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例 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC = 120°$,以$BC$为边向外作等边三角形$BCD$,把$△ ABD$绕着点$D$顺时针旋转$60°$到$△ ECD$的位置,若$AB = 3,AC = 2$.
(1)求证:$A,C,E$三点共线;
(2)求$∠ BAD$的度数和$AD$的长.
(1)证明:由旋转,知$∠ ABD = ∠ ECD$.
$\because △ BCD$是等边三角形,
$\therefore ∠ BDC = 60°$.
又 $∠ BAC = 120°$,
$\therefore ∠ ABD + ∠ ACD = 360° - 120° - 60° = 180°$.
$\therefore ∠ ECD + ∠ ACD = 180°$.
$\therefore A,C,E$三点共线.
(2)解:由旋转,知$∠ ADE = 60°,AD = ED,∠ BAD = ∠ E,AB = CE$.
$\therefore △ ADE$是等边三角形.
$\therefore ∠ E = 60°,AD = AE$.
$\therefore ∠ BAD = ∠ E = 60°$.
$\because AB = 3$,
$\therefore CE = 3$.
$\because AC = 2$,
$\therefore AD = AE = AC + CE = 2 + 3 = 5$.
$\therefore ∠ BAD$的度数为$60°,AD$的长为$5$.
方法点拨 解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质.
(1)求证:$A,C,E$三点共线;
(2)求$∠ BAD$的度数和$AD$的长.
(1)证明:由旋转,知$∠ ABD = ∠ ECD$.
$\because △ BCD$是等边三角形,
$\therefore ∠ BDC = 60°$.
又 $∠ BAC = 120°$,
$\therefore ∠ ABD + ∠ ACD = 360° - 120° - 60° = 180°$.
$\therefore ∠ ECD + ∠ ACD = 180°$.
$\therefore A,C,E$三点共线.
(2)解:由旋转,知$∠ ADE = 60°,AD = ED,∠ BAD = ∠ E,AB = CE$.
$\therefore △ ADE$是等边三角形.
$\therefore ∠ E = 60°,AD = AE$.
$\therefore ∠ BAD = ∠ E = 60°$.
$\because AB = 3$,
$\therefore CE = 3$.
$\because AC = 2$,
$\therefore AD = AE = AC + CE = 2 + 3 = 5$.
$\therefore ∠ BAD$的度数为$60°,AD$的长为$5$.
方法点拨 解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质.
答案
证明：
由旋转的性质，得$∠ ABD = ∠ ECD$。
$\because △ BCD$是等边三角形，
$\therefore ∠ BDC = 60°$。
又$\because ∠ BAC = 120°$，
$\therefore ∠ ABD + ∠ ACD = 360° - ∠ BAC - ∠ BDC = 360° - 120° - 60° = 180°$，
$\therefore ∠ ECD + ∠ ACD = 180°$，
$\therefore A,C,E$三点共线。
解：
由旋转的性质，得$∠ ADE = 60°$，$AD = ED$，$∠ BAD = ∠ E$，$AB = CE$。
$\because AD = ED$，$∠ ADE = 60°$，
$\therefore △ ADE$是等边三角形，
$\therefore ∠ E = 60°$，$AD = AE$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ E = 60°$。
$\because AB = 3$，
$\therefore CE = 3$，
又$\because AC = 2$，
$\therefore AD = AE = AC + CE = 2 + 3 = 5$。
$\therefore ∠ BAD$的度数为$60°$，$AD$的长为$5$。
由旋转的性质，得$∠ ABD = ∠ ECD$。
$\because △ BCD$是等边三角形，
$\therefore ∠ BDC = 60°$。
又$\because ∠ BAC = 120°$，
$\therefore ∠ ABD + ∠ ACD = 360° - ∠ BAC - ∠ BDC = 360° - 120° - 60° = 180°$，
$\therefore ∠ ECD + ∠ ACD = 180°$，
