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例3 已知代数式$A=2x^2 - 2xy + x - 1$，$B=x^2 + xy + 2y - 1$。
(1)化简$A - 2B$；
(2)当$x=-1,y=-2$时，求$A - 2B$的值；
(3)若$A - 2B$的值与$x$的取值无关，求$y$的值。
解：
(1)化简$A - 2B$；
(2)当$x=-1,y=-2$时，求$A - 2B$的值；
(3)若$A - 2B$的值与$x$的取值无关，求$y$的值。
解：
答案
1. $-4xy+x-4y+1$ 2. $0$ 3. $\frac{1}{4}$
解析
【分析】
(1) 化简A-2B的思路：先将A、B的代数式代入A-2B的表达式，再按照去括号法则去掉括号，最后合并同类项就能得到最简结果；
(2) 求代数值的思路：直接把x=-1、y=-2代入第(1)问化简后的式子，按照有理数的运算规则计算即可；
(3) 求y值的思路：若代数式的值与x的取值无关，说明代数式里所有含x的项的系数之和为0，先把化简后的式子中含x的项合并，令其系数等于0，解关于y的一元一次方程就能求出y的值。
【解析】
(1) 把$A=2x^2 - 2xy + x - 1$，$B=x^2 + xy + 2y - 1$代入$A-2B$得：
$\begin{aligned}A-2B&=(2x^2 - 2xy + x - 1)-2(x^2 + xy + 2y - 1)\\&=2x^2 - 2xy + x - 1 - 2x^2 - 2xy - 4y + 2\\&=-4xy + x -4y +1\end{aligned}$
(2) 当$x=-1$，$y=-2$时，代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}A-2B&=-4×(-1)×(-2) + (-1) -4×(-2) +1\\&=-8 -1 +8 +1\\&=0\end{aligned}$
(3) 把$A-2B=-4xy +x -4y +1$整理为含x项合并的形式：
$A-2B=(-4y+1)x + (-4y +1)$
因为$A-2B$的值与x的取值无关，所以x的系数为0，即：
$-4y +1 = 0$
解得$y=\frac{1}{4}$
【答案】
(1) $-4xy+x-4y+1$；(2) $0$；(3) $\frac{1}{4}$
【知识点】
整式的加减；代数式求值；一元一次方程应用
【点评】
本题是整式加减的常规题型，前两问考查基础的去括号、合并同类项和代入求值运算，第三问的取值无关问题是常考变式，掌握“代数式与某字母取值无关，则该字母对应项的系数和为0”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.7
(1) 化简A-2B的思路：先将A、B的代数式代入A-2B的表达式，再按照去括号法则去掉括号，最后合并同类项就能得到最简结果；
(2) 求代数值的思路：直接把x=-1、y=-2代入第(1)问化简后的式子，按照有理数的运算规则计算即可；
(3) 求y值的思路：若代数式的值与x的取值无关，说明代数式里所有含x的项的系数之和为0，先把化简后的式子中含x的项合并，令其系数等于0，解关于y的一元一次方程就能求出y的值。
【解析】
(1) 把$A=2x^2 - 2xy + x - 1$，$B=x^2 + xy + 2y - 1$代入$A-2B$得：
$\begin{aligned}A-2B&=(2x^2 - 2xy + x - 1)-2(x^2 + xy + 2y - 1)\\&=2x^2 - 2xy + x - 1 - 2x^2 - 2xy - 4y + 2\\&=-4xy + x -4y +1\end{aligned}$
(2) 当$x=-1$，$y=-2$时，代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}A-2B&=-4×(-1)×(-2) + (-1) -4×(-2) +1\\&=-8 -1 +8 +1\\&=0\end{aligned}$
(3) 把$A-2B=-4xy +x -4y +1$整理为含x项合并的形式：
$A-2B=(-4y+1)x + (-4y +1)$
因为$A-2B$的值与x的取值无关，所以x的系数为0，即：
$-4y +1 = 0$
解得$y=\frac{1}{4}$
【答案】
(1) $-4xy+x-4y+1$；(2) $0$；(3) $\frac{1}{4}$
【知识点】
整式的加减；代数式求值；一元一次方程应用
【点评】
本题是整式加减的常规题型，前两问考查基础的去括号、合并同类项和代入求值运算，第三问的取值无关问题是常考变式，掌握“代数式与某字母取值无关，则该字母对应项的系数和为0”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.7
4. 已知$A=2a^2b+abc$，$B=a^2b+2abc$，小军认为$2A - B$的大小与$c$的取值无关. 小军的观点是否正确？请说明理由.
