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概念建构
切线
性质：圆的切线
判定定理：经过半径的外端并且
A基础巩固
知识点1 切线的性质
切线
性质：圆的切线
垂直
于过切点的半径判定定理：经过半径的外端并且
垂直
于这条半径的直线是圆的切线A基础巩固
知识点1 切线的性质
答案
垂直；垂直
解析
【分析】
本题考查圆的切线相关基础定理的识记，解题时只需准确回忆教材中切线的性质定理、判定定理的原文内容，对应空缺位置填写即可。两个定理均围绕切线与过切点半径的位置关系设置考点，该位置关系为垂直，直接匹配填空即可。
【解析】
根据圆的切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径，可得第一个空填“垂直”；
根据圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可得第二个空填“垂直”。
【答案】
垂直；垂直
【知识点】
切线的性质；切线的判定
【点评】
本题属于基础识记类题型，直接考查切线核心基础定理的内容，熟练掌握教材中的基础定义、定理是解答这类题的关键。
【难度系数】
0.9
本题考查圆的切线相关基础定理的识记，解题时只需准确回忆教材中切线的性质定理、判定定理的原文内容，对应空缺位置填写即可。两个定理均围绕切线与过切点半径的位置关系设置考点，该位置关系为垂直，直接匹配填空即可。
【解析】
根据圆的切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径，可得第一个空填“垂直”；
根据圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可得第二个空填“垂直”。
【答案】
垂直；垂直
【知识点】
切线的性质；切线的判定
【点评】
本题属于基础识记类题型，直接考查切线核心基础定理的内容，熟练掌握教材中的基础定义、定理是解答这类题的关键。
【难度系数】
0.9
1.如图,已知PA与⊙O相切于点A,∠P=42°,则∠POA=
48°
。答案
1.48°
解析
【分析】
解题时先从已知条件“PA与⊙O相切于点A”入手，回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此可得到OA⊥PA，即△PAO是直角三角形，∠OAP=90°。再结合直角三角形两锐角互余的性质，已知∠P的度数，就可以求出∠POA的度数。
【解析】
解：
∵PA与⊙O相切于点A，
根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
在Rt△PAO中，∠P=42°，
由直角三角形两锐角互余可得：
∠POA=90°-∠P=90°-42°=48°。
【答案】
48°
【知识点】
切线的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题，直接考察切线性质的基础应用，解题关键是能根据切线的性质快速得到直角，再结合直角三角形的角度关系计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件“PA与⊙O相切于点A”入手，回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此可得到OA⊥PA，即△PAO是直角三角形，∠OAP=90°。再结合直角三角形两锐角互余的性质，已知∠P的度数，就可以求出∠POA的度数。
【解析】
解：
∵PA与⊙O相切于点A，
根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
在Rt△PAO中，∠P=42°，
由直角三角形两锐角互余可得：
∠POA=90°-∠P=90°-42°=48°。
【答案】
48°
【知识点】
切线的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题，直接考察切线性质的基础应用，解题关键是能根据切线的性质快速得到直角，再结合直角三角形的角度关系计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
2.如图，AB与$\odot O$相切于点C，$AO=3$，$\odot O$的半径为2，则AC的长为
$\sqrt{5}$
。答案
2.$\sqrt{5}$
解析
【分析】
遇到直线与圆相切且已知切点的问题，首先连接过切点的半径，根据切线的性质可得到半径与切线垂直，从而构造出直角三角形，再结合已知的斜边和一条直角边的长度，利用勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
连接OC，
∵AB与$\odot O$相切于点C，
∴$OC⊥ AB$，即$∠ OCA=90°$，
∵$\odot O$的半径为2，
∴$OC=2$，
在$Rt△ OCA$中，$AO=3$，$OC=2$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AO^2 - OC^2}=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆相关的基础题型，解题核心是利用“切线垂直于过切点的半径”构造直角三角形，将几何问题转化为直角三角形边长计算问题，掌握该类辅助线的构造方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
遇到直线与圆相切且已知切点的问题，首先连接过切点的半径，根据切线的性质可得到半径与切线垂直，从而构造出直角三角形，再结合已知的斜边和一条直角边的长度，利用勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
