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5. 如图,从点O引四条射线OA,OB,OC,OD,如果$∠ AOC = 90°,∠ BOD = 90°$.
(1)若$∠ BOC=35°$,求$∠ AOB$与$∠ COD$的大小;
(2)若$∠ BOC=50°$,求$∠ AOB$与$∠ COD$的大小;
(3)$∠ AOB$与$∠ COD$的大小有什么关系?
【智慧提升】
6. (1)1时20分时,时钟的时针与分针的夹角是几度?2时15分时,时钟的时针与分针的夹角又是几度?
(2)从1时15分到1时35分,时钟的分针与时针各转过了多大角度?
(3)时钟的分针从4时整的位置起,按顺时针方向旋转多少度时才能与时针重合?(精确到$0.1°$)
(1)若$∠ BOC=35°$,求$∠ AOB$与$∠ COD$的大小;
(2)若$∠ BOC=50°$,求$∠ AOB$与$∠ COD$的大小;
(3)$∠ AOB$与$∠ COD$的大小有什么关系?
【智慧提升】
6. (1)1时20分时,时钟的时针与分针的夹角是几度?2时15分时,时钟的时针与分针的夹角又是几度?
(2)从1时15分到1时35分,时钟的分针与时针各转过了多大角度?
(3)时钟的分针从4时整的位置起,按顺时针方向旋转多少度时才能与时针重合?(精确到$0.1°$)
答案
5. (1)$∠AOB = 55°, ∠COD = 55°$ (2)$∠AOB = 40°, ∠COD = 40°$ (3)$∠AOB = ∠COD$
6. (1)$80°;22. 5°$ (2) $120°;10°$ (3) $130. 9°$
6. (1)$80°;22. 5°$ (2) $120°;10°$ (3) $130. 9°$
解析
【分析】
第5题解题思路：已知∠AOC和∠BOD均为直角，可得∠AOB与∠BOC互余、∠COD与∠BOC互余，前两问直接用90°减去∠BOC的度数即可求出对应角的大小；第(3)问通过推导∠AOB和∠COD的表达式，即可得出二者的大小关系。
第6题解题思路：解决时钟角度问题首先要明确两个基础速度：分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°。(1)计算某时刻的夹角，分别求出时针、分针从12时整转过的总角度，再求角度差即可；(2)先计算经过的时间差，分别乘时针、分针的转动速度，即可得到转过的角度；(3)4时整时针领先分针120°，属于追及问题，先求出追及时间，再乘分针的转动速度即可得到分针旋转的角度。
【解析】
第5题
(1) 已知∠AOC=90°，则∠AOB + ∠BOC = 90°，代入∠BOC=35°，得∠AOB=90°-35°=55°；
又∠BOD=90°，则∠COD + ∠BOC = 90°，代入∠BOC=35°，得∠COD=90°-35°=55°。
(2) 同理，∠AOB=90°-∠BOC=90°-50°=40°；
∠COD=90°-∠BOC=90°-50°=40°。
(3) 由∠AOB=90°-∠BOC，∠COD=90°-∠BOC，可得∠AOB=∠COD。
第6题
基础结论：时钟一圈为360°，分针60分钟转一圈，故分针每分钟转$360°÷60=6°$；时针12小时转一圈，故时针每小时转$360°÷12=30°$，每分钟转$30°÷60=0.5°$。
(1) 1时20分：时针转过的总角度为$1×30° + 20×0.5°=40°$，分针转过的总角度为$20×6°=120°$，夹角为$120°-40°=80°$；
2时15分：时针转过的总角度为$2×30° + 15×0.5°=67.5°$，分针转过的总角度为$15×6°=90°$，夹角为$90°-67.5°=22.5°$。
(2) 从1时15分到1时35分共经过20分钟：
分针转过的角度为$20×6°=120°$；
时针转过的角度为$20×0.5°=10°$。
(3) 4时整时，时针领先分针的角度为$4×30°=120°$。设经过x分钟分针与时针重合，此时分针比时针多转120°，列方程：
$6x - 0.5x = 120$
解得$x=\frac{240}{11}$
分针旋转的角度为$6×\frac{240}{11}\approx130.9°$。
【答案】
5. (1)$∠AOB = 55°, ∠COD = 55°$ (2)$∠AOB = 40°, ∠COD = 40°$ (3)$∠AOB = ∠COD$
6. (1)$80°;22.5°$ (2) $120°;10°$ (3) $130.9°$
【知识点】
余角的性质，角的和差运算，时钟角度计算
【点评】
第5题侧重考查余角性质的应用，通过具体计算可直观体会同角的余角相等的规律，难度较低；第6题结合生活场景考查角的运算，需要熟练掌握时针、分针的转动速度，能将时间问题转化为角度的和差或追及问题求解，整体侧重对基础运算能力和知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
第5题解题思路：已知∠AOC和∠BOD均为直角，可得∠AOB与∠BOC互余、∠COD与∠BOC互余，前两问直接用90°减去∠BOC的度数即可求出对应角的大小；第(3)问通过推导∠AOB和∠COD的表达式，即可得出二者的大小关系。
第6题解题思路：解决时钟角度问题首先要明确两个基础速度：分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°。(1)计算某时刻的夹角，分别求出时针、分针从12时整转过的总角度，再求角度差即可；(2)先计算经过的时间差，分别乘时针、分针的转动速度，即可得到转过的角度；(3)4时整时针领先分针120°，属于追及问题，先求出追及时间，再乘分针的转动速度即可得到分针旋转的角度。
