登录
4. 若$x=-1$，则代数式$x^3 - x^2 +4$的值为
2
。答案
4. 2
解析
【分析】
本题考查代数式求值问题，解题思路是将已知的x的取值直接代入代数式，按照有理数的运算顺序，先计算乘方运算，再依次进行加减运算即可得到结果，计算时要注意负数乘方的符号规则。
【解析】
解：当$x=-1$时，将其代入代数式$x^3 - x^2 +4$中：
第一步：计算乘方项
$x^3=(-1)^3=-1$，$x^2=(-1)^2=1$
第二步：代入原式计算
原式$=(-1) - 1 + 4$
$=-2 + 4$
$=2$
【答案】
2
【知识点】
代数式求值；有理数乘方运算；有理数加减运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代数式的代入求值方法，只要熟练掌握有理数的运算规则，注意负数偶次幂为正、奇次幂为负的符号规律，就能准确得分。
【难度系数】
0.9
本题考查代数式求值问题，解题思路是将已知的x的取值直接代入代数式，按照有理数的运算顺序，先计算乘方运算，再依次进行加减运算即可得到结果，计算时要注意负数乘方的符号规则。
【解析】
解：当$x=-1$时，将其代入代数式$x^3 - x^2 +4$中：
第一步：计算乘方项
$x^3=(-1)^3=-1$，$x^2=(-1)^2=1$
第二步：代入原式计算
原式$=(-1) - 1 + 4$
$=-2 + 4$
$=2$
【答案】
2
【知识点】
代数式求值；有理数乘方运算；有理数加减运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代数式的代入求值方法，只要熟练掌握有理数的运算规则，注意负数偶次幂为正、奇次幂为负的符号规律，就能准确得分。
【难度系数】
0.9
若$|a - 2| + (b + 3)^2 = 0$，求代数式$a^2 - ab + b^2$的值。
解 由绝对值以及数的平方的非负性可知，$a - 2 = 0$，$b + 3 = 0$，所以$a = 2$，$b = -3$。所以$a^2 - ab + b^2 = 2^2 - 2×(-3) + (-3)^2 = 4 + 6 + 9 = 19$。
解 由绝对值以及数的平方的非负性可知，$a - 2 = 0$，$b + 3 = 0$，所以$a = 2$，$b = -3$。所以$a^2 - ab + b^2 = 2^2 - 2×(-3) + (-3)^2 = 4 + 6 + 9 = 19$。
答案
解：
由绝对值和平方的非负性可知，$|a-2|≥0$，$(b+3)^2≥0$，
又$|a-2|+(b+3)^2=0$，
因此$a-2=0$，$b+3=0$，
解得$a=2$，$b=-3$。
将$a=2$，$b=-3$代入代数式$a^2-ab+b^2$：
$a^2-ab+b^2=2^2 - 2×(-3) + (-3)^2=4+6+9=19$。
由绝对值和平方的非负性可知，$|a-2|≥0$，$(b+3)^2≥0$，
又$|a-2|+(b+3)^2=0$，
因此$a-2=0$，$b+3=0$，
解得$a=2$，$b=-3$。
将$a=2$，$b=-3$代入代数式$a^2-ab+b^2$：
$a^2-ab+b^2=2^2 - 2×(-3) + (-3)^2=4+6+9=19$。
解析
【分析】
本题可按三步思路解题：第一步，回忆绝对值与有理数平方的性质，二者都具有非负性，即运算结果大于等于0；第二步，两个非负数相加和为0，说明这两个非负数各自都等于0，据此可列等式求出a、b的值；第三步，将求得的a、b代入待求代数式，按有理数运算规则计算即可，计算时注意负号的处理。
【解析】
由绝对值和平方的非负性可知，$|a-2|≥0$，$(b+3)^2≥0$，
又因为$|a-2|+(b+3)^2=0$，
因此可得$a-2=0$，$b+3=0$，
解得$a=2$，$b=-3$。
将$a=2$，$b=-3$代入代数式$a^2-ab+b^2$：
$a^2-ab+b^2=2^2 - 2×(-3) + (-3)^2=4+6+9=19$
【答案】
$19$
【知识点】
1. 绝对值的非负性
2. 平方的非负性
3. 代数式求值
【点评】
本题是基础常考题型，核心考查非负性质的应用，解题关键是掌握“若干个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的规律，代入计算时注意运算符号，避免出错。
【难度系数】
0.8
本题可按三步思路解题：第一步，回忆绝对值与有理数平方的性质，二者都具有非负性，即运算结果大于等于0；第二步，两个非负数相加和为0，说明这两个非负数各自都等于0，据此可列等式求出a、b的值；第三步，将求得的a、b代入待求代数式，按有理数运算规则计算即可，计算时注意负号的处理。
