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8. 式子$a^{2m+3}$不能写成 （
A.$a^{2m} · a^3$
B.$a^m · a^{m+3}$
C.$a^{2m}+3$
D.$a^{m+1} · a^{m+2}$
C
）A.$a^{2m} · a^3$
B.$a^m · a^{m+3}$
C.$a^{2m}+3$
D.$a^{m+1} · a^{m+2}$
答案
8. C
解析
【分析】
本题考查同底数幂乘法法则的应用，解题思路是先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。再逐一计算每个选项的结果，和题干中的$a^{2m+3}$对比，找出不符合的选项即可，同时要注意区分幂的乘法运算和整式加法运算的区别。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^p·a^q=a^{p+q}$（$a≠0$，$p、q$为正整数），逐一验证选项：
选项A：$a^{2m}·a^3=a^{2m+3}$，与原式相等，不符合题意；
选项B：$a^m·a^{m+3}=a^{m+m+3}=a^{2m+3}$，与原式相等，不符合题意；
选项C：$a^{2m}$和3不是同类项，无法合并，结果不等于$a^{2m+3}$，符合题意；
选项D：$a^{m+1}·a^{m+2}=a^{(m+1)+(m+2)}=a^{2m+3}$，与原式相等，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 合并同类项
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则，同时要注意区分幂的乘法和整式加法的运算规则，只有同类项才能进行合并运算，不要混淆两类运算的规律。
【难度系数】
0.9
本题考查同底数幂乘法法则的应用，解题思路是先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。再逐一计算每个选项的结果，和题干中的$a^{2m+3}$对比，找出不符合的选项即可，同时要注意区分幂的乘法运算和整式加法运算的区别。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^p·a^q=a^{p+q}$（$a≠0$，$p、q$为正整数），逐一验证选项：
选项A：$a^{2m}·a^3=a^{2m+3}$，与原式相等，不符合题意；
选项B：$a^m·a^{m+3}=a^{m+m+3}=a^{2m+3}$，与原式相等，不符合题意；
选项C：$a^{2m}$和3不是同类项，无法合并，结果不等于$a^{2m+3}$，符合题意；
选项D：$a^{m+1}·a^{m+2}=a^{(m+1)+(m+2)}=a^{2m+3}$，与原式相等，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 合并同类项
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则，同时要注意区分幂的乘法和整式加法的运算规则，只有同类项才能进行合并运算，不要混淆两类运算的规律。
【难度系数】
0.9
9. 若$3^x=2,3^y=10,3^n=20$,则下列等式成立的是（
A.$n=5x+y$
B.$n=xy$
C.$n=x+y$
D.$n=x-y$
C
）A.$n=5x+y$
B.$n=xy$
C.$n=x+y$
D.$n=x-y$
答案
9. C
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，三个幂的底数均为3，要推导指数n与x、y的关系，可先分析三个幂对应数值的关系：发现20=2×10，刚好对应$3^x=2$、$3^y=10$，因此可以将$3^n$转化为$3^x$与$3^y$的乘积形式，再结合同底数幂的乘法法则计算，最后根据底数相等且不为0、1时，指数也相等的规律，即可得到n的表达式，也可通过代入数值排除错误选项。
【解析】
解：已知$3^x=2$，$3^y=10$，$3^n=20$
观察数值关系可得：$20=2×10$
将幂的表达式代入得：$3^n=3^x · 3^y$
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$3^x · 3^y=3^{x+y}$
因此$3^n=3^{x+y}$
因为底数3≠0且3≠1，所以两个幂相等时指数相等，即$n=x+y$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.同底数幂的乘法法则
2.同底数幂相等的条件
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础应用题，解题核心是抓住已知幂的数值之间的乘积关系，结合同底数幂的运算性质推导指数关系，掌握运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件，三个幂的底数均为3，要推导指数n与x、y的关系，可先分析三个幂对应数值的关系：发现20=2×10，刚好对应$3^x=2$、$3^y=10$，因此可以将$3^n$转化为$3^x$与$3^y$的乘积形式，再结合同底数幂的乘法法则计算，最后根据底数相等且不为0、1时，指数也相等的规律，即可得到n的表达式，也可通过代入数值排除错误选项。
【解析】
解：已知$3^x=2$，$3^y=10$，$3^n=20$
观察数值关系可得：$20=2×10$
将幂的表达式代入得：$3^n=3^x · 3^y$
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$3^x · 3^y=3^{x+y}$
因此$3^n=3^{x+y}$
因为底数3≠0且3≠1，所以两个幂相等时指数相等，即$n=x+y$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.同底数幂的乘法法则
2.同底数幂相等的条件
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础应用题，解题核心是抓住已知幂的数值之间的乘积关系，结合同底数幂的运算性质推导指数关系，掌握运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10. (1)若$x^a=3, x^b=4, x^c=5$,求$2x^{a+b+c}$的值；
(2)已知$2^{3x+2}=32$,求$x$的值.
