1. 已知$a - b = 5$，则$a^2 - b^2 - 10b$的值为（）

A.5
B.10
C.15
D.25

1. D

【分析】
解题时首先观察所求代数式的结构，发现含有$a^2 - b^2$，恰好符合平方差公式的特征，因此优先考虑用平方差公式对其因式分解，再代入已知条件$a - b=5$，对后续式子化简后就能消去未知数$b$，最终代入已知条件求出结果。也可以通过$a - b=5$得到$a=b+5$，直接代入原式展开化简求解，两种方法都可以避免单独求$a$、$b$的取值，简化计算。
【解析】
方法一：利用平方差公式求解
1. 对$a^2 - b^2$用平方差公式因式分解：
$a^2 - b^2 - 10b=(a-b)(a+b)-10b$
2. 将$a - b=5$代入上式：
原式$=5(a+b)-10b$
3. 展开并合并同类项：
$=5a +5b -10b=5a -5b$
4. 提取公因式后再次代入已知条件：
$=5(a - b)=5×5=25$
方法二：代入消元法求解
1. 由$a - b=5$可得$a=b+5$
2. 将$a=b+5$代入原式：
原式$=(b+5)^2 - b^2 -10b$
3. 展开完全平方后合并同类项：
$=b^2 +10b +25 - b^2 -10b=25$
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，代数式化简求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，解题核心是灵活运用公式对代数式进行变形，通过整体代入或消元的方式简化计算，不需要求出每个未知数的具体值即可得到结果，能够很好地考查对公式的掌握程度和代数变形能力。
【难度系数】
0.8

2. 小雯是一位密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：2，$x$，$x+1$，$x-1$，$x^2$，$x^3$分别对应美、我、中、国、丽、爱六个字。现将$2x^4 - 2x^2$因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A.中国美
B.爱中国
C.我爱中国
D.美丽中国

2. D

【分析】
解题思路分为三步：第一步，对多项式$2x^4 - 2x^2$进行因式分解，因式分解要遵循先提公因式、再用公式的顺序，且要分解到不能再分解为止；第二步，将分解得到的每个因式对应题目给出的汉字信息；第三步，把对应得到的汉字组合，匹配选项即可。
【解析】
对$2x^4 - 2x^2$因式分解：
1. 提取公因式$2x^2$：
$2x^4 - 2x^2 = 2x^2(x^2 - 1)$
2. 利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对$x^2-1$继续分解：
$2x^2(x^2 - 1)=2x^2(x+1)(x-1)$
根据题目对应关系：2对应美，$x^2$对应丽，$x+1$对应中，$x-1$对应国，组合可得汉字信息为“美丽中国”。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，因式分解的应用
【点评】
本题结合趣味密码情境考查因式分解的基本操作，解题的关键是牢记因式分解的步骤，确保分解彻底，避免因分解不完整导致对应汉字错误。
【难度系数】
0.8

回顾复习：完成下列计算。
$(-5a + 4b)^2 =$ 。
$(-2ab + 3)^2 =$ 。
类比探究：逆向利用回顾复习，完成下列计算。
$x^2 + 8x +$ $=(x +$ $)^2$；
$x^2 - \frac{3}{2}x +$ $=(x -$ $)^2$。
实践应用：将下列各式因式分解。
(1) $4x^2 + 20x + 25$；
(2) $9x^2 - 6xy + y^2$；
(3) $\frac{x^2}{4} + xy + y^2$；
(4) $4x^2 - 2x + \frac{1}{4}$。

(-5a + 4b)² = 25a² - 40ab + 16b²
(-2ab + 3)² = 4a²b² - 12ab + 9
x² + 8x + 16 = (x + 4)²
x² - 3/2 x + 9/16 = (x - 3/4)²
(1) 4x² + 20x + 25 = (2x + 5)²
(2) 9x² - 6xy + y² = (3x - y)²
(3) x²/4 + xy + y² = (1/2 x + y)²
(4) 4x² - 2x + 1/4 = (2x - 1/2)²