【解析】
由绝对值和平方的非负性可知，$|a-2|≥0$，$(b+3)^2≥0$，
又因为$|a-2|+(b+3)^2=0$，
因此可得$a-2=0$，$b+3=0$，
解得$a=2$，$b=-3$。
将$a=2$，$b=-3$代入代数式$a^2-ab+b^2$：
$a^2-ab+b^2=2^2 - 2×(-3) + (-3)^2=4+6+9=19$
【答案】
$19$
【知识点】
1. 绝对值的非负性
2. 平方的非负性
3. 代数式求值
【点评】
本题是基础常考题型，核心考查非负性质的应用，解题关键是掌握“若干个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的规律，代入计算时注意运算符号，避免出错。
【难度系数】
0.8
5. 已知$(x-3)^2 + |y+4| = 0$，则代数式$(x+y)^{520}$的值为(
A.1
B.$-1$
C.$\pm1$
D.$2024$
A
)A.1
B.$-1$
C.$\pm1$
D.$2024$
答案
5. A 解析 因为$(x-3)^2 + |y+4| = 0$，所以$(x-3)^2=0$，$|y+4|=0$，所以$x=3$，$y=-4.$ 所以$(x+y)^{520}=(3-4)^{520}=(-1)^{520}=1.$
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式的构成，等式左侧是平方项与绝对值项相加，而平方、绝对值的结果均为非负数（即大于或等于0）。根据非负数的性质：若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，由此可分别列方程求出x、y的值，再将x、y代入所求代数式，结合有理数乘方的符号法则计算即可得到结果。
【解析】
∵ 任意实数的平方和绝对值均为非负数，
∴ $(x-3)^2≥0$，$|y+4|≥0$，
又
∵ $(x-3)^2 + |y+4| = 0$，
∴ $\begin{cases}x-3=0\\y+4=0\end{cases}$，
解得 $\begin{cases}x=3\\y=-4\end{cases}$，
将x=3，y=-4代入$(x+y)^{520}$得：
$(x+y)^{520}=(3-4)^{520}=(-1)^{520}=1$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质，代数式求值，有理数乘方
【点评】
本题属于基础题，重点考查非负数性质的应用，解题的核心是掌握平方和绝对值的非负性，计算乘方时需注意判断指数的奇偶性，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察已知等式的构成，等式左侧是平方项与绝对值项相加，而平方、绝对值的结果均为非负数（即大于或等于0）。根据非负数的性质：若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，由此可分别列方程求出x、y的值，再将x、y代入所求代数式，结合有理数乘方的符号法则计算即可得到结果。
【解析】
∵ 任意实数的平方和绝对值均为非负数，
∴ $(x-3)^2≥0$，$|y+4|≥0$，
又
∵ $(x-3)^2 + |y+4| = 0$，
∴ $\begin{cases}x-3=0\\y+4=0\end{cases}$，
解得 $\begin{cases}x=3\\y=-4\end{cases}$，
将x=3，y=-4代入$(x+y)^{520}$得：
$(x+y)^{520}=(3-4)^{520}=(-1)^{520}=1$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质，代数式求值，有理数乘方
【点评】
本题属于基础题，重点考查非负数性质的应用，解题的核心是掌握平方和绝对值的非负性，计算乘方时需注意判断指数的奇偶性，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第678个图案中的“”的个数是()
第1个 第2个 第3个 第4个 ……
A.2 039
B.2 037
C.2 035
D.2 033
解析 因为第1个图案中的“”的个数为$3×1+1=4$(个). 第2个图案中的“”的个数为$3×2+1=7$(个). 第3个图案中的“”的个数为$3×3+1=10$(个). 所以第n个图案中的“”的个数为$(3n+1)$个. 第678个图案中的“”的个数为$3×678+1=2035$(个).