连接OC，
∵AB与$\odot O$相切于点C，
∴$OC⊥ AB$，即$∠ OCA=90°$，
∵$\odot O$的半径为2，
∴$OC=2$，
在$Rt△ OCA$中，$AO=3$，$OC=2$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AO^2 - OC^2}=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆相关的基础题型，解题核心是利用“切线垂直于过切点的半径”构造直角三角形，将几何问题转化为直角三角形边长计算问题，掌握该类辅助线的构造方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. [2025合肥一模]如图，AB是$\odot O$的切线，B为切点，连接AO交$\odot O$于点D，AO的延长线交$\odot O$于点C，连接BC.若$∠ ACB=25°$，则$∠ A$的度数是（
A.$50°$
B.$40°$
C.$25°$
D.$65°$
B
）A.$50°$
B.$40°$
C.$25°$
D.$65°$
答案
3.B
解析
【分析】
解题思路如下：1. 已知切线和切点，优先连接切点与圆心，根据切线的性质可得到半径与切线垂直，构造出直角三角形；2. 已知圆周角∠ACB的度数，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出对应圆心角∠AOB的度数；3. 在构造出的直角三角形中，利用两个锐角互余的性质，即可求出∠A的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵AB是$\odot O$的切线，B为切点，
∴$OB⊥ AB$，即$∠ ABO=90°$，
∵$∠ AOB$是弧BC对应的圆心角，$∠ ACB$是弧BC对应的圆周角，
∴$∠ AOB=2∠ ACB=2×25°=50°$，
在$Rt△ ABO$中，$∠ A+∠ AOB=90°$，
∴$∠ A=90°-50°=40°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的基础计算题，解题核心是通过连接圆心和切点构造直角三角形，结合圆周角相关定理即可求解，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 已知切线和切点，优先连接切点与圆心，根据切线的性质可得到半径与切线垂直，构造出直角三角形；2. 已知圆周角∠ACB的度数，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出对应圆心角∠AOB的度数；3. 在构造出的直角三角形中，利用两个锐角互余的性质，即可求出∠A的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵AB是$\odot O$的切线，B为切点，
∴$OB⊥ AB$，即$∠ ABO=90°$，
∵$∠ AOB$是弧BC对应的圆心角，$∠ ACB$是弧BC对应的圆周角，
∴$∠ AOB=2∠ ACB=2×25°=50°$，
在$Rt△ ABO$中，$∠ A+∠ AOB=90°$，
∴$∠ A=90°-50°=40°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的基础计算题，解题核心是通过连接圆心和切点构造直角三角形，结合圆周角相关定理即可求解，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
4. [2026 滁州期末]如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$O$是$AB$上一点,以点$O$为圆心、$OB$为半径的圆与$AB$交于点$E$,与$AC$相切于点$D$.求证:$DE// OC$.
答案
证明：
连接OD。
∵ AC是⊙O的切线，D为切点，
∴ OD⊥AC，即∠ODC=90°。
∵ ∠B=90°，
∴ OB⊥BC。
又∵ OD=OB，OC为公共边，
∴ Rt△ODC ≌ Rt△OBC，
∴ ∠DOC=∠BOC。
∵ OD=OE，
∴ ∠ODE=∠OED。
∵ ∠DOB是△ODE的外角，
∴ ∠DOB=∠ODE+∠OED=2∠OED。
又∵ ∠DOB=∠DOC+∠BOC=2∠BOC，
∴ 2∠OED=2∠BOC，即∠OED=∠BOC。
∴ DE//OC（同位角相等，两直线平行）。
连接OD。
∵ AC是⊙O的切线，D为切点，
∴ OD⊥AC，即∠ODC=90°。
∵ ∠B=90°，
∴ OB⊥BC。
又∵ OD=OB，OC为公共边，
∴ Rt△ODC ≌ Rt△OBC，
∴ ∠DOC=∠BOC。
∵ OD=OE，
∴ ∠ODE=∠OED。
∵ ∠DOB是△ODE的外角，
∴ ∠DOB=∠ODE+∠OED=2∠OED。
又∵ ∠DOB=∠DOC+∠BOC=2∠BOC，
∴ 2∠OED=2∠BOC，即∠OED=∠BOC。
∴ DE//OC（同位角相等，两直线平行）。
解析
【分析】
要证明DE//OC，可通过证明同位角相等推导。首先结合AC是⊙O的切线的条件，根据切线的性质，连接辅助线OD，得到OD⊥AC；再结合∠B=90°，可知CB也是⊙O的切线，利用HL证明Rt△ODC≌Rt△OBC，得到∠DOC=∠BOC；接下来利用等腰△ODE的等边对等角性质，结合三角形外角的性质，可得∠DOB=2∠OED，再结合∠DOB=2∠BOC，推出∠OED=∠BOC，这组同位角相等即可证明两直线平行。
【解析】
连接OD。
∵ AC是⊙O的切线，D为切点，
∴ OD⊥AC，即∠ODC=90°。
∵ ∠B=90°，
∴ OB⊥BC。
又
∵ OD=OB，OC为公共边，
∴ Rt△ODC ≌ Rt△OBC（HL），