【分析】
本题围绕完全平方公式的正、逆应用展开，解题思路清晰：1. 回顾复习部分正向使用完全平方公式$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$，先确定公式中$a$、$b$对应的整式，再代入展开，注意符号运算不要出错；2. 类比探究部分逆向使用完全平方公式，对于二次项系数为1的二次式，配成完全平方式的常数项等于一次项系数一半的平方，再对应写出完全平方式的底数即可；3. 实践应用部分用完全平方公式因式分解，先判断多项式是否符合“两个同号平方项+两底数乘积的2倍项”的完全平方式特征，再对应套公式分解即可。
【解析】
回顾复习
1. 计算$(-5a + 4b)^2$：
把$-5a$、$4b$分别对应完全平方公式中的$a$、$b$，代入得：
$(-5a + 4b)^2=(-5a)^2 + 2×(-5a)×4b + (4b)^2=25a^2 - 40ab + 16b^2$
2. 计算$(-2ab + 3)^2$：
把$-2ab$、$3$分别对应完全平方公式中的$a$、$b$，代入得：
$(-2ab + 3)^2=(-2ab)^2 + 2×(-2ab)×3 + 3^2=4a^2b^2 - 12ab + 9$
类比探究
1. 对于$x^2 + 8x + \_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$：
一次项系数为8，它的一半是4，平方为$4^2=16$，因此常数项填16，完全平方式为$(x+4)^2$。
2. 对于$x^2 - \frac{3}{2}x + \_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$：
一次项系数为$-\frac{3}{2}$，它的一半是$-\frac{3}{4}$，平方为$(-\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，因此常数项填$\frac{9}{16}$，完全平方式为$(x-\frac{3}{4})^2$。
实践应用
(1) 分解$4x^2 + 20x + 25$：
$4x^2=(2x)^2$，$25=5^2$，中间项$20x=2×2x×5$，符合完全平方和公式，因此：
$4x^2 + 20x + 25=(2x + 5)^2$
(2) 分解$9x^2 - 6xy + y^2$：
$9x^2=(3x)^2$，$y^2=y^2$，中间项$-6xy=-2×3x× y$，符合完全平方差公式，因此：
$9x^2 - 6xy + y^2=(3x - y)^2$
(3) 分解$\frac{x^2}{4} + xy + y^2$：
$\frac{x^2}{4}=(\frac{1}{2}x)^2$，$y^2=y^2$，中间项$xy=2×\frac{1}{2}x× y$，符合完全平方和公式，因此：
$\frac{x^2}{4} + xy + y^2=(\frac{1}{2}x + y)^2$
(4) 分解$4x^2 - 2x + \frac{1}{4}$：
$4x^2=(2x)^2$，$\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^2$，中间项$-2x=-2×2x×\frac{1}{2}$，符合完全平方差公式，因此：
$4x^2 - 2x + \frac{1}{4}=(2x - \frac{1}{2})^2$
【答案】
$25a² - 40ab + 16b²$；
$4a²b² - 12ab + 9$；
$16$，$4$；
$\frac{9}{16}$，$\frac{3}{4}$；
(1) $(2x + 5)²$
(2) $(3x - y)²$
(3) $(\frac{1}{2}x + y)²$
(4) $(2x - \frac{1}{2})²$
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解；配方法
【点评】
本题考查完全平方公式的正、逆向运用，要求熟练掌握完全平方式的结构特征，正向计算时注意符号运算，逆向运用时准确识别对应项，是整式运算和因式分解的基础常规题。
【难度系数】
0.8

新知生成：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的，即$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$，$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$。形如$a^2 \pm 2ab + b^2$的式子称为完全平方式。

平方

【分析】
本题考查完全平方公式的基础概念，解题时可结合题干给出的两个公式推导结论：首先观察给出的两个恒等式左边的结构，均是两个数的平方和加上/减去两数积的2倍，右边是两数和/差的平方，直接对应题干描述即可确定空缺内容。
【解析】
观察给出的完全平方公式：
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$，即两个数的平方和加上两数积的2倍，等于两数和的平方；
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$，即两个数的平方和减去两数积的2倍，等于两数差的平方；
因此空缺处应填“平方”。
【答案】
平方
【知识点】
完全平方公式；完全平方式概念
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对完全平方公式结构特征的识记，掌握完全平方公式的左右两边结构特点即可快速解答。
【难度系数】
0.9