(2)已知$2^{3x+2}=32$,求$x$的值.
答案
10. (1)120 (2)1
解析
【分析】
(1) 解题思路：观察所求式子的指数是a+b+c的和，联想同底数幂相乘“底数不变，指数相加”的法则，逆用该法则即可将$x^{a+b+c}$拆分为$x^a · x^b · x^c$，代入已知数值计算后再乘2即可得到结果。
(2) 解题思路：首先将等式右侧的32转化为底数为2的幂的形式，根据“底数相同的两个幂相等时，指数也相等”的性质，可将指数部分列成一元一次方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
(1) 根据同底数幂乘法法则的逆用可得：
$x^{a+b+c}=x^a · x^b · x^c$
将$x^a=3, x^b=4, x^c=5$代入得：
$x^{a+b+c}=3 × 4 × 5 = 60$
因此$2x^{a+b+c}=2 × 60 = 120$
(2) 先将32变形为以2为底的幂：$32=2^5$
则原等式可化为：$2^{3x+2}=2^5$
因为底数相同的幂相等时，指数相等，所以：
$3x+2=5$
解这个一元一次方程：
$3x=5-2$
$3x=3$
$x=1$
【答案】
(1) 120；(2) 1
【知识点】
同底数幂乘法，幂的相等性质，一元一次方程求解
【点评】
本题侧重考查同底数幂乘法法则的正逆运用，以及利用同底数幂的性质列方程求解的能力，属于基础运算类题型，熟练掌握幂的运算法则是解题的核心。
【难度系数】
0.8
(1) 解题思路：观察所求式子的指数是a+b+c的和，联想同底数幂相乘“底数不变，指数相加”的法则，逆用该法则即可将$x^{a+b+c}$拆分为$x^a · x^b · x^c$，代入已知数值计算后再乘2即可得到结果。
(2) 解题思路：首先将等式右侧的32转化为底数为2的幂的形式，根据“底数相同的两个幂相等时，指数也相等”的性质，可将指数部分列成一元一次方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
(1) 根据同底数幂乘法法则的逆用可得：
$x^{a+b+c}=x^a · x^b · x^c$
将$x^a=3, x^b=4, x^c=5$代入得：
$x^{a+b+c}=3 × 4 × 5 = 60$
因此$2x^{a+b+c}=2 × 60 = 120$
(2) 先将32变形为以2为底的幂：$32=2^5$
则原等式可化为：$2^{3x+2}=2^5$
因为底数相同的幂相等时，指数相等，所以：
$3x+2=5$
解这个一元一次方程：
$3x=5-2$
$3x=3$
$x=1$
【答案】
(1) 120；(2) 1
【知识点】
同底数幂乘法，幂的相等性质，一元一次方程求解
【点评】
本题侧重考查同底数幂乘法法则的正逆运用，以及利用同底数幂的性质列方程求解的能力，属于基础运算类题型，熟练掌握幂的运算法则是解题的核心。
【难度系数】
0.8
11. 规定两数$a,b$之间的一种运算，记作$(a,b)$，如果$a^c = b$，那么$(a,b)=c$。我们叫$(a,b)$为“雅对”。
例如：∵ $2^3 = 8$，
∴ $(2,8)=3$。
我们还可以利用“雅对”定义证明等式$(3,3)+(3,5)=(3,15)$成立。证明如下：
设$(3,3)=m,(3,5)=n$，则$3^m = 3,3^n =5$。
∴ $3^m × 3^n =3^{m+n}=3×5=15$。
∴ $(3,15)=m+n$，
即$(3,3)+(3,5)=(3,15)$。
(1) 根据上述规定，填空：$(2,4)=$
(2) 计算：$(5,2)+(5,7)=$
(3) 记$(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c$。求证$a+b=c$。
例如：∵ $2^3 = 8$，
∴ $(2,8)=3$。
我们还可以利用“雅对”定义证明等式$(3,3)+(3,5)=(3,15)$成立。证明如下：
设$(3,3)=m,(3,5)=n$，则$3^m = 3,3^n =5$。
∴ $3^m × 3^n =3^{m+n}=3×5=15$。
∴ $(3,15)=m+n$，
即$(3,3)+(3,5)=(3,15)$。
(1) 根据上述规定，填空：$(2,4)=$
2
；$(5,25)=$2
；$(3,27)=$3
。(2) 计算：$(5,2)+(5,7)=$
(5,14)
，并说明理由。(3) 记$(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c$。求证$a+b=c$。
答案
11. (1)2 2 3
(2)(5,14).理由如下：
设$(5,2)=m,(5,7)=n$,则$5^m=2,5^n=7$.
∴ $5^m×5^n=5^{m+n}=2×7=14$.
∴ $(5,14)=m+n$,
即$(5,2)+(5,7)=(5,14)$.
(3)
∵ $(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c$,
∴ $3^a=5,3^b=6,3^c=30$.
∴ $3^a×3^b=3^{a+b}=5×6=30=3^c$.
∴ $a+b=c$.
