8×7-3=53$（元）
答：共有7人，这个物品的价格是53元。
【答案】共有7人，物品的价格是53元。
【知识点】一元一次方程的应用；移项解一元一次方程
【点评】本题是古代经典的盈不足类应用题，解题关键是抓住题目中的不变量建立等量关系，将实际问题转化为一元一次方程求解，侧重考查学生用方程思想解决实际问题的能力。
【难度系数】0.8
【解析】解：设共有x人。
由题意，物品价格固定，可得方程：
$8x-3=7x+4$
移项得：$8x-7x=4+3$
合并同类项得：$x=7$
将$x=7$代入$8x-3$，计算物品价格为：$8×7-3=53$（元）
答：共有7人，这个物品的价格是53元。
【答案】共有7人，物品的价格是53元。
【知识点】一元一次方程的应用；移项解一元一次方程
【点评】本题是古代经典的盈不足类应用题，解题关键是抓住题目中的不变量建立等量关系，将实际问题转化为一元一次方程求解，侧重考查学生用方程思想解决实际问题的能力。
【难度系数】0.8
10. 用“※”定义一种新运算:对于任意有理数a和b,规定$a※b=a(a+b)$.例如:$1※2=1×(1+2)=1×3=3$.
(1)求$(-3)※5$的值;
(2)若$(-2)※(3x-2)=x+1$,求$x$的值.
(1)求$(-3)※5$的值;
(2)若$(-2)※(3x-2)=x+1$,求$x$的值.
答案
解:(1)$(-3)※5=(-3)×[(-3)+5]=(-3)×2=-6$.
(2)$(-2)※(3x-2)=(-2)×[(-2)+(3x-2)]=(-2)×(3x-4)=-6x+8$.
因为$(-2)※(3x-2)=x+1$,
所以$-6x+8=x+1$,
解得$x=1$.
(2)$(-2)※(3x-2)=(-2)×[(-2)+(3x-2)]=(-2)×(3x-4)=-6x+8$.
因为$(-2)※(3x-2)=x+1$,
所以$-6x+8=x+1$,
解得$x=1$.
解析
【分析】
解决本题首先要准确理解新运算“※”的规则：对于任意有理数a和b，a※b等于第一个数a乘a与b的和。(1)问直接将a=-3、b=5代入新运算公式，按照有理数混合运算顺序计算即可；(2)问先将a=-2、b=3x-2代入新运算公式，把左边的式子化简为整式，再根据题意列出一元一次方程，通过移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解x的值。
【解析】
(1)根据新运算规则可得：
$(-3)※5=(-3)×[(-3)+5]=(-3)×2=-6$
(2)先按照新运算规则化简左边的式子：
$(-2)※(3x-2)=(-2)×[(-2)+(3x-2)]=(-2)×(3x-4)=-6x+8$
根据题意$(-2)※(3x-2)=x+1$，代入化简后的式子可得方程：
$-6x+8=x+1$
移项得：$-6x - x = 1 - 8$
合并同类项得：$-7x = -7$
系数化为1得：$x=1$
【答案】
(1)$-6$；(2)$x=1$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程，有理数混合运算
【点评】
本题是新定义类基础题，核心是准确理解新运算的规则，将陌生运算转化为我们熟悉的四则运算和方程求解，注重对基础运算能力和知识迁移能力的考查。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要准确理解新运算“※”的规则：对于任意有理数a和b，a※b等于第一个数a乘a与b的和。(1)问直接将a=-3、b=5代入新运算公式，按照有理数混合运算顺序计算即可；(2)问先将a=-2、b=3x-2代入新运算公式，把左边的式子化简为整式，再根据题意列出一元一次方程，通过移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解x的值。
【解析】
(1)根据新运算规则可得：
$(-3)※5=(-3)×[(-3)+5]=(-3)×2=-6$
(2)先按照新运算规则化简左边的式子：
$(-2)※(3x-2)=(-2)×[(-2)+(3x-2)]=(-2)×(3x-4)=-6x+8$
根据题意$(-2)※(3x-2)=x+1$，代入化简后的式子可得方程：
$-6x+8=x+1$
移项得：$-6x - x = 1 - 8$
合并同类项得：$-7x = -7$
系数化为1得：$x=1$
【答案】
(1)$-6$；(2)$x=1$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程，有理数混合运算
【点评】
本题是新定义类基础题，核心是准确理解新运算的规则，将陌生运算转化为我们熟悉的四则运算和方程求解，注重对基础运算能力和知识迁移能力的考查。
【难度系数】
0.8
