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6. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,将$△ ABC$绕点A顺时针旋转得到$△ ADE$,点B,C的对应点分别为D,E,点D落在边AC上.
(1)尺规作图:作出$△ ADE$(不写作法,保留作图痕迹);
(2)连接CE,若$AB=3$,$BC=4$,求CE的长.
(1)尺规作图:作出$△ ADE$(不写作法,保留作图痕迹);
(2)连接CE,若$AB=3$,$BC=4$,求CE的长.
答案
6.(1)如图,△ADE即为所求。
(2)由旋转可得,$AD=AB=3,DE=BC=4$,$∠ADE=∠B=90°$.
$\because \quad ∠ADE+∠CDE=180°$,
$\therefore \quad ∠CDE=180°-∠ADE=90°$.
在$Rt△ABC$中,由勾股定理,得
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5$.
$\therefore \quad CD=AC-AD=2$.
在$Rt△CDE$中,由勾股定理,得
$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$.
$\therefore \quad CE$的长为$2\sqrt{5}$.
解析
【分析】
(1) 尺规作图部分需利用旋转的性质：旋转前后对应边相等、对应角相等。先在AC上截取AD=AB，再以D为顶点作90°角，且截取DE=BC，连接AE即可得到△ADE。
(2) 求CE长度时，首先由旋转性质得到对应边、对应角的数值，先在Rt△ABC中用勾股定理求出AC的长，进而得到CD的长度；再推导得出∠CDE为直角，最后在Rt△CDE中利用勾股定理即可求出CE的长。
【解析】
(1) 依据旋转的性质作图，结果如图所示，△ADE即为所求。
(2) 由旋转的性质可得：$AD=AB=3$，$DE=BC=4$，$∠ADE=∠B=90°$。
$\because ∠ADE+∠CDE=180°$，
$\therefore ∠CDE=180°-90°=90°$，即$△ CDE$为直角三角形。
在$Rt△ ABC$中，根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
$\therefore CD=AC-AD=5-3=2$。
在$Rt△ CDE$中，根据勾股定理得：
$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 如图，△ADE即为所求。
(2) $CE$的长为$2\sqrt{5}$。
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，尺规作图
【点评】
本题是基础综合题，将尺规作图、图形旋转性质与勾股定理结合考查，解题核心是准确把握旋转前后图形的对应关系，再结合直角三角形的性质计算，难度较低，能很好地巩固图形变换和直角三角形相关知识点。
【难度系数】
0.7
(1) 尺规作图部分需利用旋转的性质：旋转前后对应边相等、对应角相等。先在AC上截取AD=AB，再以D为顶点作90°角，且截取DE=BC，连接AE即可得到△ADE。
(2) 求CE长度时，首先由旋转性质得到对应边、对应角的数值，先在Rt△ABC中用勾股定理求出AC的长，进而得到CD的长度；再推导得出∠CDE为直角，最后在Rt△CDE中利用勾股定理即可求出CE的长。
【解析】
(1) 依据旋转的性质作图，结果如图所示，△ADE即为所求。
(2) 由旋转的性质可得：$AD=AB=3$，$DE=BC=4$，$∠ADE=∠B=90°$。
$\because ∠ADE+∠CDE=180°$，
$\therefore ∠CDE=180°-90°=90°$，即$△ CDE$为直角三角形。
在$Rt△ ABC$中，根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
$\therefore CD=AC-AD=5-3=2$。
在$Rt△ CDE$中，根据勾股定理得：
$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 如图，△ADE即为所求。
(2) $CE$的长为$2\sqrt{5}$。
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，尺规作图
【点评】
本题是基础综合题，将尺规作图、图形旋转性质与勾股定理结合考查，解题核心是准确把握旋转前后图形的对应关系，再结合直角三角形的性质计算，难度较低，能很好地巩固图形变换和直角三角形相关知识点。
【难度系数】
0.7
7. 实践与操作:现有如图①所示的两种小正方形瓷砖(图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半),请从这两种瓷砖中各选2块,按下列要求拼成一个新的图案.