∴ ∠DOC=∠BOC。
∵ OD=OE，
∴ ∠ODE=∠OED。
∵ ∠DOB是△ODE的外角，
∴ ∠DOB=∠ODE+∠OED=2∠OED。
又
∵ ∠DOB=∠DOC+∠BOC=2∠BOC，
∴ 2∠OED=2∠BOC，即∠OED=∠BOC。
∴ DE//OC（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
DE//OC
【知识点】
切线的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题是圆的性质与平行线证明的综合基础题，核心是通过连接圆心与切点构造辅助线，结合直角三角形全等、等腰三角形性质、外角性质推导角的等量关系，考查了对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要证明DE//OC，可通过证明同位角相等推导。首先结合AC是⊙O的切线的条件，根据切线的性质，连接辅助线OD，得到OD⊥AC；再结合∠B=90°，可知CB也是⊙O的切线，利用HL证明Rt△ODC≌Rt△OBC，得到∠DOC=∠BOC；接下来利用等腰△ODE的等边对等角性质，结合三角形外角的性质，可得∠DOB=2∠OED，再结合∠DOB=2∠BOC，推出∠OED=∠BOC，这组同位角相等即可证明两直线平行。
【解析】
连接OD。
∵ AC是⊙O的切线，D为切点，
∴ OD⊥AC，即∠ODC=90°。
∵ ∠B=90°，
∴ OB⊥BC。
又
∵ OD=OB，OC为公共边，
∴ Rt△ODC ≌ Rt△OBC（HL），
∴ ∠DOC=∠BOC。
∵ OD=OE，
∴ ∠ODE=∠OED。
∵ ∠DOB是△ODE的外角，
∴ ∠DOB=∠ODE+∠OED=2∠OED。
又
∵ ∠DOB=∠DOC+∠BOC=2∠BOC，
∴ 2∠OED=2∠BOC，即∠OED=∠BOC。
∴ DE//OC（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
DE//OC
【知识点】
切线的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题是圆的性质与平行线证明的综合基础题，核心是通过连接圆心与切点构造辅助线，结合直角三角形全等、等腰三角形性质、外角性质推导角的等量关系，考查了对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
5.下列直线中,不一定是圆的切线的是 (
A.与圆只有一个交点的直线
B.经过半径的外端,且垂直于这条半径的直线
C.与圆心的距离等于这个圆的半径的直线
D.垂直于半径的直线
D
)A.与圆只有一个交点的直线
B.经过半径的外端,且垂直于这条半径的直线
C.与圆心的距离等于这个圆的半径的直线
D.垂直于半径的直线
答案
5.D
解析
【分析】
本题考查圆的切线的判定，解题时先回忆圆切线的三种判定依据：1. 切线的定义：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；2. 切线判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；3. 数量判定：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。再逐一对应选项判断，找出不满足判定条件的选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：根据切线的定义，与圆只有一个交点的直线就是圆的切线，该选项一定是切线，不符合题意；
B选项：符合圆的切线判定定理，经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，该选项一定是切线，不符合题意；
C选项：直线到圆心的距离等于圆的半径时，直线与圆只有1个公共点，符合切线的定义，该选项一定是切线，不符合题意；
D选项：仅说明直线垂直于半径，未明确直线经过半径的外端，若垂足在半径的内部，这条直线会和圆有2个交点，不是切线，因此该选项不一定是圆的切线，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
圆的切线的判定；直线与圆的位置关系
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是要明确切线判定的两个必要条件“过半径外端”“垂直于该半径”必须同时满足，缺一不可，避免因漏记条件判断失误。
【难度系数】
0.8
本题考查圆的切线的判定，解题时先回忆圆切线的三种判定依据：1. 切线的定义：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；2. 切线判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；3. 数量判定：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。再逐一对应选项判断，找出不满足判定条件的选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：根据切线的定义，与圆只有一个交点的直线就是圆的切线，该选项一定是切线，不符合题意；
B选项：符合圆的切线判定定理，经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，该选项一定是切线，不符合题意；
C选项：直线到圆心的距离等于圆的半径时，直线与圆只有1个公共点，符合切线的定义，该选项一定是切线，不符合题意；
D选项：仅说明直线垂直于半径，未明确直线经过半径的外端，若垂足在半径的内部，这条直线会和圆有2个交点，不是切线，因此该选项不一定是圆的切线，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