$\therefore A,C,E$三点共线。
解：
由旋转的性质，得$∠ ADE = 60°$，$AD = ED$，$∠ BAD = ∠ E$，$AB = CE$。
$\because AD = ED$，$∠ ADE = 60°$，
$\therefore △ ADE$是等边三角形，
$\therefore ∠ E = 60°$，$AD = AE$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ E = 60°$。
$\because AB = 3$，
$\therefore CE = 3$，
又$\because AC = 2$，
$\therefore AD = AE = AC + CE = 2 + 3 = 5$。
$\therefore ∠ BAD$的度数为$60°$，$AD$的长为$5$。
解析
【分析】
（1）证明三点共线的常用思路是证明三点构成的角为平角，即两个相邻角之和为180°。本题可先利用旋转性质得到∠ABD=∠ECD，再结合四边形内角和为360°，由已知的∠BAC=120°和等边△BCD的∠BDC=60°，求出∠ABD+∠ACD=180°，等量代换后即可得到∠ECD+∠ACD=180°，完成三点共线的证明。
（2）求解∠BAD的度数和AD的长时，先根据旋转的性质可得AD=ED，旋转角∠ADE=60°，由此可判定△ADE是等边三角形，进而得到∠E=60°、AD=AE；再利用旋转的对应角相等得∠BAD=∠E，对应边相等得CE=AB，结合A、C、E共线可知AE=AC+CE，代入已知线段长度即可求出AD的长。
【解析】
(1) 证明三点共线
由旋转的性质，得$∠ ABD = ∠ ECD$。
$\because △ BCD$是等边三角形，
$\therefore ∠ BDC = 60°$。
又$\because ∠ BAC = 120°$，
$\therefore ∠ ABD + ∠ ACD = 360° - ∠ BAC - ∠ BDC = 360° - 120° - 60° = 180°$，
$\therefore ∠ ECD + ∠ ACD = 180°$，
$\therefore A,C,E$三点共线。
(2) 求∠BAD的度数和AD的长
由旋转的性质，得$∠ ADE = 60°$，$AD = ED$，$∠ BAD = ∠ E$，$AB = CE$。
$\because AD = ED$，$∠ ADE = 60°$，
$\therefore △ ADE$是等边三角形，
$\therefore ∠ E = 60°$，$AD = AE$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ E = 60°$。
$\because AB = 3$，
$\therefore CE = 3$，
又$\because AC = 2$，
$\therefore AD = AE = AC + CE = 2 + 3 = 5$。
【答案】
(1) A、C、E三点共线得证；
(2) $∠BAD=60°$，$AD=5$。
【知识点】
旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三点共线的判定
【点评】
本题是图形变换与几何证明结合的基础题型，重点考察对旋转性质、等边三角形特征的应用能力。解题的关键是通过旋转的性质实现角和线段的等量转化，掌握三点共线的证明思路，对培养图形变换的逻辑分析能力有较好的作用。
【难度系数】
0.7
（1）证明三点共线的常用思路是证明三点构成的角为平角，即两个相邻角之和为180°。本题可先利用旋转性质得到∠ABD=∠ECD，再结合四边形内角和为360°，由已知的∠BAC=120°和等边△BCD的∠BDC=60°，求出∠ABD+∠ACD=180°，等量代换后即可得到∠ECD+∠ACD=180°，完成三点共线的证明。
（2）求解∠BAD的度数和AD的长时，先根据旋转的性质可得AD=ED，旋转角∠ADE=60°，由此可判定△ADE是等边三角形，进而得到∠E=60°、AD=AE；再利用旋转的对应角相等得∠BAD=∠E，对应边相等得CE=AB，结合A、C、E共线可知AE=AC+CE，代入已知线段长度即可求出AD的长。
【解析】
(1) 证明三点共线
由旋转的性质，得$∠ ABD = ∠ ECD$。
$\because △ BCD$是等边三角形，
$\therefore ∠ BDC = 60°$。
又$\because ∠ BAC = 120°$，
$\therefore ∠ ABD + ∠ ACD = 360° - ∠ BAC - ∠ BDC = 360° - 120° - 60° = 180°$，
$\therefore ∠ ECD + ∠ ACD = 180°$，
$\therefore A,C,E$三点共线。
(2) 求∠BAD的度数和AD的长
由旋转的性质，得$∠ ADE = 60°$，$AD = ED$，$∠ BAD = ∠ E$，$AB = CE$。