(2)(5,14).理由如下：
设$(5,2)=m,(5,7)=n$,则$5^m=2,5^n=7$.
∴ $5^m×5^n=5^{m+n}=2×7=14$.
∴ $(5,14)=m+n$,
即$(5,2)+(5,7)=(5,14)$.
(3)
∵ $(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c$,
∴ $3^a=5,3^b=6,3^c=30$.
∴ $3^a×3^b=3^{a+b}=5×6=30=3^c$.
∴ $a+b=c$.
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先准确理解“雅对”$(a,b)$的定义：若$a^c=b$，则$(a,b)=c$，本质是求底数为$a$时，幂为$b$对应的指数。解题思路如下：
1. 第(1)问直接套用定义，找到满足$a^c=b$的指数$c$即可填空；
2. 第(2)问参考题干给出的证明思路，设两个“雅对”对应的指数分别为$m$、$n$，利用同底数幂相乘底数不变指数相加的性质，得到两个指数之和对应的幂，再转换为“雅对”形式即可；
3. 第(3)问先根据“雅对”定义把$a$、$b$、$c$转化为3的幂次形式，再计算$3^a$与$3^b$的乘积，对比$3^c$的结果，利用同底数幂相等则指数相等的性质即可证明结论。
【解析】
(1) $\because 2^2=4$，根据“雅对”定义得$(2,4)=2$；
$\because 5^2=25$，根据“雅对”定义得$(5,25)=2$；
$\because 3^3=27$，根据“雅对”定义得$(3,27)=3$。
(2) 计算结果为$(5,14)$，理由如下：
设$(5,2)=m$，$(5,7)=n$，根据定义可得$5^m=2$，$5^n=7$。
由同底数幂乘法法则得：$5^m × 5^n =5^{m+n}=2×7=14$，
再根据“雅对”定义可得$(5,14)=m+n$，
即$(5,2)+(5,7)=(5,14)$。
(3) 证明：
$\because (3,5)=a$，$(3,6)=b$，$(3,30)=c$，
$\therefore$ 根据定义可得$3^a=5$，$3^b=6$，$3^c=30$。
$\because 3^a × 3^b =3^{a+b}=5×6=30=3^c$，
$\therefore$ 同底数幂相等时指数相等，即$a+b=c$，得证。
【答案】
(1)$2$；$2$；$3$
(2)$(5,14)$，理由见解析
(3)证明见解析
【知识点】
新定义运算、同底数幂的乘法、乘方的意义
【点评】
本题以新定义运算为载体，重点考查对新规则的理解能力和已有知识的迁移运用能力，解题关键是读懂“雅对”的定义，结合同底数幂的乘法性质即可解决，是考查代数综合运用能力的典型题型。
【难度系数】
0.7
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先准确理解“雅对”$(a,b)$的定义：若$a^c=b$，则$(a,b)=c$，本质是求底数为$a$时，幂为$b$对应的指数。解题思路如下：
1. 第(1)问直接套用定义，找到满足$a^c=b$的指数$c$即可填空；
2. 第(2)问参考题干给出的证明思路，设两个“雅对”对应的指数分别为$m$、$n$，利用同底数幂相乘底数不变指数相加的性质，得到两个指数之和对应的幂，再转换为“雅对”形式即可；
3. 第(3)问先根据“雅对”定义把$a$、$b$、$c$转化为3的幂次形式，再计算$3^a$与$3^b$的乘积，对比$3^c$的结果，利用同底数幂相等则指数相等的性质即可证明结论。
【解析】
(1) $\because 2^2=4$，根据“雅对”定义得$(2,4)=2$；
$\because 5^2=25$，根据“雅对”定义得$(5,25)=2$；
$\because 3^3=27$，根据“雅对”定义得$(3,27)=3$。
(2) 计算结果为$(5,14)$，理由如下：
设$(5,2)=m$，$(5,7)=n$，根据定义可得$5^m=2$，$5^n=7$。
由同底数幂乘法法则得：$5^m × 5^n =5^{m+n}=2×7=14$，
再根据“雅对”定义可得$(5,14)=m+n$，
即$(5,2)+(5,7)=(5,14)$。
(3) 证明：
$\because (3,5)=a$，$(3,6)=b$，$(3,30)=c$，
$\therefore$ 根据定义可得$3^a=5$，$3^b=6$，$3^c=30$。
$\because 3^a × 3^b =3^{a+b}=5×6=30=3^c$，
$\therefore$ 同底数幂相等时指数相等，即$a+b=c$，得证。
【答案】
(1)$2$；$2$；$3$
(2)$(5,14)$，理由见解析
(3)证明见解析
【知识点】
新定义运算、同底数幂的乘法、乘方的意义
【点评】
本题以新定义运算为载体，重点考查对新规则的理解能力和已有知识的迁移运用能力，解题关键是读懂“雅对”的定义，结合同底数幂的乘法性质即可解决，是考查代数综合运用能力的典型题型。
【难度系数】
0.7