(1)在图②、图③中各设计一种拼法,使图②是轴对称图形而不是中心对称图形,图③是中心对称图形而不是轴对称图形；
(2)在图④、图⑤中各设计一种拼法,使这两个图案既是轴对称图形又是中心对称图形,且互不相同.(两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变化相互得到,则视为相同图案)
(1)在图②、图③中各设计一种拼法,使图②是轴对称图形而不是中心对称图形,图③是中心对称图形而不是轴对称图形；
(2)在图④、图⑤中各设计一种拼法,使这两个图案既是轴对称图形又是中心对称图形,且互不相同.(两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变化相互得到,则视为相同图案)
答案
7.(1)如图所示,左图是轴对称图形而不是中心对称图形,右图是中心对称图形而不是轴对称图形(答案不唯一)。
(2)如图所示(答案不唯一)。
解析
【分析】
解题前先明确相关核心概念：轴对称图形是沿某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形；中心对称图形是绕图形中心旋转180°后能与自身重合的图形。
解题思路：(1) 设计轴对称而非中心对称的图案时，先确定一条对称轴，摆放4块瓷砖（两种瓷砖各选2块）使图案沿对称轴对折重合，同时保证旋转180°后无法与自身重合；设计中心对称而非轴对称的图案时，摆放瓷砖使图案旋转180°后与自身重合，同时不存在能让图案对折重合的对称轴。(2) 设计既是轴对称又是中心对称的图案时，需同时满足两个对称的性质，且两个图案不能通过平移、旋转、轴对称互相得到，可通过调整阴影的位置、朝向设计不同的方案即可。
【解析】
(1) 设计轴对称非中心对称图案：可选竖直方向为对称轴，将2块带三角形阴影的瓷砖放在上排两个小正方形中，三角形阴影分别朝向左右两侧，再将2块带小正方形阴影的瓷砖放在下排两个小正方形的下半部分，阴影分别朝向左右两侧，此时沿竖直中线对折图案重合，旋转180°后阴影位置不重合，符合要求。
设计中心对称非轴对称图案：将4块瓷砖按旋转180°后对应位置阴影完全重合的方式摆放，如左上格放阴影朝左的三角形瓷砖，右下格放阴影朝右的三角形瓷砖（旋转180°后和左上的重合），左下格放小正方形阴影瓷砖，右上格放小正方形阴影瓷砖（旋转180°后和左下的重合），此时不存在对称轴，旋转180°后与原图重合，符合要求。
(2) 设计既是轴对称又是中心对称的图案：分别摆放瓷砖使图案同时满足沿对称轴对折重合、旋转180°后也重合，且两个图案的阴影分布结构有明显差异，无法通过平移、旋转、轴对称变换得到，即可满足要求。
（拼法不唯一，符合题目要求即可）
【答案】
(1) 如图所示，左图是轴对称图形而不是中心对称图形，右图是中心对称图形而不是轴对称图形(答案不唯一)。
(2) 如图所示(答案不唯一)。
【知识点】
轴对称图形，中心对称图形，图案设计
【点评】
本题属于开放类操作题，重点考查对轴对称、中心对称概念的理解与应用，同时锻炼动手操作能力和创新设计能力，答案具有多样性，只要符合题目给出的对称性质要求均正确。
【难度系数】
0.7
解题前先明确相关核心概念：轴对称图形是沿某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形；中心对称图形是绕图形中心旋转180°后能与自身重合的图形。
解题思路：(1) 设计轴对称而非中心对称的图案时，先确定一条对称轴，摆放4块瓷砖（两种瓷砖各选2块）使图案沿对称轴对折重合，同时保证旋转180°后无法与自身重合；设计中心对称而非轴对称的图案时，摆放瓷砖使图案旋转180°后与自身重合，同时不存在能让图案对折重合的对称轴。(2) 设计既是轴对称又是中心对称的图案时，需同时满足两个对称的性质，且两个图案不能通过平移、旋转、轴对称互相得到，可通过调整阴影的位置、朝向设计不同的方案即可。
【解析】
(1) 设计轴对称非中心对称图案：可选竖直方向为对称轴，将2块带三角形阴影的瓷砖放在上排两个小正方形中，三角形阴影分别朝向左右两侧，再将2块带小正方形阴影的瓷砖放在下排两个小正方形的下半部分，阴影分别朝向左右两侧，此时沿竖直中线对折图案重合，旋转180°后阴影位置不重合，符合要求。
设计中心对称非轴对称图案：将4块瓷砖按旋转180°后对应位置阴影完全重合的方式摆放，如左上格放阴影朝左的三角形瓷砖，右下格放阴影朝右的三角形瓷砖（旋转180°后和左上的重合），左下格放小正方形阴影瓷砖，右上格放小正方形阴影瓷砖（旋转180°后和左下的重合），此时不存在对称轴，旋转180°后与原图重合，符合要求。
(2) 设计既是轴对称又是中心对称的图案：分别摆放瓷砖使图案同时满足沿对称轴对折重合、旋转180°后也重合，且两个图案的阴影分布结构有明显差异，无法通过平移、旋转、轴对称变换得到，即可满足要求。
（拼法不唯一，符合题目要求即可）
【答案】
(1) 如图所示，左图是轴对称图形而不是中心对称图形，右图是中心对称图形而不是轴对称图形(答案不唯一)。
(2) 如图所示(答案不唯一)。
【知识点】
轴对称图形，中心对称图形，图案设计
【点评】
本题属于开放类操作题，重点考查对轴对称、中心对称概念的理解与应用，同时锻炼动手操作能力和创新设计能力，答案具有多样性，只要符合题目给出的对称性质要求均正确。
【难度系数】
0.7