答案 C
第1个 第2个 第3个 第4个 ……
A.2 039
B.2 037
C.2 035
D.2 033
解析 因为第1个图案中的“”的个数为$3×1+1=4$(个). 第2个图案中的“”的个数为$3×2+1=7$(个). 第3个图案中的“”的个数为$3×3+1=10$(个). 所以第n个图案中的“”的个数为$(3n+1)$个. 第678个图案中的“”的个数为$3×678+1=2035$(个).
答案 C
答案
C
解析
【分析】
解决这类图形规律探究题，首先要统计前几个已知图案中目标图形的个数，观察相邻两个图案的数量变化规律，能发现每增加1个图案，目标图形的个数就增加3个；接着根据这个变化规律推导出第n个图案中目标图形个数的通用表达式，最后将n=678代入表达式计算就能得到结果。
【解析】
首先统计前3个图案中“”的个数：
第1个图案中“”的个数：$3×1 + 1 = 4$（个）
第2个图案中“”的个数：$3×2 + 1 = 7$（个）
第3个图案中“”的个数：$3×3 + 1 = 10$（个）
观察可得规律：第n个图案中“”的个数为$3n+1$个。
将$n=678$代入表达式计算：
$3×678 + 1 = 2034 + 1 = 2035$（个）
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究；代数式求值
【点评】
本题是基础的图形规律类题目，解题核心是通过分析前几个特殊图形的数量，总结出数量随序号变化的通用规律，再代入指定序号计算即可，计算时注意不要出现计算错误。
【难度系数】
0.7
解决这类图形规律探究题，首先要统计前几个已知图案中目标图形的个数，观察相邻两个图案的数量变化规律，能发现每增加1个图案，目标图形的个数就增加3个；接着根据这个变化规律推导出第n个图案中目标图形个数的通用表达式，最后将n=678代入表达式计算就能得到结果。
【解析】
首先统计前3个图案中“”的个数：
第1个图案中“”的个数：$3×1 + 1 = 4$（个）
第2个图案中“”的个数：$3×2 + 1 = 7$（个）
第3个图案中“”的个数：$3×3 + 1 = 10$（个）
观察可得规律：第n个图案中“”的个数为$3n+1$个。
将$n=678$代入表达式计算：
$3×678 + 1 = 2034 + 1 = 2035$（个）
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究；代数式求值
【点评】
本题是基础的图形规律类题目，解题核心是通过分析前几个特殊图形的数量，总结出数量随序号变化的通用规律，再代入指定序号计算即可，计算时注意不要出现计算错误。
【难度系数】
0.7
6. 将相同的长方形卡片摆放在一个直角上，摆放方式如图所示，每个长方形卡片长为 4、宽为 2，依此类推，摆放 123 个长方形时，实线部分长为
616
。答案
6. 616 解析 第1个图实线部分长为6，
第2个图实线部分长为$6+4$，
第3个图实线部分长为$6+4+6$，
第4个图实线部分长为$6+4+6+4$，
第5个图实线部分长为$6+4+6+4+6$，
第6个图实线部分长为$6+4+6+4+6+4$，
……
从上述规律可以看到，对于第$n$个图形，
当$n$为奇数时，第$n$个图形实线部分长为$\frac{1}{2}×(6+4)(n-1)+6.$
当$n$为偶数时，第$n$个图形实线部分长为$\frac{1}{2}(6+4)n$，
所以摆放123个长方形时，实线部分长为$\frac{1}{2}×(6+4)×(123-1)+6=616.$
第2个图实线部分长为$6+4$，
第3个图实线部分长为$6+4+6$，
第4个图实线部分长为$6+4+6+4$，
第5个图实线部分长为$6+4+6+4+6$，
第6个图实线部分长为$6+4+6+4+6+4$，
……
从上述规律可以看到，对于第$n$个图形，
当$n$为奇数时，第$n$个图形实线部分长为$\frac{1}{2}×(6+4)(n-1)+6.$