答案
小军的观点正确.理由如下：
因为 $A=2a^2b+abc,B=a^2b+2abc$，
所以 $2A-B=2(2a^2b+abc)-( a^2b+2abc)= 4a^2b+2abc-a^2b-2abc=3a^2b$.
因为化简结果不含 $c$,
所以 $2A-B$ 的大小与 $c$ 的取值无关.
故小军的观点正确.
因为 $A=2a^2b+abc,B=a^2b+2abc$，
所以 $2A-B=2(2a^2b+abc)-( a^2b+2abc)= 4a^2b+2abc-a^2b-2abc=3a^2b$.
因为化简结果不含 $c$,
所以 $2A-B$ 的大小与 $c$ 的取值无关.
故小军的观点正确.
解析
【分析】
要判断小军的观点是否正确，核心是看2A-B的化简结果中是否含有字母c：如果不含c，说明无论c取什么值，都不会影响最终结果，即和c的取值无关。解题时先将A、B的表达式代入2A-B，再按照整式加减的运算顺序，先去括号（注意括号前是负号时，括号内各项要变号），再合并同类项，最后观察化简结果即可判断。
【解析】
解：小军的观点正确，理由如下：
已知$A=2a^2b+abc$，$B=a^2b+2abc$，将其代入$2A-B$得：
$2A-B=2(2a^2b+abc)-(a^2b+2abc)$
去括号得：$2A-B=4a^2b+2abc - a^2b - 2abc$
合并同类项得：$2A-B=3a^2b$
因为化简后的结果$3a^2b$中不含有字母c，所以$2A-B$的大小与c的取值无关，因此小军的观点正确。
【答案】
小军的观点正确.理由如下：因为 $A=2a^2b+abc,B=a^2b+2abc$，所以 $2A-B=2(2a^2b+abc)-( a^2b+2abc)= 4a^2b+2abc-a^2b-2abc=3a^2b$.因为化简结果不含 $c$,所以 $2A-B$ 的大小与 $c$ 的取值无关.故小军的观点正确.
【知识点】
整式的加减；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题考查整式加减的应用，解题的关键是熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，判断代数式的值与某个字母是否相关，只需将代数式化简后观察是否含有该字母即可。
【难度系数】
0.8
要判断小军的观点是否正确，核心是看2A-B的化简结果中是否含有字母c：如果不含c，说明无论c取什么值，都不会影响最终结果，即和c的取值无关。解题时先将A、B的表达式代入2A-B，再按照整式加减的运算顺序，先去括号（注意括号前是负号时，括号内各项要变号），再合并同类项，最后观察化简结果即可判断。
【解析】
解：小军的观点正确，理由如下：
已知$A=2a^2b+abc$，$B=a^2b+2abc$，将其代入$2A-B$得：
$2A-B=2(2a^2b+abc)-(a^2b+2abc)$
去括号得：$2A-B=4a^2b+2abc - a^2b - 2abc$
合并同类项得：$2A-B=3a^2b$
因为化简后的结果$3a^2b$中不含有字母c，所以$2A-B$的大小与c的取值无关，因此小军的观点正确。
【答案】
小军的观点正确.理由如下：因为 $A=2a^2b+abc,B=a^2b+2abc$，所以 $2A-B=2(2a^2b+abc)-( a^2b+2abc)= 4a^2b+2abc-a^2b-2abc=3a^2b$.因为化简结果不含 $c$,所以 $2A-B$ 的大小与 $c$ 的取值无关.故小军的观点正确.
【知识点】
整式的加减；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题考查整式加减的应用，解题的关键是熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，判断代数式的值与某个字母是否相关，只需将代数式化简后观察是否含有该字母即可。
【难度系数】
0.8
5. 已知:$A=2a^2+3ab-2a-1,B=a^2+ab+1.$
(1)化简$A-2B$;
(2)若(1)中的代数式的值与$a$的取值无关,求$b$的值.
(1)化简$A-2B$;
(2)若(1)中的代数式的值与$a$的取值无关,求$b$的值.