$\because AD = ED$，$∠ ADE = 60°$，
$\therefore △ ADE$是等边三角形，
$\therefore ∠ E = 60°$，$AD = AE$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ E = 60°$。
$\because AB = 3$，
$\therefore CE = 3$，
又$\because AC = 2$，
$\therefore AD = AE = AC + CE = 2 + 3 = 5$。
【答案】
(1) A、C、E三点共线得证；
(2) $∠BAD=60°$，$AD=5$。
【知识点】
旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三点共线的判定
【点评】
本题是图形变换与几何证明结合的基础题型，重点考察对旋转性质、等边三角形特征的应用能力。解题的关键是通过旋转的性质实现角和线段的等量转化，掌握三点共线的证明思路，对培养图形变换的逻辑分析能力有较好的作用。
【难度系数】
0.7
我国古代数学家很早就利用图形的旋转解决几何问题,体现了“以动解静”的智慧. 如图, 在$△ OAB$中,$OA=OB$, $∠ AOB=15°$,在$△ OCD$中,$OC=OD$, $∠ COD=45°$,且点$C$在边$OA$上,连接$CB$,将线段$OB$绕点$O$逆时针旋转一定角度得到线段$OE$,使得$DE=CB$,则$∠ BOE$的度数为 (
A.$15°$
B.$15°$或$45°$
C.$45°$
D.$45°$或$60°$
B
)A.$15°$
B.$15°$或$45°$
C.$45°$
D.$45°$或$60°$
答案
B
解析
【分析】
首先根据旋转的性质可得OE=OB，结合已知的OC=OD、DE=CB，可通过SSS判定△ODE与△OCB全等。由于线段OB旋转时，OE的位置存在两种可能（在∠BOD内部或OD的另一侧），需分两种情况计算∠BOE的度数，避免漏解。
【解析】
由旋转的性质可知：$OE=OB$。
已知$OC=OD$，$DE=CB$，因此△ODE与△OCB满足SSS全等的条件，分两种情况讨论：
1. 当OE落在$∠BOD$内部时：
$△ ODE≌△ OCB(\mathrm{SSS})$，故$∠DOE=∠COB$。
∵点C在OA上，$∠AOB=15°$，
∴$∠COB=∠AOB=15°$，即$∠DOE=15°$。
又
∵$∠COD=45°$，
∴$∠BOD=∠COD - ∠COB=45°-15°=30°$。
此时$∠BOE=∠BOD - ∠DOE=30°-15°=15°$。
2. 当OE落在OD远离OB的一侧时：
仍有$△ ODE≌△ OCB(\mathrm{SSS})$，$∠DOE=∠COB=15°$。
此时$∠BOE=∠BOD + ∠DOE=30°+15°=45°$。
综上，$∠BOE$的度数为$15°$或$45°$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，分类讨论思想
【点评】
本题将旋转性质与全等三角形结合考查，属于易错题，解题的关键是考虑到旋转后线段OE的位置有两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先根据旋转的性质可得OE=OB，结合已知的OC=OD、DE=CB，可通过SSS判定△ODE与△OCB全等。由于线段OB旋转时，OE的位置存在两种可能（在∠BOD内部或OD的另一侧），需分两种情况计算∠BOE的度数，避免漏解。
【解析】
由旋转的性质可知：$OE=OB$。
已知$OC=OD$，$DE=CB$，因此△ODE与△OCB满足SSS全等的条件，分两种情况讨论：
1. 当OE落在$∠BOD$内部时：
$△ ODE≌△ OCB(\mathrm{SSS})$，故$∠DOE=∠COB$。
∵点C在OA上，$∠AOB=15°$，
∴$∠COB=∠AOB=15°$，即$∠DOE=15°$。
又
∵$∠COD=45°$，
∴$∠BOD=∠COD - ∠COB=45°-15°=30°$。
此时$∠BOE=∠BOD - ∠DOE=30°-15°=15°$。
2. 当OE落在OD远离OB的一侧时：
仍有$△ ODE≌△ OCB(\mathrm{SSS})$，$∠DOE=∠COB=15°$。
此时$∠BOE=∠BOD + ∠DOE=30°+15°=45°$。
综上，$∠BOE$的度数为$15°$或$45°$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，分类讨论思想
【点评】
本题将旋转性质与全等三角形结合考查，属于易错题，解题的关键是考虑到旋转后线段OE的位置有两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
1. 已知点$A(x-1,3)$与点$B(1,y-5)$关于原点对称，则$x+y$的值是（
A.2
B.4
C.8
D.10
A
）A.2
B.4
C.8
D.10
答案
1.A