当$n$为偶数时，第$n$个图形实线部分长为$\frac{1}{2}(6+4)n$，
所以摆放123个长方形时，实线部分长为$\frac{1}{2}×(6+4)×(123-1)+6=616.$
解析
【分析】
我们可以先从摆放少量长方形的简单情况入手，分别计算摆放1个、2个、3个、4个长方形时的实线长度，观察数值变化规律，可发现实线长度的增量为6和4交替出现，即每2个长方形为一组，每组对应的实线总增量为6+4=10。接下来按摆放的长方形个数为奇数、偶数两种情况分别总结通用计算公式，最后判断123为奇数，代入对应公式计算即可得到结果。
【解析】
先列举前几个图形的实线长度，寻找规律：
摆放1个长方形时，实线长 = 4+2 = 6；
摆放2个长方形时，实线长 = 6+4 = 10；
摆放3个长方形时，实线长 = 10+6 = 16；
摆放4个长方形时，实线长 = 16+4 = 20；
……
归纳规律：
若摆放长方形的个数为$n$：
① 当$n$为偶数时，每2个长方形为1组，共$\frac{n}{2}$组，每组对应实线长度和为$6+4=10$，因此实线总长度为$\frac{n}{2} × 10 = 5n$；
② 当$n$为奇数时，前$n-1$个为偶数个，共$\frac{n-1}{2}$组，对应长度为$\frac{n-1}{2} × 10$，再加上最后1个长方形新增的长度6，因此实线总长度为$5(n-1)+6$。
摆放123个长方形时，$123$是奇数，代入奇数对应的公式：
$\begin{aligned}\mathrm{实线总长度}&=5×(123-1)+6 \\&=5×122 +6 \\&=610+6 \\&=616\end{aligned}$
【答案】
616
【知识点】
图形规律探究，有理数混合运算，分类讨论思想
【点评】
本题是典型的图形变化规律探究题，解题核心是从简单的特殊情形出发，通过观察、对比归纳出通用的变化规律，再结合规律求解目标值，能有效考查学生的观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
我们可以先从摆放少量长方形的简单情况入手，分别计算摆放1个、2个、3个、4个长方形时的实线长度，观察数值变化规律，可发现实线长度的增量为6和4交替出现，即每2个长方形为一组，每组对应的实线总增量为6+4=10。接下来按摆放的长方形个数为奇数、偶数两种情况分别总结通用计算公式，最后判断123为奇数，代入对应公式计算即可得到结果。
【解析】
先列举前几个图形的实线长度，寻找规律：
摆放1个长方形时，实线长 = 4+2 = 6；
摆放2个长方形时，实线长 = 6+4 = 10；
摆放3个长方形时，实线长 = 10+6 = 16；
摆放4个长方形时，实线长 = 16+4 = 20；
……
归纳规律：
若摆放长方形的个数为$n$：
① 当$n$为偶数时，每2个长方形为1组，共$\frac{n}{2}$组，每组对应实线长度和为$6+4=10$，因此实线总长度为$\frac{n}{2} × 10 = 5n$；
② 当$n$为奇数时，前$n-1$个为偶数个，共$\frac{n-1}{2}$组，对应长度为$\frac{n-1}{2} × 10$，再加上最后1个长方形新增的长度6，因此实线总长度为$5(n-1)+6$。
摆放123个长方形时，$123$是奇数，代入奇数对应的公式：
$\begin{aligned}\mathrm{实线总长度}&=5×(123-1)+6 \\&=5×122 +6 \\&=610+6 \\&=616\end{aligned}$
【答案】
616
【知识点】
图形规律探究，有理数混合运算，分类讨论思想
【点评】
本题是典型的图形变化规律探究题，解题核心是从简单的特殊情形出发，通过观察、对比归纳出通用的变化规律，再结合规律求解目标值，能有效考查学生的观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