答案
1. $ab-2a-3$ 2. $2$
解析
【分析】
(1) 化简$A-2B$时，首先将已知的$A$、$B$的代数式代入待求式，再按照去括号法则去掉括号，最后合并同类项即可得到化简结果；(2) 若代数式的值与$a$的取值无关，说明代数式中所有含$a$的项的系数之和为0，因此先将(1)的结果中含$a$的项提取公因式整理，令$a$的系数等于0，解关于$b$的一元一次方程即可求出$b$的值。
【解析】
(1) 把$A=2a^2+3ab-2a-1$，$B=a^2+ab+1$代入$A-2B$，得：
$\begin{aligned}A-2B&=(2a^2+3ab-2a-1)-2(a^2+ab+1)\\&=2a^2+3ab-2a-1-2a^2-2ab-2\\&=(2a^2-2a^2)+(3ab-2ab)-2a+(-1-2)\\&=ab-2a-3\end{aligned}$
(2) 将(1)的化简结果整理为：$A-2B=(b-2)a - 3$
因为代数式的值与$a$的取值无关，所以含$a$的项的系数为0，即：
$b-2=0$
解得$b=2$
【答案】
(1) $ab-2a-3$；(2) $2$
【知识点】
1. 整式的加减运算
2. 合并同类项
3. 代数式取值无关条件
【点评】
本题属于整式加减的基础常考题，解题关键是熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，理解代数式的值与某个字母无关的本质是该字母对应的所有项的系数之和为0，该类题型常用来求解参数的值。
【难度系数】
0.7
(1) 化简$A-2B$时，首先将已知的$A$、$B$的代数式代入待求式，再按照去括号法则去掉括号，最后合并同类项即可得到化简结果；(2) 若代数式的值与$a$的取值无关，说明代数式中所有含$a$的项的系数之和为0，因此先将(1)的结果中含$a$的项提取公因式整理，令$a$的系数等于0，解关于$b$的一元一次方程即可求出$b$的值。
【解析】
(1) 把$A=2a^2+3ab-2a-1$，$B=a^2+ab+1$代入$A-2B$，得：
$\begin{aligned}A-2B&=(2a^2+3ab-2a-1)-2(a^2+ab+1)\\&=2a^2+3ab-2a-1-2a^2-2ab-2\\&=(2a^2-2a^2)+(3ab-2ab)-2a+(-1-2)\\&=ab-2a-3\end{aligned}$
(2) 将(1)的化简结果整理为：$A-2B=(b-2)a - 3$
因为代数式的值与$a$的取值无关，所以含$a$的项的系数为0，即：
$b-2=0$
解得$b=2$
【答案】
(1) $ab-2a-3$；(2) $2$
【知识点】
1. 整式的加减运算
2. 合并同类项
3. 代数式取值无关条件
【点评】
本题属于整式加减的基础常考题，解题关键是熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，理解代数式的值与某个字母无关的本质是该字母对应的所有项的系数之和为0，该类题型常用来求解参数的值。
【难度系数】
0.7
1. 已知一个多项式与$3x^2+4x-1$的和等于$3x^2+9x$，则这个多项式为 （
A.$5x+1$
B.$5x-1$
C.$-5x+1$
D.$-5x-1$
A
）A.$5x+1$
B.$5x-1$
C.$-5x+1$
D.$-5x-1$
答案
A
解析
【分析】
首先根据加法运算中各部分的关系：一个加数=和-另一个加数，可确定要求的多项式等于两个多项式的和减去已知的多项式。接下来按照整式减法的运算规则，先去括号（注意括号前是负号时，括号内各项都要变号），再合并同类项就能得到结果。
【解析】
设这个多项式为$A$，根据题意可列关系式：
$A+(3x^2+4x-1)=3x^2+9x$
因此$A=(3x^2+9x)-(3x^2+4x-1)$
去括号得：$A=3x^2+9x-3x^2-4x+1$
合并同类项：$3x^2-3x^2=0$，$9x-4x=5x$，最终得$A=5x+1$
【答案】
A
【知识点】
整式的加减，合并同类项，去括号法则
【点评】
本题是整式加减的基础应用题，解题核心是掌握加减法的互逆关系，运算时注意去括号的符号变化，仔细计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.9
首先根据加法运算中各部分的关系：一个加数=和-另一个加数，可确定要求的多项式等于两个多项式的和减去已知的多项式。接下来按照整式减法的运算规则，先去括号（注意括号前是负号时，括号内各项都要变号），再合并同类项就能得到结果。
【解析】
设这个多项式为$A$，根据题意可列关系式：