圆的切线的判定；直线与圆的位置关系
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是要明确切线判定的两个必要条件“过半径外端”“垂直于该半径”必须同时满足，缺一不可，避免因漏记条件判断失误。
【难度系数】
0.8
6. 中考趋势·开放性问题 如图，点A在$\odot O$上，要使PA是$\odot O$的切线，需要添加的一个条件是
$∠ OAP=90°$(答案不唯一)
。答案
6.$∠ OAP=90°$(答案不唯一)
解析
【分析】
已知点A在$\odot O$上，说明OA是$\odot O$的半径，PA已经经过半径OA的外端点A。根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此只需补充条件让PA与OA垂直，即可判定PA是$\odot O$的切线，也可补充能推出$OA⊥ PA$的等价条件。
【解析】
根据切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
本题中点A在$\odot O$上，因此OA是$\odot O$的半径，PA已经过半径OA的外端点A，只需添加条件使$OA⊥ PA$即可判定PA是$\odot O$的切线。
当添加$∠ OAP=90°$时，$OA⊥ PA$，符合切线的判定定理，因此PA是$\odot O$的切线，除此之外添加$OA⊥ PA$、$∠ APO+∠ AOP=90°$等可推出$OA⊥ PA$的条件均符合要求。
【答案】
$∠ OAP=90°$（答案不唯一）
【知识点】
1.切线的判定定理
2.垂直的定义
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考查对切线判定定理的理解与应用，解题时抓住切线判定的两个核心条件：过半径外端、与该半径垂直，结合已知补充缺失条件即可。
【难度系数】
0.8
已知点A在$\odot O$上，说明OA是$\odot O$的半径，PA已经经过半径OA的外端点A。根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此只需补充条件让PA与OA垂直，即可判定PA是$\odot O$的切线，也可补充能推出$OA⊥ PA$的等价条件。
【解析】
根据切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
本题中点A在$\odot O$上，因此OA是$\odot O$的半径，PA已经过半径OA的外端点A，只需添加条件使$OA⊥ PA$即可判定PA是$\odot O$的切线。
当添加$∠ OAP=90°$时，$OA⊥ PA$，符合切线的判定定理，因此PA是$\odot O$的切线，除此之外添加$OA⊥ PA$、$∠ APO+∠ AOP=90°$等可推出$OA⊥ PA$的条件均符合要求。
【答案】
$∠ OAP=90°$（答案不唯一）
【知识点】
1.切线的判定定理
2.垂直的定义
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考查对切线判定定理的理解与应用，解题时抓住切线判定的两个核心条件：过半径外端、与该半径垂直，结合已知补充缺失条件即可。
【难度系数】
0.8
7.如图，已知∠AOB=30°,M为边OB上任意一点，以M为圆心、3 cm为半径作⊙M.当OM=
6
cm时，⊙M与OA相切.答案
7.6
解析
【分析】
解决本题首先要明确圆与直线相切的核心条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。我们先过圆心M向OA作垂线段，该垂线段的长度就是圆心M到直线OA的距离，若⊙M与OA相切，这个距离就等于半径3cm。再结合已知∠AOB=30°，在构造出的直角三角形中，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可求出OM的长度。
【解析】
过点M作MC⊥OA，垂足为C。
若⊙M与OA相切，根据切线的性质，圆心到切线的距离等于圆的半径，因此$MC=3\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OMC$中，$∠ AOB=30°$，$∠ OCM=90°$，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即$MC=\frac{1}{2}OM$。
代入$MC=3\mathrm{cm}$，可得$OM=2MC=2×3=6\mathrm{cm}$。
【答案】
6
【知识点】
切线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是先根据切线的性质确定圆心到直线的距离，再结合特殊直角三角形的边角关系计算，掌握切线相关性质和特殊直角三角形的结论就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确圆与直线相切的核心条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。我们先过圆心M向OA作垂线段，该垂线段的长度就是圆心M到直线OA的距离，若⊙M与OA相切，这个距离就等于半径3cm。再结合已知∠AOB=30°，在构造出的直角三角形中，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可求出OM的长度。
【解析】
过点M作MC⊥OA，垂足为C。