【解析】
第5题
(1) 已知∠AOC=90°，则∠AOB + ∠BOC = 90°，代入∠BOC=35°，得∠AOB=90°-35°=55°；
又∠BOD=90°，则∠COD + ∠BOC = 90°，代入∠BOC=35°，得∠COD=90°-35°=55°。
(2) 同理，∠AOB=90°-∠BOC=90°-50°=40°；
∠COD=90°-∠BOC=90°-50°=40°。
(3) 由∠AOB=90°-∠BOC，∠COD=90°-∠BOC，可得∠AOB=∠COD。
第6题
基础结论：时钟一圈为360°，分针60分钟转一圈，故分针每分钟转$360°÷60=6°$；时针12小时转一圈，故时针每小时转$360°÷12=30°$，每分钟转$30°÷60=0.5°$。
(1) 1时20分：时针转过的总角度为$1×30° + 20×0.5°=40°$，分针转过的总角度为$20×6°=120°$，夹角为$120°-40°=80°$；
2时15分：时针转过的总角度为$2×30° + 15×0.5°=67.5°$，分针转过的总角度为$15×6°=90°$，夹角为$90°-67.5°=22.5°$。
(2) 从1时15分到1时35分共经过20分钟：
分针转过的角度为$20×6°=120°$；
时针转过的角度为$20×0.5°=10°$。
(3) 4时整时，时针领先分针的角度为$4×30°=120°$。设经过x分钟分针与时针重合，此时分针比时针多转120°，列方程：
$6x - 0.5x = 120$
解得$x=\frac{240}{11}$
分针旋转的角度为$6×\frac{240}{11}\approx130.9°$。
【答案】
5. (1)$∠AOB = 55°, ∠COD = 55°$ (2)$∠AOB = 40°, ∠COD = 40°$ (3)$∠AOB = ∠COD$
6. (1)$80°;22.5°$ (2) $120°;10°$ (3) $130.9°$
【知识点】
余角的性质，角的和差运算，时钟角度计算
【点评】
第5题侧重考查余角性质的应用，通过具体计算可直观体会同角的余角相等的规律，难度较低；第6题结合生活场景考查角的运算，需要熟练掌握时针、分针的转动速度，能将时间问题转化为角度的和差或追及问题求解，整体侧重对基础运算能力和知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
7.你知道五角星的五个角的和是多少度吗？你是如何知道的？观察如图所示的五角星图案，用量角器测出各个角的度数.
答案
7. 五角星的五个角的和是$180°$.
解析
【分析】
要计算五角星五个角的和，我们可以从两种思路出发思考：1. 测量法：直接使用量角器分别测量五角星5个尖角的度数，再将测得的度数相加，即可得到五个角的总度数，这是我们学习角的度量后最直接的求解方法；2. 推导法：利用三角形外角性质和内角和定理，可将五个分散的角转化到同一个三角形中，无需测量就能直接通过定理计算出总和，是更快捷的几何推导方法。
【解析】
方法一：测量法
用量角器分别测量五角星的五个尖角，测得每个角的度数均约为$36°$，因此五个角的和为：
$36° × 5 = 180°$
方法二：几何推导法
标记五角星的五个尖角分别为$∠ A、∠ B、∠ C、∠ D、∠ E$，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得包含$∠ A$的三角形的两个底角分别等于$∠ B+∠ D$、$∠ C+∠ E$；再结合三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ A + (∠ B+∠ D) + (∠ C+∠ E) = 180°$
即五角星五个角的和为$180°$。
【答案】
五角星的五个角的和是$180°$。
【知识点】
角的度量；角的和差计算；三角形内角和定理
【点评】
本题兼顾实操性和逻辑性，既考察了学生动手测量角的基础能力，也引导学生探索几何结论的推导思路，能帮助学生体会实际测量与理论推导的关联，初步建立几何转化思维。
【难度系数】
0.7
要计算五角星五个角的和，我们可以从两种思路出发思考：1. 测量法：直接使用量角器分别测量五角星5个尖角的度数，再将测得的度数相加，即可得到五个角的总度数，这是我们学习角的度量后最直接的求解方法；2. 推导法：利用三角形外角性质和内角和定理，可将五个分散的角转化到同一个三角形中，无需测量就能直接通过定理计算出总和，是更快捷的几何推导方法。
【解析】
方法一：测量法
用量角器分别测量五角星的五个尖角，测得每个角的度数均约为$36°$，因此五个角的和为：
$36° × 5 = 180°$
方法二：几何推导法
标记五角星的五个尖角分别为$∠ A、∠ B、∠ C、∠ D、∠ E$，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得包含$∠ A$的三角形的两个底角分别等于$∠ B+∠ D$、$∠ C+∠ E$；再结合三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ A + (∠ B+∠ D) + (∠ C+∠ E) = 180°$
即五角星五个角的和为$180°$。
【答案】
五角星的五个角的和是$180°$。
【知识点】
角的度量；角的和差计算；三角形内角和定理
【点评】
本题兼顾实操性和逻辑性，既考察了学生动手测量角的基础能力，也引导学生探索几何结论的推导思路，能帮助学生体会实际测量与理论推导的关联，初步建立几何转化思维。
【难度系数】
0.7