$A+(3x^2+4x-1)=3x^2+9x$
因此$A=(3x^2+9x)-(3x^2+4x-1)$
去括号得：$A=3x^2+9x-3x^2-4x+1$
合并同类项：$3x^2-3x^2=0$，$9x-4x=5x$，最终得$A=5x+1$
【答案】
A
【知识点】
整式的加减，合并同类项，去括号法则
【点评】
本题是整式加减的基础应用题，解题核心是掌握加减法的互逆关系，运算时注意去括号的符号变化，仔细计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.9
2. 某个长方形的长为$5x+8y$，宽比长短$2x-4y$，则此长方形的宽为（
A.$3x-12y$
B.$3x-4y$
C.$3x+4y$
D.$3x+12y$
D
）A.$3x-12y$
B.$3x-4y$
C.$3x+4y$
D.$3x+12y$
答案
D
解析
【分析】
解题首先要明确题目中的数量关系：长方形的宽 = 长 - 宽比长短的长度。接下来将已知的长的表达式代入这个关系式，再按照整式加减的运算规则，先去括号，再合并同类项即可求出宽的表达式。需要注意去括号时，括号前是减号，括号内的每一项都要变号，避免符号错误。
【解析】
由题意可知，长方形的宽 = 长 - (2x-4y)，已知长为$5x+8y$，代入计算：
$\begin{aligned}宽&=(5x+8y)-(2x-4y)\\&=5x+8y-2x+4y\\&=(5x-2x)+(8y+4y)\\&=3x+12y\end{aligned}$
因此符合条件的是D选项。
【答案】D
【知识点】整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】本题是整式加减的基础应用题，解题的核心是正确梳理题干中的数量关系，运算时要特别注意去括号的符号变化规则，避免因符号出错导致失分。
【难度系数】0.8
解题首先要明确题目中的数量关系：长方形的宽 = 长 - 宽比长短的长度。接下来将已知的长的表达式代入这个关系式，再按照整式加减的运算规则，先去括号，再合并同类项即可求出宽的表达式。需要注意去括号时，括号前是减号，括号内的每一项都要变号，避免符号错误。
【解析】
由题意可知，长方形的宽 = 长 - (2x-4y)，已知长为$5x+8y$，代入计算：
$\begin{aligned}宽&=(5x+8y)-(2x-4y)\\&=5x+8y-2x+4y\\&=(5x-2x)+(8y+4y)\\&=3x+12y\end{aligned}$
因此符合条件的是D选项。
【答案】D
【知识点】整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】本题是整式加减的基础应用题，解题的核心是正确梳理题干中的数量关系，运算时要特别注意去括号的符号变化规则，避免因符号出错导致失分。
【难度系数】0.8
3. A和B都是三次多项式，则A+B一定是（
A.三次多项式
B.次数不高于3的整式
C.次数不高于3的多项式
D.次数不低于3的整式
B
）A.三次多项式
B.次数不高于3的整式
C.次数不高于3的多项式
D.次数不低于3的整式
答案
B
解析
【分析】
解题时要结合整式加减的本质（合并同类项）来分析两个三次多项式相加后的次数和类型。首先，合并同类项不会升高多项式的最高次数，所以A+B的最高次数最多是3；其次要考虑两种特殊情况：一是两个多项式的三次项系数互为相反数，相加后三次项抵消，此时最高次数会低于3；二是相加后的结果可能是单项式（属于整式，不属于多项式）。再结合各选项的表述逐一排除错误选项即可。
【解析】
1. 明确整式加减规则：多项式相加的本质是合并同类项，合并同类项时仅系数相加减，字母和字母的指数不变，因此两个三次多项式相加后，结果的最高次数不会超过3。
2. 分情况讨论：
① 若两个三次多项式的三次项系数相加不为0，则结果的最高次数为3；
② 若两个三次多项式的三次项系数互为相反数，相加后三次项抵消，则结果的最高次数小于3（可为2次、1次或常数）。
3. 辨析结果类型：相加的结果可能是单项式（举例：A=x³+2，B=-x³+3，A+B=5，为单项式），单项式和多项式统称为整式，因此结果一定是次数不高于3的整式。
4. 逐一判断选项：
A. 当三次项抵消时，结果不是三次多项式，错误；
B. 符合上述推导，正确；
C. 结果可能为单项式，不属于多项式，错误；
D. 结果最高次数不超过3，“次数不低于3”的说法不成立，错误。
【答案】
B
【知识点】
整式的加减，多项式的次数，整式的概念
【点评】
本题是整式加减的经典易错题，解题关键是不要忽略同类项抵消的情况，同时要区分多项式和整式的范围，避免错选A或C。