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握关于原点对称的点的坐标特征：若两个点关于原点对称，则它们的横、纵坐标均互为相反数。解题时先根据该特征列出关于x、y的等式，分别求解x、y的值，最后代入计算x+y即可。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：若两点关于原点对称，则两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
已知点$A(x-1,3)$与点$B(1,y-5)$关于原点对称，因此可得：
1. 横坐标互为相反数：$x - 1 = -1$，解得$x = 0$；
2. 纵坐标互为相反数：$y - 5 = -3$，解得$y = 2$。
将$x=0$、$y=2$代入$x+y$，得$x+y=0+2=2$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
关于原点对称的点的坐标性质、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对原点对称坐标规律的理解与应用，熟记规律即可快速解题，计算量较小。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是掌握关于原点对称的点的坐标特征：若两个点关于原点对称，则它们的横、纵坐标均互为相反数。解题时先根据该特征列出关于x、y的等式，分别求解x、y的值，最后代入计算x+y即可。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：若两点关于原点对称，则两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
已知点$A(x-1,3)$与点$B(1,y-5)$关于原点对称，因此可得：
1. 横坐标互为相反数：$x - 1 = -1$，解得$x = 0$；
2. 纵坐标互为相反数：$y - 5 = -3$，解得$y = 2$。
将$x=0$、$y=2$代入$x+y$，得$x+y=0+2=2$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
关于原点对称的点的坐标性质、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对原点对称坐标规律的理解与应用，熟记规律即可快速解题，计算量较小。
【难度系数】
0.9
2. 如图,将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C',此时点B'恰好在边AC上,若AB=2,AC'=5,则B'C的长为 (
A.2
B.3
C.4
D.5
B
) A.2
B.3
C.4
D.5
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查旋转相关的线段长度计算，解题思路如下：首先回忆旋转的性质：旋转前后图形的对应边长度相等，我们可以先找到两组对应边AB与AB'、AC与AC'，分别求出AB'和AC的长度；再结合点B'在AC上的位置关系，可知B'C的长度等于AC减去AB'的长度，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，根据旋转的性质，对应边相等
∴AB' = AB = 2，AC = AC' = 5
又
∵点B'在边AC上
∴B'C = AC - AB' = 5 - 2 = 3
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.旋转的性质
2.线段的和差计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查旋转性质的直接应用，解题的关键是准确找到旋转前后的对应边，结合线段的位置关系做简单的和差计算即可得到答案。
【难度系数】
0.8
本题考查旋转相关的线段长度计算，解题思路如下：首先回忆旋转的性质：旋转前后图形的对应边长度相等，我们可以先找到两组对应边AB与AB'、AC与AC'，分别求出AB'和AC的长度；再结合点B'在AC上的位置关系，可知B'C的长度等于AC减去AB'的长度，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，根据旋转的性质，对应边相等
∴AB' = AB = 2，AC = AC' = 5
又
∵点B'在边AC上
∴B'C = AC - AB' = 5 - 2 = 3
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.旋转的性质
2.线段的和差计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查旋转性质的直接应用，解题的关键是准确找到旋转前后的对应边，结合线段的位置关系做简单的和差计算即可得到答案。
【难度系数】
0.8