若⊙M与OA相切，根据切线的性质，圆心到切线的距离等于圆的半径，因此$MC=3\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OMC$中，$∠ AOB=30°$，$∠ OCM=90°$，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即$MC=\frac{1}{2}OM$。
代入$MC=3\mathrm{cm}$，可得$OM=2MC=2×3=6\mathrm{cm}$。
【答案】
6
【知识点】
切线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是先根据切线的性质确定圆心到直线的距离，再结合特殊直角三角形的边角关系计算，掌握切线相关性质和特殊直角三角形的结论就能快速求解。
【难度系数】
0.7
8.如图，AB是$\odot O$的直径，$AB=AC$，$BC$交$\odot O$于点$D$，$DE⊥ AC$于点$E$，求证：$DE$是$\odot O$的切线。
答案
证明：连接OD，
∵ OD = OB，
∴ ∠B = ∠ODB，
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C，
∴ ∠ODB = ∠C，
∴ OD // AC，
∵ DE ⊥ AC，
∴ DE ⊥ OD，
又∵ OD 是⊙O的半径，
∴ DE 是⊙O的切线。
∵ OD = OB，
∴ ∠B = ∠ODB，
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C，
∴ ∠ODB = ∠C，
∴ OD // AC，
∵ DE ⊥ AC，
∴ DE ⊥ OD，
又∵ OD 是⊙O的半径，
∴ DE 是⊙O的切线。
解析
【分析】
要证明DE是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，需证明DE垂直于$\odot O$的半径，且DE经过半径的外端。首先连接辅助线OD（D在圆上，OD是半径），接下来只需证明$DE⊥ OD$即可。已知$DE⊥ AC$，因此可通过证明$OD// AC$推导垂直关系：利用等腰三角形等边对等角的性质，可得到$∠ B=∠ ODB$、$∠ B=∠ C$，进而推出$∠ ODB=∠ C$，即可判定$OD// AC$，最终得到$DE⊥ OD$，完成证明。
【解析】
证明：连接OD，
∵ OD = OB（同圆的半径相等），
∴ $∠ B = ∠ ODB$（等腰三角形等边对等角），
∵ AB = AC（已知），
∴ $∠ B = ∠ C$（等腰三角形等边对等角），
∴ $∠ ODB = ∠ C$（等量代换），
∴ $OD // AC$（同位角相等，两直线平行），
∵ $DE ⊥ AC$（已知），
∴ $DE ⊥ OD$（平行线的性质），
又
∵ OD 是$\odot O$的半径，
∴ DE 是$\odot O$的切线（切线的判定定理）。
【答案】
证明：连接OD，
∵ OD = OB，
∴ ∠B = ∠ODB，
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C，
∴ ∠ODB = ∠C，
∴ OD // AC，
∵ DE ⊥ AC，
∴ DE ⊥ OD，
又
∵ OD 是$\odot O$的半径，
∴ DE 是$\odot O$的切线。
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题是切线判定的基础题型，核心考查切线判定的常用辅助线作法：当待证切线明确经过圆上某一点时，先连接圆心与该点得到半径，再证明直线与该半径垂直即可。解题过程中通过等腰三角形的性质转化角的关系，进而得到平行关系推导垂直，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.7
要证明DE是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，需证明DE垂直于$\odot O$的半径，且DE经过半径的外端。首先连接辅助线OD（D在圆上，OD是半径），接下来只需证明$DE⊥ OD$即可。已知$DE⊥ AC$，因此可通过证明$OD// AC$推导垂直关系：利用等腰三角形等边对等角的性质，可得到$∠ B=∠ ODB$、$∠ B=∠ C$，进而推出$∠ ODB=∠ C$，即可判定$OD// AC$，最终得到$DE⊥ OD$，完成证明。
【解析】
证明：连接OD，
∵ OD = OB（同圆的半径相等），
∴ $∠ B = ∠ ODB$（等腰三角形等边对等角），
∵ AB = AC（已知），
∴ $∠ B = ∠ C$（等腰三角形等边对等角），
∴ $∠ ODB = ∠ C$（等量代换），
∴ $OD // AC$（同位角相等，两直线平行），
∵ $DE ⊥ AC$（已知），
∴ $DE ⊥ OD$（平行线的性质），
又
∵ OD 是$\odot O$的半径，
∴ DE 是$\odot O$的切线（切线的判定定理）。
【答案】
证明：连接OD，
∵ OD = OB，
∴ ∠B = ∠ODB，
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C，
∴ ∠ODB = ∠C，
∴ OD // AC，
∵ DE ⊥ AC，
∴ DE ⊥ OD，
又
∵ OD 是$\odot O$的半径，
∴ DE 是$\odot O$的切线。
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题是切线判定的基础题型，核心考查切线判定的常用辅助线作法：当待证切线明确经过圆上某一点时，先连接圆心与该点得到半径，再证明直线与该半径垂直即可。解题过程中通过等腰三角形的性质转化角的关系，进而得到平行关系推导垂直，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.7