【难度系数】
0.6
解题时要结合整式加减的本质（合并同类项）来分析两个三次多项式相加后的次数和类型。首先，合并同类项不会升高多项式的最高次数，所以A+B的最高次数最多是3；其次要考虑两种特殊情况：一是两个多项式的三次项系数互为相反数，相加后三次项抵消，此时最高次数会低于3；二是相加后的结果可能是单项式（属于整式，不属于多项式）。再结合各选项的表述逐一排除错误选项即可。
【解析】
1. 明确整式加减规则：多项式相加的本质是合并同类项，合并同类项时仅系数相加减，字母和字母的指数不变，因此两个三次多项式相加后，结果的最高次数不会超过3。
2. 分情况讨论：
① 若两个三次多项式的三次项系数相加不为0，则结果的最高次数为3；
② 若两个三次多项式的三次项系数互为相反数，相加后三次项抵消，则结果的最高次数小于3（可为2次、1次或常数）。
3. 辨析结果类型：相加的结果可能是单项式（举例：A=x³+2，B=-x³+3，A+B=5，为单项式），单项式和多项式统称为整式，因此结果一定是次数不高于3的整式。
4. 逐一判断选项：
A. 当三次项抵消时，结果不是三次多项式，错误；
B. 符合上述推导，正确；
C. 结果可能为单项式，不属于多项式，错误；
D. 结果最高次数不超过3，“次数不低于3”的说法不成立，错误。
【答案】
B
【知识点】
整式的加减，多项式的次数，整式的概念
【点评】
本题是整式加减的经典易错题，解题关键是不要忽略同类项抵消的情况，同时要区分多项式和整式的范围，避免错选A或C。
【难度系数】
0.6
4. 某地居民生活用水收费标准为:每月用水量不超过$20\ \mathrm{m}^3$,每立方米$a$元;若超过$20\ \mathrm{m}^3$,则超过部分每立方米$(a+2)$元.该地区某家庭上月用水量为$25\ \mathrm{m}^3$,则应缴水费 (
A.$25a$元
B.$(25a+10)$元
C.$(25a+50)$元
D.$(20a+10)$元
B
)A.$25a$元
B.$(25a+10)$元
C.$(25a+50)$元
D.$(20a+10)$元
答案
B
解析
【分析】
这是分段计费类的实际应用问题，解题思路如下：第一步先判断实际用水量是否超过第一档收费的上限，本题中用水量25m³大于20m³，因此水费需要分两部分计算：①20m³以内的部分，按每立方米a元计费；②超出20m³的部分，按每立方米(a+2)元计费。最后将两部分费用相加，化简整式即可得到总应缴水费。
【解析】
解：①计算20m³以内的水费：
用水量未超过20m³的部分费用为 $ 20 × a = 20a $ 元
②计算超出20m³部分的费用：
超出的用水量为 $ 25 - 20 = 5\ \mathrm{m}^3 $
超出部分费用为 $ 5 × (a+2) = 5a + 10 $ 元
③总水费为两部分费用之和：
$ 20a + 5a + 10 = 25a + 10 $ 元
因此应缴水费为$(25a+10)$元，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分段计费问题，列代数式，整式的加减
【点评】
本题结合生活收费场景考查列式计算能力，解题核心是明确不同用水量对应的收费标准，正确拆分费用模块后合并计算，细心运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这是分段计费类的实际应用问题，解题思路如下：第一步先判断实际用水量是否超过第一档收费的上限，本题中用水量25m³大于20m³，因此水费需要分两部分计算：①20m³以内的部分，按每立方米a元计费；②超出20m³的部分，按每立方米(a+2)元计费。最后将两部分费用相加，化简整式即可得到总应缴水费。
【解析】
解：①计算20m³以内的水费：
用水量未超过20m³的部分费用为 $ 20 × a = 20a $ 元
②计算超出20m³部分的费用：
超出的用水量为 $ 25 - 20 = 5\ \mathrm{m}^3 $
超出部分费用为 $ 5 × (a+2) = 5a + 10 $ 元
③总水费为两部分费用之和：
$ 20a + 5a + 10 = 25a + 10 $ 元
因此应缴水费为$(25a+10)$元，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分段计费问题，列代数式，整式的加减
【点评】
本题结合生活收费场景考查列式计算能力，解题核心是明确不同用水量对应的收费标准，正确拆分费用模块后合并计算，细心运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
